"Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, \u00B11\u20442, 1\u20446, 0, \u22121\u204430, \u2026 sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenh\u00E4ngen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingef\u00FChrt."@de . . . . "n"@en . . . . . . . "\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uBCA0\uB974\uB204\uC774 \uC218(Bernoulli\u6578, \uC601\uC5B4: Bernoulli numbers)\uB294 \uAC70\uB4ED\uC81C\uACF1\uC218(Exponentiation)\uC758 \uD569, \uC0BC\uAC01\uD568\uC218(trigonometric functions \uB610\uB294 circular functions)\uC758 \uBA71\uAE09\uC218(power series)\uC758 \uB2E4\uC591\uD55C \uACF5\uC2DD\uC5D0 \uB4F1\uC7A5\uD558\uB294 \uC720\uB9AC\uC218 \uC218\uC5F4\uC774\uB2E4. \uC815\uC218\uB860\uACFC \uAE4A\uC740 \uAD00\uACC4\uAC00 \uC788\uB294 \uC2E4\uC218\uC5F4\uB85C, \uC57C\uCF54\uD504 \uBCA0\uB974\uB204\uC774\uC5D0 \uC758\uD574 \uBC1C\uACAC\uB418\uACE0 \uADF8\uC758 \uC774\uB984\uC5D0\uC11C \uBA85\uBA85\uB410\uB2E4. \uC774\uC640\uB294 \uBCC4\uAC1C\uB85C \uB3D9\uC2DC\uB300\uC5D0 \uC138\uD0A4 \uB2E4\uCE74\uCE74\uC988\uB3C4 \uBC1C\uACAC\uD588\uB2E4."@ko . . "\u0427\u0438\u0301\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u0301\u043B\u043B\u0438 \u2014 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B , \u0432\u043F\u0435\u0440\u0432\u044B\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043C\u043E\u0442\u0440\u0435\u043D\u043D\u0430\u044F \u042F\u043A\u043E\u0431\u043E\u043C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0438 \u0432 \u0441\u0432\u044F\u0437\u0438 \u0441 \u0432\u044B\u0447\u0438\u0441\u043B\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0441\u0443\u043C\u043C\u044B \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0432\u043E\u0437\u0432\u0435\u0434\u0451\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0438 \u0442\u0443 \u0436\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u044C: \u0433\u0434\u0435 \u2014 \u0431\u0438\u043D\u043E\u043C\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0439 \u043A\u043E\u044D\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043D\u0442."@ru . "\uC218\uB860\uC5D0\uC11C \uBCA0\uB974\uB204\uC774 \uC218(Bernoulli\u6578, \uC601\uC5B4: Bernoulli numbers)\uB294 \uAC70\uB4ED\uC81C\uACF1\uC218(Exponentiation)\uC758 \uD569, \uC0BC\uAC01\uD568\uC218(trigonometric functions \uB610\uB294 circular functions)\uC758 \uBA71\uAE09\uC218(power series)\uC758 \uB2E4\uC591\uD55C \uACF5\uC2DD\uC5D0 \uB4F1\uC7A5\uD558\uB294 \uC720\uB9AC\uC218 \uC218\uC5F4\uC774\uB2E4. \uC815\uC218\uB860\uACFC \uAE4A\uC740 \uAD00\uACC4\uAC00 \uC788\uB294 \uC2E4\uC218\uC5F4\uB85C, \uC57C\uCF54\uD504 \uBCA0\uB974\uB204\uC774\uC5D0 \uC758\uD574 \uBC1C\uACAC\uB418\uACE0 \uADF8\uC758 \uC774\uB984\uC5D0\uC11C \uBA85\uBA85\uB410\uB2E4. \uC774\uC640\uB294 \uBCC4\uAC1C\uB85C \uB3D9\uC2DC\uB300\uC5D0 \uC138\uD0A4 \uB2E4\uCE74\uCE74\uC988\uB3C4 \uBC1C\uACAC\uD588\uB2E4."@ko . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A Bn \u0647\u064A \u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0643\u0633\u0631\u064A\u0629 \u0630\u0627\u062A \u0627\u0644\u0639\u0644\u0627\u0642\u0629 \u0627\u0644\u0648\u062B\u064A\u0642\u0629 \u0628\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F. \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u0649 \u062A\u0623\u062A\u064A \u0641\u064A\u0645\u0627 \u064A\u0644\u064A: B0 = 1, B1 = \u00B11\u20442, B2 = 1\u20446, B3 = 0, B4 = \u22121\u204430, B5 = 0, B6 = 1\u204442, B7 = 0, B8 = \u22121\u204430. \u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0633\u062A\u0639\u0645\u0644 \u0627\u0635\u0637\u0644\u0627\u062D B1=\u22121\u20442\u060C \u062A\u0639\u0631\u0641 \u0627\u0644\u0645\u062A\u062A\u0627\u0644\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0633\u0645 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u0649\u060C \u0648\u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0633\u062A\u0639\u0645\u0644 \u0627\u0635\u0637\u0644\u0627\u062D B1=+1\u20442\u060C \u062A\u0639\u0631\u0641 \u0627\u0644\u0645\u062A\u062A\u0627\u0644\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0633\u0645 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u062B\u0627\u0646\u064A\u0629. \u0628\u0627\u0633\u062A\u062B\u0646\u0627\u0621 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0641\u0631\u0642\u060C \u0641\u0625\u0646 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u064A \u0648\u0627\u0644\u062B\u0627\u0646\u064A\u0629 \u0645\u062A\u0633\u0627\u0648\u064A\u0629. \u0628\u0645\u0627 \u0623\u0646 Bn=0 \u0645\u0647\u0645\u0627 \u0643\u0627\u0646 n \u0641\u0631\u062F\u064A\u0627 \u0648\u0623\u0643\u0628\u0631 \u0642\u0637\u0639\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0648\u0627\u062D\u062F. \u0648\u0628\u0645\u0627 \u0623\u0646 \u0647\u0646\u0627\u0643 \u0639\u062F\u0629 \u0635\u064A\u063A \u062A\u062D\u062A\u0648\u064A \u0639\u0644\u0649 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0643\u0648\u0646 n \u0632\u0648\u062C\u064A\u0627\u060C \u064A\u0641\u0636\u0644 \u0628\u0639\u0636 \u0627\u0644\u0643\u062A\u0627\u0628 \u0643\u062A\u0627\u0628\u0629 Bn \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 B2n."