HTML Microdata document

This HTML5 document contains 212 embedded RDF statements represented using HTML+Microdata notation.

The embedded RDF content will be recognized by any processor of HTML5 Microdata.

Namespace Prefixes

Prefix	IRI
dbt	http://dbpedia.org/resource/Template:
n46	https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211212/
dbpedia-no	http://no.dbpedia.org/resource/
wikipedia-en	http://en.wikipedia.org/wiki/
n39	http://hy.dbpedia.org/resource/
dbpedia-fi	http://fi.dbpedia.org/resource/
dbr	http://dbpedia.org/resource/
dbpedia-ar	http://ar.dbpedia.org/resource/
dbpedia-he	http://he.dbpedia.org/resource/
n11	http://commons.wikimedia.org/wiki/Special:FilePath/
dbpedia-fr	http://fr.dbpedia.org/resource/
dcterms	http://purl.org/dc/terms/
rdfs	http://www.w3.org/2000/01/rdf-schema#
dbpedia-kk	http://kk.dbpedia.org/resource/
dbpedia-az	http://az.dbpedia.org/resource/
rdf	http://www.w3.org/1999/02/22-rdf-syntax-ns#
n15	http://dbpedia.org/resource/File:
dbp	http://dbpedia.org/property/
n27	https://archive.org/details/elementarytreati00milnuoft/page/
xsdh	http://www.w3.org/2001/XMLSchema#
dbpedia-uk	http://uk.dbpedia.org/resource/
n13	http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/
dbo	http://dbpedia.org/ontology/
dbpedia-pt	http://pt.dbpedia.org/resource/
dbpedia-hu	http://hu.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ja	http://ja.dbpedia.org/resource/
n38	https://archive.today/20130104231533/http:/www.springerlink.com/content/p01527115762n730/
n31	http://www.mathpages.com/home/kmath543/
dbc	http://dbpedia.org/resource/Category:
dbpedia-de	http://de.dbpedia.org/resource/
dbpedia-pl	http://pl.dbpedia.org/resource/
n44	https://www.youtube.com/
yago	http://dbpedia.org/class/yago/
dbpedia-ro	http://ro.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ru	http://ru.dbpedia.org/resource/
wikidata	http://www.wikidata.org/entity/
dbpedia-nl	http://nl.dbpedia.org/resource/
yago-res	http://yago-knowledge.org/resource/
n17	https://global.dbpedia.org/id/
dbpedia-sl	http://sl.dbpedia.org/resource/
dbpedia-it	http://it.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ca	http://ca.dbpedia.org/resource/
prov	http://www.w3.org/ns/prov#
foaf	http://xmlns.com/foaf/0.1/
dbpedia-nn	http://nn.dbpedia.org/resource/
dbpedia-zh	http://zh.dbpedia.org/resource/
dbpedia-ko	http://ko.dbpedia.org/resource/
dbpedia-es	http://es.dbpedia.org/resource/
freebase	http://rdf.freebase.com/ns/
owl	http://www.w3.org/2002/07/owl#

Statements

Subject Item: dbr:Cross-ratio
rdf:type: yago:MagnitudeRelation113815152 yago:Relation100031921 owl:Thing yago:Abstraction100002137 yago:WikicatRatios yago:Ratio113819207
rdfs:label: 複比 Doppelverhältnis 비조화비 Birapport Двойное отношение Dubbelverhouding Razão anarmônica نسبة تبادلية Raó doble Cross-ratio Подвійне відношення Razón anarmónica Dwustosunek 交比 Birapporto
rdfs:comment: Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird zum Beispiel die Strecke sowohl durch einen Punkt als auch durch einen Punkt in jeweils zwei Teilstrecken und bzw. und (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte die gegebene Strecke teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen, denn das anschaulichere Teilverhältnis ist zwar invariant unter Parallelprojektionen, aber nicht unter Zentralprojektionen.Eine Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (das heißt, einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird). La raó doble, també anomenada raó anharmònica, és una poderosa eina en geometria, especialment en geometria projectiva. El nom de raó anharmònica va ser creat per Michel Chasles, però la noció es remunta a Pappos d'Alexandria. في الهندسة الرياضية، النسبة التبادلية (بالإنجليزية: Cross-ratio)‏ هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي: حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. إذا كانت واحدة من النقاط الأربع نقطةً في اللانهاية، فإنَّ المسافتين الواصلتين بهذه النقطة تُحذف من الصيغة. تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA و B. In geometry, the cross-ratio, also called the double ratio and anharmonic ratio, is a number associated with a list of four collinear points, particularly points on a projective line. Given four points A, B, C and D on a line, their cross ratio is defined as The cross-ratio is preserved by linear fractional transformations. It is essentially the only projective invariant of a quadruple of collinear points; this underlies its importance for projective geometry. La razón anarmónica o razón doble es una poderosa herramienta en geometría, especialmente en geometría proyectiva. El nombre de razón anarmónica fue creado por Michel Chasles, pero la noción se remonta a Papo de Alejandría. In de meetkunde is de dubbelverhouding van vier collineaire punten gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie. Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел , , , (вещественных или комплексных) определяется как Также встречаются обозначения и . Dwustosunek (stosunek anharmoniczny) czterech współliniowych punktów – funkcja postaci: gdzie punkty A, B, C, D spełniają oraz jest współrzędną punktu X w układzie współrzędnych na danej prostej. Jest to podstawowe pojęcie geometrii rzutowej. Jak widać, powyższa definicja zakłada istnienie układu współrzędnych na rozpatrywanej prostej. Wybór układu współrzędnych z wielu możliwych nie wpływa na wartość dwustosunku. Le birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie, mais son étude systématique est réalisée en 1827 par Möbius. 사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 영어: anharmonic ratio) 또는 복비(複比, 영어: double ratio)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다. Подві́йне відно́шення (або складне́ відно́шення або застаріле ангармонічне відношення) четвірки чисел , , , (дійсних чи комплексних) визначається як 数学上，複平面上四点的交比是。这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面，即複平面加上无穷远点。一般来说，交比可以定义在（黎曼球面就是複射影直線）。在任何中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说保持交比不变。从前人们注意到如果四条直线穿过一点P，第五条直线L不穿过P，分别与四条直线交于四点，那么在L上按序取四点的有向长度，所算出的交比是独立于L。它是这四直线系的不变量。四个複数的交比为实数当且唯当四点共线或。 Il birapporto è una grandezza associata a una quaterna di punti di una retta. Si tratta di uno strumento importante in geometria proiettiva: risulta infatti definito anche se uno dei quattro punti è all'infinito (la retta in questione è quindi una retta proiettiva) ed è invariante tramite trasformazioni proiettive. La retta su cui giacciono i punti può essere definita su un campo diverso dai numeri reali. Ad esempio, se definita sui numeri complessi, la retta è in realtà la sfera di Riemann, ovvero il piano complesso a cui va aggiunto un punto all'infinito. 複比（ふくひ、英: double ratio）は、幾何学における概念の1つで、交差比（こうさひ、英: cross-ratio）および非調和比（ひちょうわひ、英: anharmonic ratio）とも呼ばれ、4つの共線上の点、特に射影直線上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。ここで、各距離の符号は線の向きによって決まり、距離はユークリッド空間に射影されて測定される。（4つの点の1つが直線の無限遠点である場合、その点を含む2つの距離は式から削除される。）複比が正確に-1の場合、点DはAとBに対するCのであり、調和比と呼ばれる。したがって、複比は、4つ組の調和比からの偏差を測定するものとみなせる。そのため非調和比とも呼ばれる。複比は線形分数変換の下で不変である。これは本質的に4つの同一線上の点の唯一の射影不変量である。このことは射影幾何学の根底にある重要な性質である。複比は、古代よりおそらくはユークリッドによって定義され、パップスによってその重要な普遍性特性に注目した考察がなされた。19世紀には広く研究されるようになった。 Em geometria projetiva, distâncias e ângulos não são preservados. O conceito métrico que é preservado pelas é a razão anarmônica. A razão anarmônica de quatro pontos colineares é definida por: em que os segmentos de reta devem ser interpretados como segmentos orientados. Os quatro pontos estão na razão harmônica quando a razão anarmônica entre eles vale -1.
