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Gaussova věta Teorema da divergência Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa Divergence theorem Teorema de la divergencia Divergentiestelling Teorema de la divergència Teorema divergensi Diverĝenca teoremo Формула Гаусса — Остроградского Teorema della divergenza Формула Остроградського Gauss sats 高斯散度定理 Gaußscher Integralsatz Théorème de la divergence 발산 정리 مبرهنة التباعد 発散定理

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Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce. 発散定理（はっさんていり、英語: divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。 ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。 Dalam matematika teorema divergensi, yang dikenal juga dengan sebutan teorema Gauss atau teorema Ostrogradsky memerikan hubungan antara aliran (fluks) melalui permukaan dengan peri laku medan di dalam permukaan. Tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa fluks sebuah medan vektor melalui permukaan tertutup sama dengan dari pada daerah di dalam permukaan. Secara intuitif teorema ini menyatakan bahwa jumlah semua sumber dikurangi jumlah semua sumur memberikan aliran netto keluar dari daerah itu. Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche her. Der nach Gauß benannte Integralsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der auch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. En vektora kalkulo, la diverĝenca teoremo, aŭ gaŭsa teoremo aŭ teoremo de Ostrogradskij aŭ teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso estas interrilato inter la fluo eksteren de vektora kampo tra surfaco kaj la konduto de la vektora kampo ene de la surfaco. La diverĝenca teoremo statas ke la fluo de vektora kampo tra surfaco estas egala al la triopa integraĵo de la diverĝenco en la regiono ene de la surfaco. Intuicie, ĝi statas ke la sumo de intensecoj de ĉiuj fontoj de fluo (minus la sumo de intensecoj de ĉiuj finoj de la fluo) egalas al fluo el la regiono. Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole. , kde je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. a n je vektor vnější normály plochy, a je a otevřená. Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem En analyse vectorielle, le théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de flux-divergence), affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface). L'égalité est la suivante : où : Ce théorème découle du théorème de Stokes qui, lui-même, généralise le second théorème fondamental de l'analyse. 高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法；在二维，它等价于格林公式。 Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью. Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот. In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss's theorem or Ostrogradsky's theorem, is a theorem which relates the flux of a vector field through a closed surface to the divergence of the field in the volume enclosed. 벡터 미적분학에서 발산 정리(發散定理, 영어: divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauß定理, 영어: Gauss' divergence theorem)는 벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과 같다는 정리이다. En càlcul vectorial, el teorema de la divergència, també conegut com a teorema de Gauss, teorema d'Ostrogradski, o teorema d'Ostrogradski–Gauss és un resultat que enllaça la divergència d'un camp vectorial al valor de les integrals de superfície del definit pel camp. El teorema de la divergència és un resultat important per les matemàtiques de la física, en particular en electroestàtica i dinàmica de fluids. En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradski, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen delimitado por dicha superficie. No cálculo vetorial, o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss, Teorema de Ostrogradski ou Teorema de Ostrogradski - Gauss) é um resultado que relaciona fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície. O teorema da divergência é um resultado importante da matemática para engenharia, em particular para a eletroestática e dinâmica de fluidos. Este teorema é um caso especial do mais geral Teorema de Stokes. In de vectoranalyse is de divergentiestelling, stelling van Gauss of stelling van Ostrogradsky een formule die de divergentie van een vectorveld binnen een gesloten oppervlak relateert aan de flux van het veld naar buiten. De divergentiestelling is een belangrijk resultaat voor de wiskundige achtergrond van de natuurkunde, in het bijzonder in de elektrostatica en vloeistofmechanica. Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею. Якщо векторне поле задане диференційовними функціями , та , то У векторній формі її можна переписати як , де — векторне поле. Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році. Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гаусса або формула Остроградського—Гаусса. In matematica e fisica, il teorema della divergenza, detto anche teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini -dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes. Talvolta il teorema è meno propriamente detto teorema di Gauss poiché fu storicamente congetturato da Carl Gauss, da non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a 2 dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso. في تحليل المتجهات، تحقق مبرهنة التباعد (وتسمى أيضًا مبرهنة غاوس أو مبرهنة أوستروغرادسكي) المساواة بين تكامل تباعد حقل متجهي على الحجم في وتدفق هذا الحقل عبر حدود الحجم (وهو التكامل السطحي). المساواة هي على النحو التالي: حيث : * هو الحجم * هي حدود * هو المتجه العمودي على السطح، موجه للخارج ومعياره يساوي العنصر السطحي الذي يمثله * هو حقل متجهي قابل للاشتقاق باستمرار في أي نقطة من . * هو المؤثر نابلا؛ هذه المبرهنة تتبع مبرهنة ستوكس التي في حد ذاتها، تعمم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل . Gauss sats, eller divergenssatsen är ett matematiskt teorem och en av de grundläggande principerna inom vektoranalysen. Teoremet beskriver sambandet mellan divergensen av ett vektorfält och flödet genom en sluten yta i vektorfältet. 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Ostrogradski formula Divergence Theorem

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DivergenceTheorem

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In vector calculus, the divergence theorem, also known as Gauss's theorem or Ostrogradsky's theorem, is a theorem which relates the flux of a vector field through a closed surface to the divergence of the field in the volume enclosed. More precisely, the divergence theorem states that the surface integral of a vector field over a closed surface, which is called the "flux" through the surface, is equal to the volume integral of the divergence over the region inside the surface. Intuitively, it states that "the sum of all sources of the field in a region (with sinks regarded as negative sources) gives the net flux out of the region". The divergence theorem is an important result for the mathematics of physics and engineering, particularly in electrostatics and fluid dynamics. In these fields, it is usually applied in three dimensions. However, it generalizes to any number of dimensions. In one dimension, it is equivalent to integration by parts. In two dimensions, it is equivalent to Green's theorem. Der gaußsche Integralsatz, auch Satz von Gauß-Ostrogradski oder Divergenzsatz, ist ein Ergebnis aus der Vektoranalysis. Er stellt einen Zusammenhang zwischen der Divergenz eines Vektorfeldes und dem durch das Feld vorgegebenen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche her. Der nach Gauß benannte Integralsatz folgt als Spezialfall aus dem Satz von Stokes, der auch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung verallgemeinert. 벡터 미적분학에서 발산 정리(發散定理, 영어: divergence theorem) 또는 가우스 정리(Gauß定理, 영어: Gauss' divergence theorem)는 벡터 장의 선속이 그 발산의 삼중 적분과 같다는 정리이다. En cálculo vectorial, el teorema de la divergencia, también conocido como teorema de Gauss o teorema de Gauss-Ostrogradski, es un teorema que relaciona el flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada con la divergencia del campo en el volumen delimitado por dicha superficie. De forma más precisa, el teorema de la divergencia enuncia que la integral de superficie de un campo vectorial sobre una superficie cerrada es igual a la integral de volumen de la divergencia sobre la región dentro de la superficie. Intuitivamente enuncia que la suma de todas las fuentes de un campo en una región da el flujo de salida neto de una región. El teorema de la divergencia es un resultado importante en la física y en ingeniería, particularmente en electrostática y en mecánica de fluidos. En estos campos, normalmente se utiliza el teorema en tres dimensiones, sin embargo, puede generalizarse a cualquier número de dimensiones; en una dimensión es equivalente a integración por partes y en dos dimensiones es equivalente al teorema de Green. Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью. Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот. In de vectoranalyse is de divergentiestelling, stelling van Gauss of stelling van Ostrogradsky een formule die de divergentie van een vectorveld binnen een gesloten oppervlak relateert aan de flux van het veld naar buiten. De divergentiestelling is een belangrijk resultaat voor de wiskundige achtergrond van de natuurkunde, in het bijzonder in de elektrostatica en vloeistofmechanica. 高斯公式（Gauss's law），又称为高斯通量理论（Gauss' flux theorem）、散度定理（Divergence Theorem）、高斯散度定理（Gauss's Divergence Theorem）、高斯－奥斯特罗格拉德斯基公式或高－奥公式，是指在向量分析中，一个把向量场通过闭合曲面的流动（即通量）与曲面内部的向量场的表现联系起来的定理。该定理与斯托克斯定理（Stokes' Theorem）是向量中两大重要定理。 更加精确地说，高斯公式说明向量场穿过曲面的通量，等于散度在曲面圍起來的體積上的积分。直观地，所有源点的和减去所有汇点的和，就是流出這区域的淨流量。 高斯公式在工程数学中是一个很重要的结果，特别是静电学和流体力学。 在物理和工程中，散度定理通常运用在三维空间中。然而，它可以推广到任意维数。在一维，它等价于分部积分法；在二维，它等价于格林公式。 Dalam matematika teorema divergensi, yang dikenal juga dengan sebutan teorema Gauss atau teorema Ostrogradsky memerikan hubungan antara aliran (fluks) melalui permukaan dengan peri laku medan di dalam permukaan. Tepatnya, teorema ini menyatakan bahwa fluks sebuah medan vektor melalui permukaan tertutup sama dengan dari pada daerah di dalam permukaan. Secara intuitif teorema ini menyatakan bahwa jumlah semua sumber dikurangi jumlah semua sumur memberikan aliran netto keluar dari daerah itu. Teorema divergensi penting buat matematika rekayasa, terutama elektrostatika dan dinamika fluida. Dalam fisika dan rekayasa, teorema divergensi biasanya diterapkan dalam dimensi tiga. Namun teorema ini dapat digeneralisasi ke sembarang dimensi. Pada satu dimensi teorema ini ekivalen dengan teorema dasar Kalkulus. Pada ruang dua dimensi, ini setara dengan teorema Green. في تحليل المتجهات، تحقق مبرهنة التباعد (وتسمى أيضًا مبرهنة غاوس أو مبرهنة أوستروغرادسكي) المساواة بين تكامل تباعد حقل متجهي على الحجم في وتدفق هذا الحقل عبر حدود الحجم (وهو التكامل السطحي). المساواة هي على النحو التالي: حيث : * هو الحجم * هي حدود * هو المتجه العمودي على السطح، موجه للخارج ومعياره يساوي العنصر السطحي الذي يمثله * هو حقل متجهي قابل للاشتقاق باستمرار في أي نقطة من . * هو المؤثر نابلا؛ هذه المبرهنة تتبع مبرهنة ستوكس التي في حد ذاتها، تعمم المبرهنة الأساسية للتفاضل والتكامل . Формула Острогра́дського — формула, що виражає потік векторного поля через замкнену поверхню через інтеграл від дивергенції цього поля по об'єму, замкнутий під поверхнею. Якщо векторне поле задане диференційовними функціями , та , то У векторній формі її можна переписати як , де — векторне поле. Михайло Васильович Остроградський довів цю рівність у 1831 році. Окремі випадки загальної формули були відомі й раніше. Двовимірний аналог цієї формули називають формулою Гріна, а сама формула також відома під назвою формула Гаусса або формула Остроградського—Гаусса. Твердження формули є окремим випадком загальної теореми Стокса. Теорема Остроградського застосовується при вивченні процесів, які описуються векторними полями (напр., гравітаційним полем, полем напруг, електромагнітним та магнітним полями, полем швидкостей рідини тощо). En analyse vectorielle, le théorème de la divergence (également appelé théorème de Green-Ostrogradski ou théorème de flux-divergence), affirme l'égalité entre l'intégrale de la divergence d'un champ vectoriel sur un volume dans et le flux de ce champ à travers la frontière du volume (qui est une intégrale de surface). L'égalité est la suivante : où : * est le volume ; * est la frontière de * est le vecteur normal à la surface, dirigé vers l'extérieur et de norme égale à l'élément de surface qu'il représente * est continûment dérivable en tout point de ; * est l'opérateur nabla ; (valable uniquement en coordonnées cartésiennes). Ce théorème découle du théorème de Stokes qui, lui-même, généralise le second théorème fondamental de l'analyse. En càlcul vectorial, el teorema de la divergència, també conegut com a teorema de Gauss, teorema d'Ostrogradski, o teorema d'Ostrogradski–Gauss és un resultat que enllaça la divergència d'un camp vectorial al valor de les integrals de superfície del definit pel camp. El teorema de la divergència és un resultat important per les matemàtiques de la física, en particular en electroestàtica i dinàmica de fluids. Twierdzenie Ostrogradskiego-Gaussa umożliwia zamianę całki powierzchniowej na objętościową (potrójną) i na odwrót, w zależności od potrzeb, w której funkcją podcałkową po objętości jest dywergencja pola wektorowego Stosowane jest w elektrodynamice teoretycznej, przede wszystkim w teorii pola, elektronice, telekomunikacji i energetyce. 