@ar . . . . "\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570 (\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u3059\u3046\u3001\u82F1: Bernoulli number\u3001\u307E\u308C\u306B\u95A2\u30FB\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u3068\u3082) \u306F\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u57FA\u672C\u7684\u306A\u4FC2\u6570\u3092\u4E0E\u3048\u308B\u6570\u5217\u306E1\u3064\u3002\u95A2\u6570 x/ex \u2212 1 \u306E\u30DE\u30AF\u30ED\u30FC\u30EA\u30F3\u5C55\u958B (\u30C6\u30A4\u30E9\u30FC\u5C55\u958B) \u306E\u5C55\u958B\u4FC2\u6570\u3068\u3057\u3066\u5B9A\u7FA9\u3055\u308C\u308B: \u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u3092\u6700\u521D\u306B\u53D6\u308A\u6271\u3063\u305F\u306E\u306F\u95A2\u5B5D\u548C\u3067\u3042\u308B\u304C\u3001\u307B\u307C\u540C\u6642\u671F\u306B\u3001\u95A2\u3068\u306F\u72EC\u7ACB\u3057\u3066\u30B9\u30A4\u30B9\u306E\u6570\u5B66\u8005\u30E4\u30B3\u30D6\u30FB\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u304C\u767A\u898B\u3057\u305F\u3053\u3068\u304B\u3089\u3053\u306E\u540D\u304C\u3064\u3044\u3066\u3044\u308B\u3002\u95A2\u306B\u3088\u308B\u767A\u898B\u306F\u3001\u6B7B\u5F8C\u306E1712\u5E74\u306B\u51FA\u7248\u3055\u308C\u305F\u300E\u62EC\u8981\u7B97\u6CD5\u300F\u306B\u8A18\u8FF0\u3055\u308C\u3066\u304A\u308A\u3001\u307E\u305F\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u306B\u3088\u308B\u767A\u898B\u306F\u3001\u6B7B\u5F8C\u306E1713\u5E74\u306B\u51FA\u7248\u3055\u308C\u305F\u8457\u66F8\u300EArs Conjectandi (\u63A8\u6E2C\u8853)\u300F \u306B\u8A18\u8F09\u3055\u308C\u3066\u3044\u308B\u3002 \u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u306F\u3001\u3079\u304D\u4E57\u548C\u306E\u5C55\u958B\u4FC2\u6570\u306B\u3068\u3069\u307E\u3089\u305A\u3001\u7D1A\u6570\u5C55\u958B\u306E\u4FC2\u6570\u3084\u5270\u4F59\u9805\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u767B\u5834\u3059\u308B\u3002\u307E\u305F\u3001\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u306F\u3059\u3079\u3066\u304C\u6709\u7406\u6570\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . . . . "\u6578\u5B78\u4E0A\uFF0C\u767D\u52AA\u5229\u6578 Bn \u662F\u4E00\u500B\u8207\u6578\u8AD6\u6709\u5BC6\u5207\u95DC\u806F\u7684\u6709\u7406\u6578\u5E8F\u5217\u3002\u524D\u5E7E\u9805\u88AB\u767C\u73FE\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u5206\u5225\u70BA\uFF1A B0 = 1, B\u00B11 = \u00B1 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = \u2212 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = \u2212 1/30. \u4E0A\u6A19 \u00B1 \u5728\u672C\u6587\u4E2D\u7528\u4F86\u5340\u5225\u5169\u7A2E\u4E0D\u540C\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u5B9A\u7FA9\uFF0C\u800C\u9019\u5169\u7A2E\u5B9A\u7FA9\u53EA\u6709\u5728n = 1 \u6642\u6709\u6240\u4E0D\u540C\uFF1A \n* B\u2212n \u8868\u793A\u7B2C\u4E00\u767D\u52AA\u5229\u6578 (A027641 / A027642)\uFF0C\u7531\u7F8E\u570B\u570B\u5BB6\u6A19\u6E96\u6280\u8853\u7814\u7A76\u6240 (NIST)\u5236\u5B9A\uFF0C\u5728\u9019\u6A19\u6E96\u4E0B B\u22121 = \u2212 1/2. \n* B+n \u8868\u793A\u7B2C\u4E8C\u767D\u52AA\u5229\u6578 (A164555 / A027642)\uFF0C\u53C8\u88AB\u7A31\u70BA\u662F\u300C\u539F\u59CB\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u300D \uFF0C\u5728\u9019\u6A19\u6E96\u4E0B B+1 = + 1/2. \u7531\u65BC\u5C0D\u65BC\u6240\u6709\u5927\u65BC1\u7684\u5947\u6578 n\u767D\u52AA\u5229\u6578 Bn = 0 \uFF0C\u4E14\u8A31\u591A\u516C\u5F0F\u4E2D\u50C5\u4F7F\u7528\u5076\u6578\u9805\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\uFF0C\u4E00\u4E9B\u4F5C\u8005\u53EF\u80FD\u6703\u7528\"Bn\"\u4F86\u4EE3\u8868 B2n\uFF0C\u4E0D\u904E\u5728\u672C\u6587\u4E2D\u4E0D\u6703\u4F7F\u7528\u5982\u6B64\u7684\u7C21\u5BEB\u3002"@zh . . "In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers which occur frequently in analysis. The Bernoulli numbers appear in (and can be defined by) the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in Faulhaber's formula for the sum of m-th powers of the first n positive integers, in the Euler\u2013Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function."@en . "\u0427\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0438"@ru . "Bernoulliren zenbaki"@eu . . "In matematica, i numeri di Bernoulli costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione."@it . "\u4F2F\u52AA\u5229\u6570"@zh . . . . . . . . "\u039F\u03B9 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u039C\u03C0\u03B5\u03C1\u03BD\u03BF\u03CD\u03BB\u03B9, 1, \u00B1 1\u20442, 1\u20446, 0, - 1\u204430 , ... \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B1\u03BA\u03BF\u03BB\u03BF\u03C5\u03B8\u03AF\u03B1 \u03C1\u03B7\u03C4\u03CE\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B5\u03BC\u03C6\u03B1\u03BD\u03AF\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03C3\u03B5 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03B8\u03AD\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1: \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03C4\u03B5\u03BB\u03B5\u03C3\u03C4\u03AD\u03C2 \u03B5\u03C0\u03AD\u03BA\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C4\u03C1\u03B9\u03B3\u03C9\u03BD\u03BF\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD, \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AC\u03BB\u03BB\u03C9\u03BD \u03C3\u03C5\u03BD\u03B1\u03C1\u03C4\u03AE\u03C3\u03B5\u03C9\u03BD, \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u038C\u03B9\u03BB\u03B5\u03C1-\u039C\u03B1\u03BA\u03BB\u03CC\u03C1\u03B9\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03C3\u03B5 \u03C3\u03C7\u03AD\u03C3\u03B7 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u0396\u03AE\u03C4\u03B1 \u03A1\u03AE\u03BC\u03B1\u03BD . \u0397 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C5\u03C4\u03CE\u03BD \u03C4\u03C9\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03BC\u03B5\u03C4\u03AC \u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1\u03BA\u03AC\u03BB\u03C5\u03C8\u03AE \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u0393\u03B9\u03AC\u03BA\u03BF\u03BC\u03C0 \u039C\u03C0\u03B5\u03C1\u03BD\u03BF\u03CD\u03BB\u03B9 \u03B5\u03B9\u03C3\u03AE\u03C7\u03B8\u03B7 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u0391\u03B2\u03C1\u03B1\u03AC\u03BC \u03BD\u03C4\u03B5 \u039C\u03BF\u03C5\u03AC\u03B2\u03C1."