. . . "\uB300\uC218\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uD074\uB77C\uC778 4\uCC28 \uACE1\uC120(Klein4\u6B21\u66F2\u7DDA, \uC601\uC5B4: Klein\u2019s quartic curve)\uC740 \uC885\uC218 3\uC758 \uB9AC\uB9CC \uACE1\uBA74 \uAC00\uC6B4\uB370 \uAC00\uC7A5 \uB300\uCE6D\uC801\uC778 \uAC83\uC778 \uBAA8\uB4C8\uB7EC \uACE1\uC120\uC774\uB2E4."@ko . . . . . . . . . . . "October 2010"@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "En g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du math\u00E9maticien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus \u00E9lev\u00E9 possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, \u00E0 savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en cons\u00E9quence la (en) de genre le plus bas possible."@fr . . . . . . . "En g\u00E9om\u00E9trie hyperbolique, la quartique de Klein, du nom du math\u00E9maticien allemand Felix Klein, est une surface de Riemann compacte de genre 3. Elle a le groupe d'automorphismes d'ordre le plus \u00E9lev\u00E9 possible parmi les surfaces de Riemann de genre 3, \u00E0 savoir le groupe simple d'ordre 168. La quartique de Klein est en cons\u00E9quence la (en) de genre le plus bas possible."@fr . . . . "In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 168 \u00D7 2 = 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group after the alternating group A5. The quartic was first described in. Klein's quartic occurs in many branches of mathematics, in contexts including representation theory, homology theory, octonion multiplication, Fermat's Last Theorem, and the Stark\u2013Heegner theorem on imaginary quadratic number fields of class number one; see for a survey of properties. Originally, the \"Klein quartic\" referred specifically to the subset of the complex projective plane P2(C) defined by . This has a specific Riemannian metric (that makes it a minimal surface in P2(C)), under which its Gaussian curvature is not constant. But more commonly (as in this article) it is now thought of as any Riemann surface that is conformally equivalent to this algebraic curve, and especially the one that is a quotient of the hyperbolic plane H2 by a certain cocompact group G that acts freely on H2 by isometries. This gives the Klein quartic a Riemannian metric of constant curvature \u22121 that it inherits from H2. This set of conformally equivalent Riemannian surfaces is precisely the same as all compact Riemannian surfaces of genus 3 whose conformal automorphism group is isomorphic to the unique simple group of order 168. This group is also known as PSL(2, 7), and also as the isomorphic group PSL(3, 2). By covering space theory, the group G mentioned above is isomorphic to the fundamental group of the compact surface of genus 3."@en . . "In hyperbolic geometry, the Klein quartic, named after Felix Klein, is a compact Riemann surface of genus 3 with the highest possible order automorphism group for this genus, namely order 168 orientation-preserving automorphisms, and 168 \u00D7 2 = 336 automorphisms if orientation may be reversed. As such, the Klein quartic is the Hurwitz surface of lowest possible genus; see Hurwitz's automorphisms theorem. Its (orientation-preserving) automorphism group is isomorphic to PSL(2, 7), the second-smallest non-abelian simple group after the alternating group A5. The quartic was first described in."