owl:differentFrom: dbr:Odds_ratio
foaf:depiction: n11:Pappusharmonic.svg n11:Projection_geometry.svg
dcterms:subject: dbc:Ratios dbc:Projective_geometry
dbo:wikiPageID: 401767
dbo:wikiPageRevisionID: 1104327723
dbo:wikiPageWikiLink: dbr:Euclid dbr:Klein_four-group dbr:Quotient_group dbr:Ring_(mathematics) dbr:Carl_von_Staudt dbr:Homogeneous_coordinate dbr:Pappus_of_Alexandria dbr:Springer_Science+Business_Media dbr:Configuration_space_(mathematics) dbr:Dihedral_group_of_order_6 dbr:Riemann_surfaces dbr:Mathematical_Intelligencer dbr:Homography dbr:Projective_harmonic_conjugate dbr:Group_(mathematics) dbr:Projective_line_over_a_ring dbr:Complex_plane dbr:Constant_(mathematics) dbr:Theta_functions dbr:Generating_set_of_a_group dbr:Fixed_point_(mathematics) dbr:Complex_number dbr:Möbius_transformation dbr:Unit_circle dbr:Parallel_(geometry) dbr:Concyclic dbr:Euclidean_space dbr:Multiplicative_inverse dbr:Transitive_action dbr:Non-Euclidean_geometry dbr:Geometry n15:Projection_geometry.svg dbr:Group_action dbr:Dirk_Struik dbr:Group_action_(mathematics) dbr:Elliptic_transform dbr:Five_points_determine_a_conic dbr:Cayley–Klein_model dbr:Abel–Jacobi_map dbr:Invariant_(mathematics) dbr:Symmetric_group dbr:Projective_geometry dbr:Translation_(mathematics) dbr:Projective_plane dbr:Collinear dbr:Michel_Chasles dbr:Effective_group_action dbr:General_position dbr:Genus_(mathematics) dbr:Poincaré_disk_model dbr:Generalized_circle dbr:Poincaré_half-plane_model dbr:Stabilizer_subgroup dbr:Projectively_extended_real_line dbr:Line_(geometry) dbr:Stabilizer_(group_theory) dbr:Projective_transformation dbr:Conic_section dbr:Homothetic_transformation dbr:Felix_Klein dbr:Field_(mathematics) dbr:Real_number dbr:Linear_fractional_transformation dbr:Point_at_infinity dbc:Ratios dbr:Addison-Wesley dbr:Cross-ratio dbr:Projective_connection dbr:Factorial dbr:Karl_von_Staudt dbr:Projective_line dbr:Projective_linear_group dbr:Projective_group dbr:Isaac_Newton dbr:Permutation dbr:Brady_Haran dbr:Complex_projective_line dbr:Cycle_notation dbr:Igor_Shafarevich dbr:Arthur_Cayley dbr:Hilbert_metric dbr:Riemann_sphere dbr:Henri_Poincaré dbr:Gaussian_curvature n15:Pappusharmonic.svg dbr:Special_conformal_transformation dbr:McGraw-Hill dbr:Hyperbolic_geometry dbr:Affine_transformation dbr:Schwarzian_derivative dbr:Lazare_Carnot dbr:Simply_transitive dbr:Cayley–Klein_metric dbr:Euclidean_geometry dbr:Cambridge_University_Press dbr:Robert_Simson dbr:Cut-the-knot dbr:William_Kingdon_Clifford dbr:Möbius_group dbr:Lars_Ahlfors dbc:Projective_geometry
dbo:wikiPageExternalLink: n13:Cross-Ratio.shtml n27:11 n31:kmath543.htm n38: n44:watch%3Fv=ffvojZONF_A n46:ffvojZONF_A%7C
owl:sameAs: dbpedia-nn:Dobbeltforhold dbpedia-uk:Подвійне_відношення dbpedia-pl:Dwustosunek dbpedia-ja:複比 freebase:m.023yz8 n17:53zSL dbpedia-he:יחס_כפול dbpedia-it:Birapporto dbpedia-kk:Екі_еселі_қатынас dbpedia-de:Doppelverhältnis dbpedia-ca:Raó_doble dbpedia-fr:Birapport dbpedia-zh:交比 dbpedia-ko:비조화비 dbpedia-pt:Razão_anarmônica dbpedia-nl:Dubbelverhouding dbpedia-sl:Dvorazmerje dbpedia-hu:Kettősviszony dbpedia-no:Dobbeltforhold dbpedia-ru:Двойное_отношение n39:Կրկնակի_հարաբերություն dbpedia-fi:Kaksoissuhde wikidata:Q899539 dbpedia-az:Çarpaz_məzənnə dbpedia-es:Razón_anarmónica yago-res:Cross-ratio dbpedia-ar:نسبة_تبادلية dbpedia-ro:Raport_anarmonic
dbp:wikiPageUsesTemplate: dbt:Cbignore dbt:Mathworld dbt:Further dbt:ISBN dbt:Citation_needed dbt:Null dbt:Clear dbt:Short_description dbt:Cite_web dbt:Main dbt:Reflist dbt:Distinguish dbt:Cross_ratio_metrology_example.svg dbt:Visible_anchor dbt:!