@el . . . . . . "Liczby Bernoulliego to niesko\u0144czony ci\u0105g liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porz\u0105dkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez w celu u\u0142atwienia obliczania sum ustalonych pot\u0119g kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niekt\u00F3re ich w\u0142asno\u015Bci opisa\u0142 szczeg\u00F3\u0142owo Jakob Bernoulli w ksi\u0105\u017Cce Ars Conjectandi (wydanej po \u015Bmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam mi\u0119dzy innymi, \u017Ce potrafi, wykorzystuj\u0105c wz\u00F3r Faulhabera (patrz ni\u017Cej) obliczy\u0107 sum\u0119: \u201Ew p\u00F3\u0142 kwadransa\u201D. Liczby Bernoulliego znalaz\u0142y zastosowanie w analizie (rozwini\u0119cia funkcji w szereg Taylora) i w teorii liczb."@pl . . . . . . . . . . "none"@en . . . "En matem\u00E1ticas, los n\u00FAmeros de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los n\u00FAmeros de Bell) constituyen una sucesi\u00F3n de n\u00FAmeros racionales con profundas conexiones en teor\u00EDa de n\u00FAmeros. Fueron llamados as\u00ED por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matem\u00E1tico que los estudi\u00F3. Los n\u00FAmeros de Bernoulli tambi\u00E9n aparecen en la expansi\u00F3n de las funciones tangente y tangente hiperb\u00F3lica mediante series de Taylor, en la f\u00F3rmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la funci\u00F3n zeta de Riemann."@es . . . . . . "\u0391\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CC\u03C2 \u039C\u03C0\u03B5\u03C1\u03BD\u03BF\u03CD\u03BB\u03B9"@el . "\uBCA0\uB974\uB204\uC774 \uC218"@ko . . . . . . . "Liczby Bernoulliego to niesko\u0144czony ci\u0105g liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porz\u0105dkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez w celu u\u0142atwienia obliczania sum ustalonych pot\u0119g kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niekt\u00F3re ich w\u0142asno\u015Bci opisa\u0142 szczeg\u00F3\u0142owo Jakob Bernoulli w ksi\u0105\u017Cce Ars Conjectandi (wydanej po \u015Bmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam mi\u0119dzy innymi, \u017Ce potrafi, wykorzystuj\u0105c wz\u00F3r Faulhabera (patrz ni\u017Cej) obliczy\u0107 sum\u0119: \u201Ew p\u00F3\u0142 kwadransa\u201D."@pl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Bernoulliho \u010D\u00EDsla je nekone\u010Dn\u00E1 posloupnost racion\u00E1ln\u00EDch \u010D\u00EDsel kterou popsal v roce 1631 jako n\u00E1stroj pro usnadn\u011Bn\u00ED po\u010D\u00EDt\u00E1n\u00ED sum ur\u010Dit\u00FDch mocnin po sob\u011B jdouc\u00EDch p\u0159irozen\u00FDch \u010D\u00EDsel. Toto pou\u017Eit\u00ED a n\u011Bkter\u00E9 jejich vlastnosti podrobn\u011B popsal Jacob Bernoulli v knize (vydan\u00E9 po smrti autora v roce 1713). Uv\u00E1d\u00ED tam mimo jin\u00E9, \u017Ee pou\u017Eit\u00EDm Faulhaberova vzorce (viz n\u00ED\u017Ee) dok\u00E1\u017Ee spo\u010D\u00EDtat sou\u010Det: \u201Eza p\u016Fl \u010Dtvrthodiny\u201D. Bernoulliho \u010D\u00EDsla na\u0161la pou\u017Eit\u00ED v matematick\u00E9 anal\u00FDze (p\u0159i rozvoji funkc\u00ED v Taylorovu \u0159adu) a v teorii \u010D\u00EDsel."@cs . . . "\u0427\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0456"@uk . . . . . "In de wiskunde zijn bernoulli-getallen rationale getallen, die een belangrijke rol in de getaltheorie spelen. Het bernoulli-getal is gedefinieerd als de co\u00EBffici\u00EBnt in de reeksontwikkeling: Dit betekent dat: De eerste veertien bernoulli-getallen zijn:"@nl . . . . . . . . . . "En math\u00E9matiques, les nombres de Bernoulli, not\u00E9s Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polyn\u00F4mes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels. Ces nombres ont d'abord \u00E9t\u00E9 \u00E9tudi\u00E9s par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre \u00E0 leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type Pour des valeurs enti\u00E8res de m, cette somme s'\u00E9crit comme un polyn\u00F4me de la variable n dont les premiers termes sont : Les premiers nombres de Bernoulli sont donn\u00E9s par la table suivante : On peut les d\u00E9finir par l'interm\u00E9diaire du d\u00E9veloppement en s\u00E9rie enti\u00E8re (convergent si |x| < 2\u03C0) : Les nombres de Bernoulli apparaissent dans de tr\u00E8s nombreuses applications, depuis la formule d'Euler-Maclaurin : , ou les sommes d\u00E9finissant la fonction z\u00EAta de Riemann, dues \u00E0 Leonhard Euler : jusqu'\u00E0 l'approche par Kummer du dernier th\u00E9or\u00E8me de Fermat. Les nombres A = 1/6, B = \u20131/30, C = 1/42, D = \u2013 1/30, ... apparaissent dans Ars Conjectandi de Bernoulli, 1713, page 97. Les nombres de Bernoulli avec au lieu de sont la transform\u00E9e binomiale des premiers et s'obtiennent \u00E0 partir des nombres de Worpitzky ou, ce qui est \u00E9quivalent, en appliquant l'algorithme d'Akiyama-Tanigawa \u00E0 1/(n+1).