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . "1119047521"^^ . . "Klein quartic"@en . . . . . . . . . . . . . . . . "\uB300\uC218\uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uD074\uB77C\uC778 4\uCC28 \uACE1\uC120(Klein4\u6B21\u66F2\u7DDA, \uC601\uC5B4: Klein\u2019s quartic curve)\uC740 \uC885\uC218 3\uC758 \uB9AC\uB9CC \uACE1\uBA74 \uAC00\uC6B4\uB370 \uAC00\uC7A5 \uB300\uCE6D\uC801\uC778 \uAC83\uC778 \uBAA8\uB4C8\uB7EC \uACE1\uC120\uC774\uB2E4."@ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Kleinsche Quartik"@de . . "390976"^^ . . "Na geometria hiperb\u00F3lica, a qu\u00E1rtica Klein (nomeado por Felix Klein) \u00E9 uma superf\u00EDcie de Riemann compacta do g\u00EAnero 3 com o grupo de automorfismo de ordem mais alta poss\u00EDvel para esse g\u00EAnero, com ordem de 168 automorfismos de preserva\u00E7\u00E3o de orienta\u00E7\u00E3o e 336 automorfismos se a orienta\u00E7\u00E3o puder ser revertida. Como tal, o qu\u00E1rtico Klein \u00E9 a do g\u00EAnero mais baixo poss\u00EDvel; veja . Seu grupo de automorfismo (preserva\u00E7\u00E3o da orienta\u00E7\u00E3o) \u00E9 isom\u00F3rfico ao , o segundo menos grupo simples n\u00E3o-abeliano. O qu\u00E1rtico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878."@pt . "H3llBot"@en . . . . . . . "Qu\u00E1rtica Klein"@pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "\uD074\uB77C\uC778 4\uCC28 \uACE1\uC120"@ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "27802"^^ . . . . . . "Quartique de Klein"@fr . . "Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4. Grades in der komplexen projektiven Ebene, die in homogenen Koordinaten durch die Gleichung gegeben ist. Sie wurde 1879 durch Felix Klein eingef\u00FChrt und besitzt au\u00DFergew\u00F6hnliche Symmetrieeigenschaften. Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Fl\u00E4che. Die Symmetrieeigenschaften ergeben sich durch Parkettierung der hyperbolischen Ebene mit Heptagonen, so dass genau drei an jeder Ecke zusammensto\u00DFen (deshalb genannt). Aus genau 24 dieser Heptagone l\u00E4sst sich ein Torus mit 3 L\u00F6chern bilden, die Kleinsche Fl\u00E4che, topologisch vom Geschlecht 3. Es gibt 24 Transformationen der Parkettierung mit 24 Heptagonen ineinander und f\u00FCr jede noch 7 Drehungen des Heptagons, was 168 Symmetrieoperationen ergibt (mit Spiegelungen doppelt so viele, 336). Unterteilt man die Heptagone in Dreiecke erh\u00E4lt man die zu (Poincar\u00E9-)duale Parkettierung (an jeder Ecke sto\u00DFen 7 Dreiecke zusammen) und man kann die Fl\u00E4che zur Klein-Quartik auch aus 56 Dreiecken dieser Parkettierung bilden. 56 Transformationen der Dreiecke in andere Dreiecke und jeweils drei Drehungen ergibt wieder 168 Transformationen. Das ist auch gleichzeitig die maximale Anzahl von Symmetrien f\u00FCr Fl\u00E4chen vom Geschlecht 3, wie Adolf Hurwitz zeigte (Satz von Hurwitz \u00FCber Automorphismengruppen): Eine Riemannsche Fl\u00E4che vom Geschlecht hat maximal konforme Transformationen (ohne Spiegelungen). Die konformen Abbildungen lassen sich durch gebrochen-lineare Abbildungen (M\u00F6biustransformationen) darstellen und bilden die projektive spezielle lineare Gruppe . Sie besteht aus komplexen 2\u00D72-Matrizen mit Determinante 1, wobei Matrizen und identifiziert werden. Betrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene , auf der wirkt, so ist die Riemannsche Fl\u00E4che zur Klein-Quartik gegeben durch mit der Kongruenzuntergruppe Sie ist eine Modulkurve (mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen, siehe Modulform). Ihre Symmetriegruppe ist und hat 168 Elemente (ohne Reflexionen, die die komplexe Struktur nicht erhalten w\u00FCrden). Sie ist auch die