dbo:thumbnail: n11:Projection_geometry.svg?width=300
dbo:abstract: في الهندسة الرياضية، النسبة التبادلية (بالإنجليزية: Cross-ratio)‏ هي نسبةٌ مُرتبطةٌ بأربعِ نقاطٍ مُتسامتة. إذا كانت النقاط على استقامةٍ واحدةٍ، فإنَّ نسبتهم التبادلية تُعرّف كالآتي: حيث أنَّ النّسب نسبٌ مُوجّهةٌ. إذا كانت واحدة من النقاط الأربع نقطةً في اللانهاية، فإنَّ المسافتين الواصلتين بهذه النقطة تُحذف من الصيغة. تُعرّفُ النقطة D على أنّها المرافق التوافقي للنقطة C بالنسبة لـA و B. La razón anarmónica o razón doble es una poderosa herramienta en geometría, especialmente en geometría proyectiva. El nombre de razón anarmónica fue creado por Michel Chasles, pero la noción se remonta a Papo de Alejandría. 複比（ふくひ、英: double ratio）は、幾何学における概念の1つで、交差比（こうさひ、英: cross-ratio）および非調和比（ひちょうわひ、英: anharmonic ratio）とも呼ばれ、4つの共線上の点、特に射影直線上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。ここで、各距離の符号は線の向きによって決まり、距離はユークリッド空間に射影されて測定される。（4つの点の1つが直線の無限遠点である場合、その点を含む2つの距離は式から削除される。）複比が正確に-1の場合、点DはAとBに対するCのであり、調和比と呼ばれる。したがって、複比は、4つ組の調和比からの偏差を測定するものとみなせる。そのため非調和比とも呼ばれる。複比は線形分数変換の下で不変である。これは本質的に4つの同一線上の点の唯一の射影不変量である。このことは射影幾何学の根底にある重要な性質である。複比は、古代よりおそらくはユークリッドによって定義され、パップスによってその重要な普遍性特性に注目した考察がなされた。19世紀には広く研究されるようになった。射影平面上で1点で交わる4線（英: concurrent lines）や、リーマン球面上の4点についての派生した概念も存在する。双曲幾何学のでは、特定の複比により点間の距離が表される。 사영기하학에서, 비조화비(非調和比, 영어: anharmonic ratio) 또는 복비(複比, 영어: double ratio)는 같은 직선 위에 있는 네 점의 유일한 사영 불변량이다. Двойное отношение (или сложное отношение или устаревшее ангармоническое отношение) четвёрки чисел , , , (вещественных или комплексных) определяется как Также встречаются обозначения и . Dwustosunek (stosunek anharmoniczny) czterech współliniowych punktów – funkcja postaci: gdzie punkty A, B, C, D spełniają oraz jest współrzędną punktu X w układzie współrzędnych na danej prostej. Jest to podstawowe pojęcie geometrii rzutowej. Jak widać, powyższa definicja zakłada istnienie układu współrzędnych na rozpatrywanej prostej. Jeśli dwustosunek stosujemy na płaszczyźnie euklidesowej to wystarczy zbudować dowolny kartezjański układ współrzędnych wykorzystując relację przystawania i relację prostopadłości. Jeśli stosujemy go na płaszczyźnie rzutowej to trzeba zbudować jakiś wykorzystując relację harmoniczności punktów rzutowych Wybór układu współrzędnych z wielu możliwych nie wpływa na wartość dwustosunku. Em geometria projetiva, distâncias e ângulos não são preservados. O conceito métrico que é preservado pelas é a razão anarmônica. A razão anarmônica de quatro pontos colineares é definida por: em que os segmentos de reta devem ser interpretados como segmentos orientados. Os quatro pontos estão na razão harmônica quando a razão anarmônica entre eles vale -1. Le birapport, ou rapport anharmonique selon la dénomination de Michel Chasles est un outil puissant de la géométrie, en particulier la géométrie projective. La notion remonte à Pappus d'Alexandrie, mais son étude systématique est réalisée en 1827 par Möbius. La raó doble, també anomenada raó anharmònica, és una poderosa eina en geometria, especialment en geometria projectiva. El nom de raó anharmònica va ser creat per Michel Chasles, però la noció es remunta a Pappos d'Alexandria. Подві́йне відно́шення (або складне́ відно́шення або застаріле ангармонічне відношення) четвірки чисел , , , (дійсних чи комплексних) визначається як In de meetkunde is de dubbelverhouding van vier collineaire punten gedefinieerd als de verhouding van twee deelverhoudingen. De dubbelverhouding is invariant onder centrale projectie. 数学上，複平面上四点的交比是。这个定义可以连续延拓至整个黎曼球面，即複平面加上无穷远点。一般来说，交比可以定义在（黎曼球面就是複射影直線）。在任何中，交比由上式给出。交比是射影几何的不变量，就是说保持交比不变。从前人们注意到如果四条直线穿过一点P，第五条直线L不穿过P，分别与四条直线交于四点，那么在L上按序取四点的有向长度，所算出的交比是独立于L。它是这四直线系的不变量。四个複数的交比为实数当且唯当四点共线或。 