\u00C0 la suite de l'article \u00AB The Bernoulli Manifesto \u00BB de Peter Luschny, Donald Knuth a adopt\u00E9 la valeur , aussi dans les r\u00E9centes r\u00E9impressions du livre Concrete Mathematics ; Knuth pr\u00E9sente les nouvelles versions dans un texte \u00E0 part."@fr . "Matematikan, Bernouilliren zenbakiak zenbaki arrazionalak dira eta sekuentzia bat osatzen dutenak. Zenbakien teoriarekin lotura handia dute. Bernuilliren lehen zortzi zenbakiak hauek dira: B0 = 1, B1 = \u00B11\u20442, B2 = 1\u20446, B3 = 0, B4 = \u22121\u204430, B5 = 0, B6 = 1\u204442, B7 = 0, B8 = \u22121\u204430. XVIII. mendeko hasieran Ada Lovelacek erabili zuen Charles Babbageren makina analitikoa Bernouilliren zenbakizko sekuentzia bat automatikoki sortzeko. Horregatik esaten da Ada Lovelace izan zela historiako lehen programatzailea."@eu . . . . . . . . . . . "Bernoulli number"@en . . . "Bernoullitalen \u00E4r en sekvens av rationella tal som ofta f\u00F6rekommer inom matematiken, fr\u00E4mst inom talteori. De betecknas Bn och \u00E4r f\u00F6r n = 0, 1, 2, ... lika med 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ... d\u00E4r t\u00E4ljarna och n\u00E4mnarna ges av respektive i OEIS. Bortsett fr\u00E5n att talen \u00E4r noll f\u00F6r udda n st\u00F6rre \u00E4n tv\u00E5 saknas ett enkelt uttryck f\u00F6r det n:te Bernoullitalet."@sv . . . . . . "1122556959"^^ . "Liczby Bernoulliego"@pl . "\u0639\u062F\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A"@ar . . . . . . . . "\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570"@ja . . . "\u00B1"@en . . . "En matem\u00E0tiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per (o b\u00E9 per diferenciar-los dels ), s\u00F3n una seq\u00FC\u00E8ncia de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta. Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansi\u00F3 en s\u00E8rie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperb\u00F2lica, en les f\u00F3rmules per la suma de pot\u00E8ncies dels primers nombres naturals, a la i a l'expressi\u00F3 de certs valors de la funci\u00F3 zeta de Riemann."@ca . "Bernoulli numbers"@en . "\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570 (\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u3059\u3046\u3001\u82F1: Bernoulli number\u3001\u307E\u308C\u306B\u95A2\u30FB\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u3068\u3082) \u306F\u6570\u8AD6\u306B\u304A\u3051\u308B\u57FA\u672C\u7684\u306A\u4FC2\u6570\u3092\u4E0E\u3048\u308B\u6570\u5217\u306E1\u3064\u3002\u95A2\u6570 x/ex \u2212 1 \u306E\u30DE\u30AF\u30ED\u30FC\u30EA\u30F3\u5C55\u958B (\u30C6\u30A4\u30E9\u30FC\u5C55\u958B) \u306E\u5C55\u958B\u4FC2\u6570\u3068\u3057\u3066\u5B9A\u7FA9\u3055\u308C\u308B: \u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u3092\u6700\u521D\u306B\u53D6\u308A\u6271\u3063\u305F\u306E\u306F\u95A2\u5B5D\u548C\u3067\u3042\u308B\u304C\u3001\u307B\u307C\u540C\u6642\u671F\u306B\u3001\u95A2\u3068\u306F\u72EC\u7ACB\u3057\u3066\u30B9\u30A4\u30B9\u306E\u6570\u5B66\u8005\u30E4\u30B3\u30D6\u30FB\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u304C\u767A\u898B\u3057\u305F\u3053\u3068\u304B\u3089\u3053\u306E\u540D\u304C\u3064\u3044\u3066\u3044\u308B\u3002\u95A2\u306B\u3088\u308B\u767A\u898B\u306F\u3001\u6B7B\u5F8C\u306E1712\u5E74\u306B\u51FA\u7248\u3055\u308C\u305F\u300E\u62EC\u8981\u7B97\u6CD5\u300F\u306B\u8A18\u8FF0\u3055\u308C\u3066\u304A\u308A\u3001\u307E\u305F\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u306B\u3088\u308B\u767A\u898B\u306F\u3001\u6B7B\u5F8C\u306E1713\u5E74\u306B\u51FA\u7248\u3055\u308C\u305F\u8457\u66F8\u300EArs Conjectandi (\u63A8\u6E2C\u8853)\u300F \u306B\u8A18\u8F09\u3055\u308C\u3066\u3044\u308B\u3002 \u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u306F\u3001\u3079\u304D\u4E57\u548C\u306E\u5C55\u958B\u4FC2\u6570\u306B\u3068\u3069\u307E\u3089\u305A\u3001\u7D1A\u6570\u5C55\u958B\u306E\u4FC2\u6570\u3084\u5270\u4F59\u9805\u3001\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u30BC\u30FC\u30BF\u95A2\u6570\u306B\u304A\u3044\u3066\u3082\u767B\u5834\u3059\u308B\u3002\u307E\u305F\u3001\u30D9\u30EB\u30CC\u30FC\u30A4\u6570\u306F\u3059\u3079\u3066\u304C\u6709\u7406\u6570\u3067\u3042\u308B\u3002"@ja . . . "In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers which occur frequently in analysis. The Bernoulli numbers appear in (and can be defined by) the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in Faulhaber's formula for the sum of m-th powers of the first n positive integers, in the Euler\u2013Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function. The values of the first 20 Bernoulli numbers are given in the adjacent table. Two conventions are used in the literature, denoted here by and ; they differ only for n = 1, where and . For every odd n > 1, Bn = 0. For every even n > 0, Bn is negative if n is divisible by 4 and positive otherwise. The Bernoulli numbers are special values of the Bernoulli polynomials , with and . The Bernoulli numbers were discovered around the same time by the Swiss mathematician Jacob Bernoulli, after whom they are named, and independently by Japanese mathematician Seki Takakazu. Seki's discovery was posthumously published in 1712 in his work Katsuy\u014D Sanp\u014D; Bernoulli's, also posthumously, in his Ars Conjectandi of 1713. Ada Lovelace's note G on the Analytical Engine from 1842 describes an algorithm for generating Bernoulli numbers with Babbage's machine. As a result, the Bernoulli numbers have the distinction of being the subject of the first published complex computer program."