Symmetriegruppe der Fano-Ebene und die zweitkleinste einfache nichtabelsche Gruppe. Noch kleiner ist nur die Ikosaedergruppe die Felix Klein in Zusammenhang mit der Gleichung f\u00FCnften Grades und der Symmetriegruppe des Ikosaeders behandelte (sie hat 60 Elemente). Da ihre Symmetriegruppe nicht in die dreidimensionale Drehgruppe SO(3) eingebettet werden kann, gibt es auch keine dreidimensionalen Realisierungen der Klein-Quartik, es gibt aber Darstellungen ihrer Form, zum Beispiel eine Skulptur von Helaman Ferguson vor dem MSRI in Berkeley."@de . . . . . . "Die Kleinsche Quartik ist eine Kurve 4. Grades in der komplexen projektiven Ebene, die in homogenen Koordinaten durch die Gleichung gegeben ist. Sie wurde 1879 durch Felix Klein eingef\u00FChrt und besitzt au\u00DFergew\u00F6hnliche Symmetrieeigenschaften. Der algebraischen Kurve entspricht eine Riemannsche Fl\u00E4che. Betrachtet man die hyperbolische Ebene als komplexe obere Halbebene , auf der wirkt, so ist die Riemannsche Fl\u00E4che zur Klein-Quartik gegeben durch mit der Kongruenzuntergruppe Sie ist eine Modulkurve (mit Geschlecht 3 und 24 Spitzen, siehe Modulform)."@de . . . "Na geometria hiperb\u00F3lica, a qu\u00E1rtica Klein (nomeado por Felix Klein) \u00E9 uma superf\u00EDcie de Riemann compacta do g\u00EAnero 3 com o grupo de automorfismo de ordem mais alta poss\u00EDvel para esse g\u00EAnero, com ordem de 168 automorfismos de preserva\u00E7\u00E3o de orienta\u00E7\u00E3o e 336 automorfismos se a orienta\u00E7\u00E3o puder ser revertida. Como tal, o qu\u00E1rtico Klein \u00E9 a do g\u00EAnero mais baixo poss\u00EDvel; veja . Seu grupo de automorfismo (preserva\u00E7\u00E3o da orienta\u00E7\u00E3o) \u00E9 isom\u00F3rfico ao , o segundo menos grupo simples n\u00E3o-abeliano. O qu\u00E1rtico foi primeiramente descrito em por Klein, em 1878. O qu\u00E1rtico de Klein ocorre em muitos ramos da matem\u00E1tica, em contextos que incluem a teoria das representa\u00E7\u00F5es, a teoria da homologia, a multiplica\u00E7\u00E3o de oct\u00F5es, o \u00FAltimo teorema de Fermat e o teorema de em campos num\u00E9ricos quadr\u00E1ticos imagin\u00E1rios da classe n\u00FAmero um; consulte para uma pesquisa de propriedades. Originalmente, o \"Klein qu\u00E1rtico\" a que se refere especificamente ao subconjunto do complexo plano projectiva P2(C) definida por uma equa\u00E7\u00E3o alg\u00E9brica . Isso possui uma m\u00E9trica riemanniana espec\u00EDfica (que a torna uma superf\u00EDcie m\u00EDnima em P2(C) ), sob a qual sua curvatura gaussiana n\u00E3o \u00E9 constante. Mas, mais comumente (como neste artigo), agora \u00E9 entendida como qualquer superf\u00EDcie de Riemann que seja conformemente equivalente a essa curva alg\u00E9brica, e especialmente a que \u00E9 um quociente do plano hiperb\u00F3lico H2 de determinados cocompactos grupos G, que age livremente no H2 isometricamente. Isto d\u00E1 o Klein qu\u00E1rtico uma m\u00E9trica Riemannianos de curvatura constante \u22121 que herda a partir de H2 Esse conjunto de superf\u00EDcies Riemannianas conformemente equivalentes \u00E9 exatamente o mesmo que todas as superf\u00EDcies Riemannianas compactas do g\u00EAnero 3, cujo grupo de automorfismo \u00E9 isom\u00F3rfico ao grupo simples e \u00FAnico da ordem 168. Esse grupo tamb\u00E9m \u00E9 conhecido como PSL(2, 7) e tamb\u00E9m como grupo isom\u00F3rfico PSL(3, 2) . Pela teoria do recobrimento, o grupo G mencionado acima \u00E9 isom\u00F3rfico ao grupo fundamental da superf\u00EDcie compacta do g\u00EAnero 3."@pt . . .