Das Doppelverhältnis ist in der Geometrie im einfachsten Fall das Verhältnis zweier Teilverhältnisse. Wird zum Beispiel die Strecke sowohl durch einen Punkt als auch durch einen Punkt in jeweils zwei Teilstrecken und bzw. und (s. erstes Beispiel) geteilt, so ist das Verhältnis das (affine) Doppelverhältnis, in dem die Teilpunkte die gegebene Strecke teilen. Die große Bedeutung erhält das Doppelverhältnis als Invariante bei Zentralprojektionen, denn das anschaulichere Teilverhältnis ist zwar invariant unter Parallelprojektionen, aber nicht unter Zentralprojektionen.Eine Verallgemeinerung führt zur Definition des Doppelverhältnisses für Punkte einer projektiven Gerade (das heißt, einer affinen Geraden, der ein Fernpunkt hinzugefügt wird). Ein besonderer Fall liegt vor, wenn das Doppelverhältnis den Wert −1 annimmt. In diesem Fall spricht man von einer harmonischen Teilung der Strecke durch das Punktepaar und sagt, liegen harmonisch. Während man das Teilverhältnis dreier Punkte noch gut an der Lage der Punkte abschätzen kann, ist dies für das Doppelverhältnis fast unmöglich. Das Doppelverhältnis hat in der analytischen und projektiven Geometrie hauptsächlich theoretische Bedeutung (Invariante bei projektiven Kollineationen). In der Darstellenden Geometrie allerdings wird es (ohne Rechnung) zur Rekonstruktion ebener Figuren verwendet. Il birapporto è una grandezza associata a una quaterna di punti di una retta. Si tratta di uno strumento importante in geometria proiettiva: risulta infatti definito anche se uno dei quattro punti è all'infinito (la retta in questione è quindi una retta proiettiva) ed è invariante tramite trasformazioni proiettive. La retta su cui giacciono i punti può essere definita su un campo diverso dai numeri reali. Ad esempio, se definita sui numeri complessi, la retta è in realtà la sfera di Riemann, ovvero il piano complesso a cui va aggiunto un punto all'infinito. Il birapporto ha nella geometria proiettiva un ruolo vagamente simile a quello della distanza tra punti in geometria euclidea. Il birapporto viene chiamato anche rapporto anarmonico, termine coniato da Michel Chasles per una nozione nota prima delle sue ricerche geometriche. In geometry, the cross-ratio, also called the double ratio and anharmonic ratio, is a number associated with a list of four collinear points, particularly points on a projective line. Given four points A, B, C and D on a line, their cross ratio is defined as where an orientation of the line determines the sign of each distance and the distance is measured as projected into Euclidean space. (If one of the four points is the line's point at infinity, then the two distances involving that point are dropped from the formula.)The point D is the harmonic conjugate of C with respect to A and B precisely if the cross-ratio of the quadruple is −1, called the harmonic ratio. The cross-ratio can therefore be regarded as measuring the quadruple's deviation from this ratio; hence the name anharmonic ratio. The cross-ratio is preserved by linear fractional transformations. It is essentially the only projective invariant of a quadruple of collinear points; this underlies its importance for projective geometry. The cross-ratio had been defined in deep antiquity, possibly already by Euclid, and was considered by Pappus, who noted its key invariance property. It was extensively studied in the 19th century. Variants of this concept exist for a quadruple of concurrent lines on the projective plane and a quadruple of points on the Riemann sphere.In the Cayley–Klein model of hyperbolic geometry, the distance between points is expressed in terms of a certain cross-ratio.
prov:wasDerivedFrom: wikipedia-en:Cross-ratio?oldid=1104327723&ns=0
dbo:wikiPageLength: 26066
foaf:isPrimaryTopicOf: wikipedia-en:Cross-ratio