@en . . . . "\u039F\u03B9 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03BF\u03AF \u039C\u03C0\u03B5\u03C1\u03BD\u03BF\u03CD\u03BB\u03B9, 1, \u00B1 1\u20442, 1\u20446, 0, - 1\u204430 , ... \u03B5\u03AF\u03BD\u03B1\u03B9 \u03BC\u03B9\u03B1 \u03B1\u03BA\u03BF\u03BB\u03BF\u03C5\u03B8\u03AF\u03B1 \u03C1\u03B7\u03C4\u03CE\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03C0\u03BF\u03C5 \u03B5\u03BC\u03C6\u03B1\u03BD\u03AF\u03B6\u03BF\u03BD\u03C4\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B1 \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03C3\u03B5 \u03B4\u03B9\u03B1\u03C6\u03BF\u03C1\u03B5\u03C4\u03B9\u03BA\u03AC \u03B8\u03AD\u03BC\u03B1\u03C4\u03B1: \u03C3\u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03C3\u03C5\u03BD\u03C4\u03B5\u03BB\u03B5\u03C3\u03C4\u03AD\u03C2 \u03B5\u03C0\u03AD\u03BA\u03C4\u03B1\u03C3\u03B7\u03C2 \u03C4\u03C9\u03BD \u03C4\u03C1\u03B9\u03B3\u03C9\u03BD\u03BF\u03BC\u03B5\u03C4\u03C1\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD, \u03C5\u03C0\u03B5\u03C1\u03B2\u03BF\u03BB\u03B9\u03BA\u03CE\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03AC\u03BB\u03BB\u03C9\u03BD \u03C3\u03C5\u03BD\u03B1\u03C1\u03C4\u03AE\u03C3\u03B5\u03C9\u03BD, \u03C3\u03C4\u03B7\u03BD \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u038C\u03B9\u03BB\u03B5\u03C1-\u039C\u03B1\u03BA\u03BB\u03CC\u03C1\u03B9\u03BD \u03BA\u03B1\u03B9 \u03C3\u03C4\u03B7 \u03B8\u03B5\u03C9\u03C1\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03C3\u03B5 \u03C3\u03C7\u03AD\u03C3\u03B7 \u03BC\u03B5 \u03C4\u03B7 \u03C3\u03C5\u03BD\u03AC\u03C1\u03C4\u03B7\u03C3\u03B7 \u0396\u03AE\u03C4\u03B1 \u03A1\u03AE\u03BC\u03B1\u03BD . \u0397 \u03BF\u03BD\u03BF\u03BC\u03B1\u03C3\u03AF\u03B1 \u03B1\u03C5\u03C4\u03CE\u03BD \u03C4\u03C9\u03BD \u03B1\u03C1\u03B9\u03B8\u03BC\u03CE\u03BD \u03BC\u03B5\u03C4\u03AC \u03C4\u03B7\u03BD \u03B1\u03BD\u03B1\u03BA\u03AC\u03BB\u03C5\u03C8\u03AE \u03C4\u03BF\u03C5\u03C2 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u03BC\u03B1\u03B8\u03B7\u03BC\u03B1\u03C4\u03B9\u03BA\u03CC \u0393\u03B9\u03AC\u03BA\u03BF\u03BC\u03C0 \u039C\u03C0\u03B5\u03C1\u03BD\u03BF\u03CD\u03BB\u03B9 \u03B5\u03B9\u03C3\u03AE\u03C7\u03B8\u03B7 \u03B1\u03C0\u03CC \u03C4\u03BF\u03BD \u0391\u03B2\u03C1\u03B1\u03AC\u03BC \u03BD\u03C4\u03B5 \u039C\u03BF\u03C5\u03AC\u03B2\u03C1."@el . "BernoulliNumber"@en . "Bernoulliho \u010D\u00EDsla je nekone\u010Dn\u00E1 posloupnost racion\u00E1ln\u00EDch \u010D\u00EDsel kterou popsal v roce 1631 jako n\u00E1stroj pro usnadn\u011Bn\u00ED po\u010D\u00EDt\u00E1n\u00ED sum ur\u010Dit\u00FDch mocnin po sob\u011B jdouc\u00EDch p\u0159irozen\u00FDch \u010D\u00EDsel. Toto pou\u017Eit\u00ED a n\u011Bkter\u00E9 jejich vlastnosti podrobn\u011B popsal Jacob Bernoulli v knize (vydan\u00E9 po smrti autora v roce 1713). Uv\u00E1d\u00ED tam mimo jin\u00E9, \u017Ee pou\u017Eit\u00EDm Faulhaberova vzorce (viz n\u00ED\u017Ee) dok\u00E1\u017Ee spo\u010D\u00EDtat sou\u010Det: \u201Eza p\u016Fl \u010Dtvrthodiny\u201D. Bernoulliho \u010D\u00EDsla na\u0161la pou\u017Eit\u00ED v matematick\u00E9 anal\u00FDze (p\u0159i rozvoji funkc\u00ED v Taylorovu \u0159adu) a v teorii \u010D\u00EDsel."@cs . . . . . . . . "\u0427\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0456 \u2014 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0437\u043D\u0430\u0439\u0434\u0435\u043D\u0430 \u042F\u043A\u043E\u0431\u043E\u043C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0456 \u0432 \u0437\u0432'\u044F\u0437\u043A\u0443 \u0437 \u043E\u0431\u0447\u0438\u0441\u043B\u0435\u043D\u043D\u044F\u043C \u0441\u0443\u043C\u0438 \u043E\u0434\u043D\u0430\u043A\u043E\u0432\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u0456\u0432 \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B: , \u0434\u0435 \u2014 \u0411\u0456\u043D\u043E\u043C\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u043A\u043E\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043D\u0442."@uk . . . "In de wiskunde zijn bernoulli-getallen rationale getallen, die een belangrijke rol in de getaltheorie spelen. Het bernoulli-getal is gedefinieerd als de co\u00EBffici\u00EBnt in de reeksontwikkeling: Dit betekent dat: Bernoulli-getallen spelen een belangrijke rol in de getaltheorie en hoewel zij gemakkelijk te berekenen zijn, is er geen eenvoudige beschrijving van deze getallen. Ze komen voor in Taylorreeksontwikkelingen van de tangens en de hyperbolische tangens-functies en in de formule van Euler-Maclaurin. Ook zijn ze nauw verbonden met de waarden voor de riemann-z\u00E8ta-functie voor negatieve gehele getallen. De eerste veertien bernoulli-getallen zijn:"@nl . . . . . . . . . "Numeri di Bernoulli"@it . . . . . . . . . . . . . "\u0641\u064A \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A\u060C \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A Bn \u0647\u064A \u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0643\u0633\u0631\u064A\u0629 \u0630\u0627\u062A \u0627\u0644\u0639\u0644\u0627\u0642\u0629 \u0627\u0644\u0648\u062B\u064A\u0642\u0629 \u0628\u0646\u0638\u0631\u064A\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F. \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u0649 \u062A\u0623\u062A\u064A \u0641\u064A\u0645\u0627 \u064A\u0644\u064A: B0 = 1, B1 = \u00B11\u20442, B2 = 1\u20446, B3 = 0, B4 = \u22121\u204430, B5 = 0, B6 = 1\u204442, B7 = 0, B8 = \u22121\u204430. \u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0633\u062A\u0639\u0645\u0644 \u0627\u0635\u0637\u0644\u0627\u062D B1=\u22121\u20442\u060C \u062A\u0639\u0631\u0641 \u0627\u0644\u0645\u062A\u062A\u0627\u0644\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0633\u0645 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u0649\u060C \u0648\u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0633\u062A\u0639\u0645\u0644 \u0627\u0635\u0637\u0644\u0627\u062D B1=+1\u20442\u060C \u062A\u0639\u0631\u0641 \u0627\u0644\u0645\u062A\u062A\u0627\u0644\u064A\u0629 \u0628\u0627\u0633\u0645 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u062B\u0627\u0646\u064A\u0629. \u0628\u0627\u0633\u062A\u062B\u0646\u0627\u0621 \u0647\u0630\u0627 \u0627\u0644\u0641\u0631\u0642\u060C \u0641\u0625\u0646 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u064A \u0648\u0627\u0644\u062B\u0627\u0646\u064A\u0629 \u0645\u062A\u0633\u0627\u0648\u064A\u0629. \u0628\u0645\u0627 \u0623\u0646 Bn=0 \u0645\u0647\u0645\u0627 \u0643\u0627\u0646 n \u0641\u0631\u062F\u064A\u0627 \u0648\u0623\u0643\u0628\u0631 \u0642\u0637\u0639\u0627 \u0645\u0646 \u0627\u0644\u0648\u0627\u062D\u062F. \u0648\u0628\u0645\u0627 \u0623\u0646 \u0647\u0646\u0627\u0643 \u0639\u062F\u0629 \u0635\u064A\u063A \u062A\u062D\u062A\u0648\u064A \u0639\u0644\u0649 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0639\u0646\u062F\u0645\u0627 \u064A\u0643\u0648\u0646 n \u0632\u0648\u062C\u064A\u0627\u060C \u064A\u0641\u0636\u0644 \u0628\u0639\u0636 \u0627\u0644\u0643\u062A\u0627\u0628 \u0643\u062A\u0627\u0628\u0629 Bn \u0628\u062F\u0644\u0627 \u0645\u0646 B2n. \u062A\u0638\u0647\u0631 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0641\u064A \u0646\u0634\u0631 \u0645\u062A\u0633\u0644\u0633\u0644\u0629 \u062A\u0627\u064A\u0644\u0648\u0631 \u0644\u062F\u0648\u0627\u0644 \u0638\u0644 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0648\u064A\u0629 \u0648\u0627\u0644\u0638\u0644 \u0627\u0644\u0632\u0627\u0626\u062F\u064A \u0648\u0641\u064A \u0635\u064A\u063A \u0645\u062C\u0645\u0648\u0639 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0627\u0644\u0635\u062D\u064A\u062D\u0629 \u0627\u0644\u0645\u0648\u062C\u0628\u0629 \u0627\u0644\u0623\u0648\u0644\u0649\u060C \u0645\u0631\u0641\u0648\u0639\u0629 \u0625\u0644\u0649 \u0642\u0648\u0629 \u0645\u0627 (\u0645\u0627 \u064A\u0639\u0631\u0641 \u0628\u0635\u064A\u063A\u0629 \u0641\u0627\u0648\u0644\u0647\u0627\u0628\u0631)\u060C \u0648\u0641\u064A \u0635\u064A\u063A\u0629 \u0623\u0648\u064A\u0644\u0631-\u0645\u0627\u0643\u0644\u0648\u0631\u064A\u0646 \u0648\u0641\u064A \u062A\u0639\u0627\u0628\u064A\u0631 \u0644\u0628\u0639\u0636 \u0642\u064A\u0645 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646. \u0627\u0643\u062A\u064F\u0634\u0641\u062A \u0647\u0630\u0647 \u0627\u0644\u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0645\u0646 \u0637\u0631\u0641 \u0639\u0627\u0644\u0645 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u0633\u0648\u064A\u0633\u0631\u064A \u062C\u0627\u0643\u0648\u0628 \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A, \u0627\u0644\u0630\u064A \u0633\u0645\u064A\u062A \u0646\u0633\u0628\u0629 \u0625\u0644\u064A\u0647\u060C \u0648\u0641\u064A \u0627\u0644\u0648\u0642\u062A \u0646\u0641\u0633\u0647 \u062A\u0642\u0631\u064A\u0628\u0627\u060C \u0648\u0628\u0635\u0641\u0629 \u0645\u0633\u062A\u0642\u0644\u0629 \u0639\u0646\u0647\u060C \u0645\u0646 \u0637\u0631\u0641 \u0639\u0627\u0644\u0645 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0627\u0644\u064A\u0627\u0628\u0627\u0646\u064A .\u0646\u0634\u0631 \u0627\u0643\u062A\u0634\u0627\u0641 \u0633\u064A\u0643\u064A \u0639\u0627\u0645 1712 \u0641\u064A \u0639\u0645\u0644\u0647 ; \u0648\u0643\u0627\u0646 \u0630\u0644\u0643 \u0628\u0639\u062F \u0648\u0641\u0627\u062A\u0647. \u0648\u0646\u064F\u0634\u0631 \u0627\u0643\u062A\u0634\u0627\u0641 \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0641\u064A \u0639\u0627\u0645 1713. \u0648\u0643\u0627\u0646 \u0630\u0644\u0643 \u0628\u0639\u062F \u0648\u0641\u0627\u062A\u0647 \u0623\u064A\u0636\u0627. \u0631\u063A\u0645 \u0623\u0646 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0633\u0647\u0644\u0629 \u0627\u0644\u062D\u0633\u0627\u0628\u060C \u0641\u0625\u0646 \u0642\u064A\u0645\u0647\u0627 \u0644\u064A\u0633 \u0644\u0647\u0627 \u0623\u064A \u0648\u0635\u0641 \u0623\u0648\u0644\u064A: \u0641\u0647\u064A \u0642\u064A\u0645 \u062F\u0627\u0644\u0629 \u0632\u064A\u062A\u0627 \u0644\u0631\u064A\u0645\u0627\u0646 \u0639\u0646\u062F . \u0641\u064A \u0627\u0644\u0645\u0644\u0627\u062D\u0638\u0629 G \u0644\u0639\u0627\u0644\u0645\u0629 \u0627\u0644\u0631\u064A\u0627\u0636\u064A\u0627\u062A \u0622\u062F\u0627 \u0644\u0648\u0641\u0644\u0627\u064A\u0633 \u0639\u0646 \u0627\u0644\u0645\u062D\u0631\u0643 \u0627\u0644\u062A\u062D\u0644\u064A\u0644\u064A \u0641\u064A \u0639\u0627\u0645 1842, \u062A\u0635\u0641 \u0644\u0648\u0641\u0644\u0627\u064A\u0633 \u062E\u0648\u0627\u0631\u0632\u0645\u064A\u0629 \u0644\u062A\u0648\u0644\u064A\u062F \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0628\u0627\u0633\u062A\u062E\u062F\u0627\u0645 \u0622\u0644\u0629 \u0628\u0627\u0628\u064A\u062C. \u0648\u0646\u062A\u064A\u062C\u0629 \u0644\u0630\u0644\u0643\u060C \u062A\u0635\u064A\u0631 \u0623\u0639\u062F\u0627\u062F \u0628\u064A\u0631\u0646\u0648\u0644\u064A \u0645\u0648\u0636\u0648\u0639 \u0623\u0648\u0644 \u0628\u0631\u0646\u0627\u0645\u062C \u062D\u0627\u0633\u0648\u0628 \u0643\u064F\u062A\u0628."