. . . "987320295"^^ . . . "For a surface in three dimension the focal surface, surface of centers or evolute is formed by taking the centers of the , which are the tangential spheres whose radii are the reciprocals of one of the principal curvatures at the point of tangency. Equivalently it is the surface formed by the centers of the circles which osculate the curvature lines. As the principal curvatures are the eigenvalues of the second fundamental form, there are two at each point, and these give rise to two points of the focal surface on each normal direction to the surface. Away from umbilical points, these two points of the focal surface are distinct; at umbilical points the two sheets come together. When the surface has a ridge the focal surface has a cuspidal edge, three such edges pass through an elliptical umbilic and only one through a hyperbolic umbilic. At points where the Gaussian curvature is zero, one sheet of the focal surface will have a point at infinity corresponding to the zero principal curvature. If is a point of the given surface, the unit normal and the principal curvatures at , then and are the corresponding two points of the focal surface."@en . . . . "In der Geometrie ist eine Brennfl\u00E4che eine einer gegebenen Fl\u00E4che zugeordnete Fl\u00E4che. Sie besteht \n* aus der Gesamtheit der Mittelpunkte der die Kr\u00FCmmungslinien oskulierenden Kreise. Da es in der Regel auf einer Fl\u00E4che zwei Scharen von Kr\u00FCmmungslinien gibt, zerf\u00E4llt die Brennfl\u00E4che in der Regel auch in zwei Teile. Der Begriff der Brennfl\u00E4che ist eine \u00DCbertragung des Begriffs der Evolute einer ebenen Kurve auf Fl\u00E4chen. \u00C4hnlich wie bei einer Evolute wird eine Brennfl\u00E4che von den Fl\u00E4chennormalen ber\u00FChrt. Ist ein Punkt der gegebenen Fl\u00E4che, die Einheitsnormale und sind die Hauptkr\u00FCmmungen in , so sind und die zugeh\u00F6rigen Punkte der beiden Brennfl\u00E4chen.Ist eine Hauptkr\u00FCmmung , so liegt der zugeh\u00F6rige Kreismittelpunkt im und die Brennfl\u00E4che hat einen Pol (siehe zweites Bild: Affensattel). Ist die gau\u00DFsche Kr\u00FCmmung negativ, so liegen die Brennfl\u00E4chen auf verschiedenen Seiten der Fl\u00E4che, wie im Beispiel des hyperbolischen Paraboloids (siehe Bild). Es treten wichtige Spezialf\u00E4lle auf: 1. \n* Ist die Fl\u00E4che eine Kugel, artet die Brennfl\u00E4che in den Mittelpunkt der Kugel aus. 2. \n* Ist die Fl\u00E4che eine Rotationsfl\u00E4che, artet die eine Brennfl\u00E4che in die Rotationsachse aus. 3. \n* Beim Torus besteht die Brennfl\u00E4che aus dem Leitkreis und der Torusachse. 4. \n* Bei einer Dupinschen Zyklide besteht die Brennfl\u00E4che aus zwei Fokalkegelschnitten. Die Dupinschen Zykliden sind die einzigen Fl\u00E4chen, deren Brennfl\u00E4chen in zwei Kurven ausarten. 5. \n* Bei einer Kanalfl\u00E4che artet eine Brennfl\u00E4che in eine Kurve (Leitkurve) aus. 6. \n* Zwei konfokale ungleichartige Quadriken (z. B. ein Ellipsoid und ein einschaliges Hyperboloid) lassen sich als Brennfl\u00E4chen einer Fl\u00E4che auffassen."@de . . . "Brennfl\u00E4che (Geometrie)"@de . . "In der Geometrie ist eine Brennfl\u00E4che eine einer gegebenen Fl\u00E4che zugeordnete Fl\u00E4che. Sie besteht \n* aus der Gesamtheit der Mittelpunkte der die Kr\u00FCmmungslinien oskulierenden Kreise. Da es in der Regel auf einer Fl\u00E4che zwei Scharen von Kr\u00FCmmungslinien gibt, zerf\u00E4llt die Brennfl\u00E4che in der Regel auch in zwei Teile. Der Begriff der Brennfl\u00E4che ist eine \u00DCbertragung des Begriffs der Evolute einer ebenen Kurve auf Fl\u00E4chen. \u00C4hnlich wie bei einer Evolute wird eine Brennfl\u00E4che von den Fl\u00E4chennormalen ber\u00FChrt. und Es treten wichtige Spezialf\u00E4lle auf:"@de . . . . "Focal surface"@en . . . . . . . . "For a surface in three dimension the focal surface, surface of centers or evolute is formed by taking the centers of the , which are the tangential spheres whose radii are the reciprocals of one of the principal curvatures at the point of tangency. Equivalently it is the surface formed by the centers of the circles which osculate the curvature lines. If is a point of the given surface, the unit normal and the principal curvatures at , then and are the corresponding two points of the focal surface."@en . . . . . "3946"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "9789196"^^ . . .