発散定理（はっさんていり、英語: divergence theorem）は、ベクトル場の発散を、その場によって定義される流れの面積分に結び付けるものである。 ガウスの定理（ガウスのていり、英語: Gauss' theorem）とも呼ばれる。 Gaussova věta, nebo též Gaussova-Ostrogradského věta či Věta o divergenci je věta matematické analýzy, která uvádí v souvislost vektorového pole A(r) uzavřenou jednoduše souvislou hladkou plochou Σ s integrálem přes objem V touto plochou uzavřený z divergence daného vektorového pole. , kde je divergence vektorového pole A(r), ∇ je operátor nabla a plocha Σ = ∂V je hranice kompaktní množiny V, která je orientována vektorem vnější normály, tzn. a n je vektor vnější normály plochy, a je a otevřená. Z fyzikálního hlediska vyjadřuje Gaussova věta skutečnost, že tok vektoru A uzavřenou plochou je roven objemovému integrálu z divergence vektoru A. Pro skalární veličinu f lze zavést její tok uzavřenou plochou S vztahem Pro tenzorovou veličinu využijeme toho, že po je tenzorem prvního řádu. Gaussovu větu pro tenzorovou veličinu pak můžeme vyjádřit jako Kromě uvedených vztahů platí pro vektor A také vztah Gauss sats, eller divergenssatsen är ett matematiskt teorem och en av de grundläggande principerna inom vektoranalysen. Teoremet beskriver sambandet mellan divergensen av ett vektorfält och flödet genom en sluten yta i vektorfältet. Gauss sats är ett viktigt verktyg för fysikens matematik, till exempel elektrostatiken och flödesdynamiken. In matematica e fisica, il teorema della divergenza, detto anche teorema di Ostrogradskij per il fatto che la prima dimostrazione è dovuta a Michail Ostrogradskij, è la generalizzazione a domini -dimensionali del teorema fondamentale del calcolo integrale. A sua volta, esso è un caso speciale del più generale teorema di Stokes. Talvolta il teorema è meno propriamente detto teorema di Gauss poiché fu storicamente congetturato da Carl Gauss, da non confondere col teorema di Gauss-Green, che invece è un caso speciale (ristretto a 2 dimensioni) del teorema del rotore, o con il teorema del flusso. En vektora kalkulo, la diverĝenca teoremo, aŭ gaŭsa teoremo aŭ teoremo de Ostrogradskij aŭ teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso estas interrilato inter la fluo eksteren de vektora kampo tra surfaco kaj la konduto de la vektora kampo ene de la surfaco. La diverĝenca teoremo statas ke la fluo de vektora kampo tra surfaco estas egala al la triopa integraĵo de la diverĝenco en la regiono ene de la surfaco. Intuicie, ĝi statas ke la sumo de intensecoj de ĉiuj fontoj de fluo (minus la sumo de intensecoj de ĉiuj finoj de la fluo) egalas al fluo el la regiono. La diverĝenca teoremo estas grava rezulto por fiziko, aparte elektrostatiko kaj fluidaĵ-dinamiko. No cálculo vetorial, o Teorema da Divergência (também conhecido como Teorema de Gauss, Teorema de Ostrogradski ou Teorema de Ostrogradski - Gauss) é um resultado que relaciona fluxo de um campo vetorial através de uma superfície com o comportamento do campo vetorial dentro da superfície. Mais precisamente, o teorema da divergência diz que o fluxo externo de um campo vetorial que passa através de uma superfície fechada é igual a integral do volume da divergência sobre a região dentro da superfície. Intuitivamente, ela considera que a soma de todas as fontes menos a soma de todos sumidouros dá o valor do fluxo líquido saindo da região. O teorema da divergência é um resultado importante da matemática para engenharia, em particular para a eletroestática e dinâmica de fluidos. Na física e na engenharia, o teorema da divergência é usualmente aplicada nas três dimensões. Entretanto, é generalizado para qualquer número de dimensão. Em uma dimensão, é equivalente ao teorema fundamental do cálculo. Em duas dimensões, é equivalente ao Teorema de Green. Este teorema é um caso especial do mais geral Teorema de Stokes.

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