@ar . . . . . . "Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, \u00B11\u20442, 1\u20446, 0, \u22121\u204430, \u2026 sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenh\u00E4ngen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingef\u00FChrt."@de . "Bernoulli Number"@en . . . . . "En matem\u00E1ticas, los n\u00FAmeros de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los n\u00FAmeros de Bell) constituyen una sucesi\u00F3n de n\u00FAmeros racionales con profundas conexiones en teor\u00EDa de n\u00FAmeros. Fueron llamados as\u00ED por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matem\u00E1tico que los estudi\u00F3. Los n\u00FAmeros de Bernoulli tambi\u00E9n aparecen en la expansi\u00F3n de las funciones tangente y tangente hiperb\u00F3lica mediante series de Taylor, en la f\u00F3rmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la funci\u00F3n zeta de Riemann."@es . "En matem\u00E0tiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per (o b\u00E9 per diferenciar-los dels ), s\u00F3n una seq\u00FC\u00E8ncia de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta. Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansi\u00F3 en s\u00E8rie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperb\u00F2lica, en les f\u00F3rmules per la suma de pot\u00E8ncies dels primers nombres naturals, a la i a l'expressi\u00F3 de certs valors de la funci\u00F3 zeta de Riemann. Com que , se li dona el nom de segon nombre de Bernoulli. Com que per a tot senar , molts autors denoten aquesta s\u00E8rie amb ."@ca . . . . . . . . . . . . "\u0427\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0456 \u2014 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0456\u0434\u043E\u0432\u043D\u0456\u0441\u0442\u044C \u0440\u0430\u0446\u0456\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B \u0437\u043D\u0430\u0439\u0434\u0435\u043D\u0430 \u042F\u043A\u043E\u0431\u043E\u043C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0456 \u0432 \u0437\u0432'\u044F\u0437\u043A\u0443 \u0437 \u043E\u0431\u0447\u0438\u0441\u043B\u0435\u043D\u043D\u044F\u043C \u0441\u0443\u043C\u0438 \u043E\u0434\u043D\u0430\u043A\u043E\u0432\u0438\u0445 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u0456\u0432 \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B: , \u0434\u0435 \u2014 \u0411\u0456\u043D\u043E\u043C\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u043A\u043E\u0435\u0444\u0456\u0446\u0456\u0454\u043D\u0442."@uk . . . "Na matem\u00E1tica, os n\u00FAmeros de Bernoulli s\u00E3o sequ\u00EAncias de n\u00FAmeros racionais com profundas conex\u00F5es na teoria dos n\u00FAmeros.S\u00E3o definidos como os coeficientes da Expans\u00E3o de Taylor :"@pt . . . "p/b015640"@en . . . . . . . "\u6578\u5B78\u4E0A\uFF0C\u767D\u52AA\u5229\u6578 Bn \u662F\u4E00\u500B\u8207\u6578\u8AD6\u6709\u5BC6\u5207\u95DC\u806F\u7684\u6709\u7406\u6578\u5E8F\u5217\u3002\u524D\u5E7E\u9805\u88AB\u767C\u73FE\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u5206\u5225\u70BA\uFF1A B0 = 1, B\u00B11 = \u00B1 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = \u2212 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = \u2212 1/30. \u4E0A\u6A19 \u00B1 \u5728\u672C\u6587\u4E2D\u7528\u4F86\u5340\u5225\u5169\u7A2E\u4E0D\u540C\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u5B9A\u7FA9\uFF0C\u800C\u9019\u5169\u7A2E\u5B9A\u7FA9\u53EA\u6709\u5728n = 1 \u6642\u6709\u6240\u4E0D\u540C\uFF1A \n* B\u2212n \u8868\u793A\u7B2C\u4E00\u767D\u52AA\u5229\u6578 (A027641 / A027642)\uFF0C\u7531\u7F8E\u570B\u570B\u5BB6\u6A19\u6E96\u6280\u8853\u7814\u7A76\u6240 (NIST)\u5236\u5B9A\uFF0C\u5728\u9019\u6A19\u6E96\u4E0B B\u22121 = \u2212 1/2. \n* B+n \u8868\u793A\u7B2C\u4E8C\u767D\u52AA\u5229\u6578 (A164555 / A027642)\uFF0C\u53C8\u88AB\u7A31\u70BA\u662F\u300C\u539F\u59CB\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\u300D \uFF0C\u5728\u9019\u6A19\u6E96\u4E0B B+1 = + 1/2. \u7531\u65BC\u5C0D\u65BC\u6240\u6709\u5927\u65BC1\u7684\u5947\u6578 n\u767D\u52AA\u5229\u6578 Bn = 0 \uFF0C\u4E14\u8A31\u591A\u516C\u5F0F\u4E2D\u50C5\u4F7F\u7528\u5076\u6578\u9805\u7684\u767D\u52AA\u5229\u6578\uFF0C\u4E00\u4E9B\u4F5C\u8005\u53EF\u80FD\u6703\u7528\"Bn\"\u4F86\u4EE3\u8868 B2n\uFF0C\u4E0D\u904E\u5728\u672C\u6587\u4E2D\u4E0D\u6703\u4F7F\u7528\u5982\u6B64\u7684\u7C21\u5BEB\u3002"@zh . . "Bernoullitalen \u00E4r en sekvens av rationella tal som ofta f\u00F6rekommer inom matematiken, fr\u00E4mst inom talteori. De betecknas Bn och \u00E4r f\u00F6r n = 0, 1, 2, ... lika med 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ... d\u00E4r t\u00E4ljarna och n\u00E4mnarna ges av respektive i OEIS. Bortsett fr\u00E5n att talen \u00E4r noll f\u00F6r udda n st\u00F6rre \u00E4n tv\u00E5 saknas ett enkelt uttryck f\u00F6r det n:te Bernoullitalet."@sv . . . . . "Bernoullital"@sv . . . "Bernoulli-Zahl"@de . . . . "Na matem\u00E1tica, os n\u00FAmeros de Bernoulli s\u00E3o sequ\u00EAncias de n\u00FAmeros racionais com profundas conex\u00F5es na teoria dos n\u00FAmeros.S\u00E3o definidos como os coeficientes da Expans\u00E3o de Taylor :"@pt . . . . . "4964"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . "Nombre de Bernoulli"@fr . . . . . "Seidel's algorithm for"@en . . . "In matematica, i numeri di Bernoulli costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione."@it . . . . "Bernoulligetal"@nl . . . . . . . "92544"^^ . . . . . "\u0427\u0438\u0301\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u0301\u043B\u043B\u0438 \u2014 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0440\u0430\u0446\u0438\u043E\u043D\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B , \u0432\u043F\u0435\u0440\u0432\u044B\u0435 \u0440\u0430\u0441\u0441\u043C\u043E\u0442\u0440\u0435\u043D\u043D\u0430\u044F \u042F\u043A\u043E\u0431\u043E\u043C \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0438 \u0432 \u0441\u0432\u044F\u0437\u0438 \u0441 \u0432\u044B\u0447\u0438\u0441\u043B\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0441\u0443\u043C\u043C\u044B \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043E\u0432\u0430\u0442\u0435\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u043D\u0430\u0442\u0443\u0440\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0447\u0438\u0441\u0435\u043B, \u0432\u043E\u0437\u0432\u0435\u0434\u0451\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0443 \u0438 \u0442\u0443 \u0436\u0435 \u0441\u0442\u0435\u043F\u0435\u043D\u044C: \u0433\u0434\u0435 \u2014 \u0431\u0438\u043D\u043E\u043C\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0439 \u043A\u043E\u044D\u0444\u0444\u0438\u0446\u0438\u0435\u043D\u0442. \u041D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0435 \u0430\u0432\u0442\u043E\u0440\u044B \u0443\u043A\u0430\u0437\u044B\u0432\u0430\u044E\u0442 \u0434\u0440\u0443\u0433\u0438\u0435 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u0438\u044F, \u043E\u0434\u043D\u0430\u043A\u043E \u0432 \u0431\u043E\u043B\u044C\u0448\u0438\u043D\u0441\u0442\u0432\u0435 \u0441\u043E\u0432\u0440\u0435\u043C\u0435\u043D\u043D\u044B\u0445 \u0443\u0447\u0435\u0431\u043D\u0438\u043A\u043E\u0432 \u0434\u0430\u0451\u0442\u0441\u044F \u0442\u0430\u043A\u043E\u0435 \u0436\u0435 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u0438\u0435, \u043A\u0430\u043A \u0438 \u0437\u0434\u0435\u0441\u044C. \u041F\u0440\u0438 \u044D\u0442\u043E\u043C . \u0427\u0430\u0441\u0442\u044C \u0430\u0432\u0442\u043E\u0440\u043E\u0432 (\u043D\u0430\u043F\u0440\u0438\u043C\u0435\u0440, \u0442\u0440\u0451\u0445\u0442\u043E\u043C\u043D\u0438\u043A \u0424\u0438\u0445\u0442\u0435\u043D\u0433\u043E\u043B\u044C\u0446\u0430) \u0438\u0441\u043F\u043E\u043B\u044C\u0437\u0443\u0435\u0442 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0435\u043D\u0438\u0435, \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0435 \u043E\u0442\u043B\u0438\u0447\u0430\u0435\u0442\u0441\u044F \u043E\u0442 \u044D\u0442\u043E\u0433\u043E \u0442\u043E\u043B\u044C\u043A\u043E \u0437\u043D\u0430\u043A\u043E\u043C . \u041A\u0440\u043E\u043C\u0435 \u0442\u043E\u0433\u043E, \u0442\u0430\u043A \u043A\u0430\u043A \u0437\u0430 \u0438\u0441\u043A\u043B\u044E\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435\u043C \u0432\u0441\u0435 \u0447\u0438\u0441\u043B\u0430 \u0411\u0435\u0440\u043D\u0443\u043B\u043B\u0438 \u0441 \u043D\u0435\u0447\u0451\u0442\u043D\u044B\u043C \u043D\u043E\u043C\u0435\u0440\u043E\u043C \u0440\u0430\u0432\u043D\u044B 0, \u043D\u0435\u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u044B\u0435 \u0430\u0432\u0442\u043E\u0440\u044B \u0438\u0441\u043F\u043E\u043B\u044C\u0437\u0443\u044E\u0442 \u043E\u0431\u043E\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u0438\u0435 \u00AB\u00BB \u0434\u043B\u044F \u0438\u043B\u0438 ."@ru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Bernoulliho \u010D\u00EDslo"@cs . . "En math\u00E9matiques, les nombres de Bernoulli, not\u00E9s Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polyn\u00F4mes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels. Ces nombres ont d'abord \u00E9t\u00E9 \u00E9tudi\u00E9s par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre \u00E0 leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type Pour des valeurs enti\u00E8res de m, cette somme s'\u00E9crit comme un polyn\u00F4me de la variable n dont les premiers termes sont : Les premiers nombres de Bernoulli sont donn\u00E9s par la table suivante : ,"@fr . . . "Matematikan, Bernouilliren zenbakiak zenbaki arrazionalak dira eta sekuentzia bat osatzen dutenak. Zenbakien teoriarekin lotura handia dute. Bernuilliren lehen zortzi zenbakiak hauek dira: B0 = 1, B1 = \u00B11\u20442, B2 = 1\u20446, B3 = 0, B4 = \u22121\u204430, B5 = 0, B6 = 1\u204442, B7 = 0, B8 = \u22121\u204430. XVIII. mendeko hasieran Ada Lovelacek erabili zuen Charles Babbageren makina analitikoa Bernouilliren zenbakizko sekuentzia bat automatikoki sortzeko. Horregatik esaten da Ada Lovelace izan zela historiako lehen programatzailea."@eu . . . . . . "N\u00FAmero de Bernoulli"@es . . . . "N\u00FAmeros de Bernoulli"@pt . . . . "Nombres de Bernoulli"@ca . . . . . . . .