. . . . "Forma di volume"@it . . . . . "\u5FAE\u5206\u53EF\u80FD\u591A\u69D8\u4F53(differentiable manifold)\u4E0A\u306E\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(volume form)\u3068\u306F\u3001\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u81F3\u308B\u6240 0 \u3068\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u6700\u9AD8\u6B21\u6570\u306E\u5FAE\u5206\u5F62\u5F0F\u306E\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u7279\u306B\u3001\u6B21\u5143\u304C n \u306E\u591A\u69D8\u4F53 M \u4E0A\u3067\u306F\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u81F3\u308B\u6240 0 \u306B\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u76F4\u7DDA\u675F \u306E\u5207\u65AD(section) \u3067\u3042\u308B n-\u5F62\u5F0F\u3067\u3042\u308B\u3002\u306A\u304A\u3001\u591A\u69D8\u4F53\u304C\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u3068\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u3067\u3042\u308B\u3053\u3068\u3068\u306F\u540C\u5024\u3067\u3042\u308B\u3002\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306B\u30010 \u3068\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u51FD\u6570\u3092\u639B\u3051\u308B\u3068\u518D\u3073\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3068\u306A\u308B\u3053\u3068\u304B\u3089\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u306A\u591A\u69D8\u4F53\u306F\u7121\u9650\u500B\u306E\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3002\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u4E0D\u53EF\u80FD\u306A\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306B\u306F\u3001\u4EE3\u308F\u308A\u306B\u3001(density)\u3068\u3044\u3046\u3088\u308A\u5F31\u3044\u8003\u3048\u65B9\u304C\u3042\u308B\u3002 \u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u3001\u5FAE\u5206\u53EF\u80FD\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306E\u51FD\u6570\u306E\u7A4D\u5206\u3092\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u65B9\u6CD5\u3092\u3082\u305F\u3089\u3059\u3002\u8A00\u3044\u63DB\u3048\u308B\u3068\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u6E2C\u5EA6\u3092\u3082\u305F\u3089\u3057\u3001\u3053\u306E\u6E2C\u5EA6\u306B\u95A2\u3057\u3066\u51FD\u6570\u306F\u9069\u5207\u306A\u30EB\u30D9\u30FC\u30B0\u7A4D\u5206\u306B\u3088\u308A\u7A4D\u5206\u3059\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306E\u7D76\u5BFE\u5024\u306F\u3001\u4F53\u7A4D\u8981\u7D20(volume element)\u3067\u3042\u308A\u3001\u30C4\u30A4\u30B9\u30C8\u3057\u305F\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(twisted volume form)\u3084\u64EC\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(pseudo-volume form)\u306A\u3069\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002\u3053\u308C\u3082\u6E2C\u5EA6\u3092\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u304C\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u304B\u5426\u304B\u306B\u95A2\u4FC2\u306A\u304F\u4EFB\u610F\u306E\u53EF\u5FAE\u5206\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306B\u5B58\u5728\u3059\u308B\u3002"@ja . . . . . "Forma de volum"@ca . . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u0432\u044B\u0441\u0448\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043D\u0430 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u043C \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0438 (\u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C -\u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430 -\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u043C \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0438), \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043D\u0443\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043D\u0438 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u043F\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0435\u0442 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0438\u0442\u044C \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438 \u043F\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044E. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u043C\u0435\u0440\u0443, \u043F\u043E \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0439 \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u0442\u044C \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438."@ru . "1855811"^^ . . . . . . "14479"^^ . . . . . . . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430\u0439\u0432\u0438\u0449\u043E\u0457 \u0440\u043E\u0437\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 \u043D\u0430 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u043C\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456 (\u0442\u043E\u0431\u0442\u043E -\u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430 -\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u043C\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456), \u044F\u043A\u0430 \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043D\u0443\u043B\u044F\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0456 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0434\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0454 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u0456\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457 \u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456. \u0406\u043D\u0448\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0454 \u043C\u0456\u0440\u0443, \u0437\u0430 \u044F\u043A\u043E\u044E \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0456\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457."@uk . . . . "\u6570\u5B66\u4E2D\uFF0C\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u63D0\u4F9B\u4E86\u51FD\u6570\u5728\u4E0D\u540C\u5750\u6807\u7CFB\uFF08\u6BD4\u5982\u7403\u5750\u6807\u548C\u5706\u67F1\u5750\u6807\uFF09\u4E0B\u5BF9\u4F53\u79EF\u79EF\u5206\u7684\u4E00\u79CD\u5DE5\u5177\u3002\u66F4\u4E00\u822C\u5730\uFF0C\u4E00\u4E2A\u4F53\u79EF\u5143\u662F\u6D41\u5F62\u4E0A\u4E00\u4E2A\u6D4B\u5EA6\u3002 \u5728\u4E00\u4E2A\u5B9A\u5411n-\u7EF4\u6D41\u5F62\u4E0A\uFF0C\u4F53\u79EF\u5143\u5178\u578B\u5730\u7531\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u751F\u6210\uFF0C\u6240\u8C13\u4F53\u79EF\u5143\u662F\u4E00\u4E2A\u5904\u5904\u975E\u96F6\u7684n-\u9636\u5FAE\u5206\u5F62\u5F0F\u3002\u4E00\u4E2A\u6D41\u5F62\u5177\u6709\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u5F53\u4E14\u4EC5\u5F53\u5B83\u662F\u53EF\u5B9A\u5411\u7684\uFF0C\u800C\u53EF\u5B9A\u5411\u6D41\u5F62\u6709\u65E0\u7A77\u591A\u4E2A\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\uFF08\u89C1\u4E0B\uFF09\u3002 \u6709\u4E00\u4E2A\u63A8\u5E7F\u7684\u4F2A\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u6982\u5FF5\uFF0C\u5BF9\u65E0\u8BBA\u53EF\u5426\u5B9A\u5411\u7684\u6D41\u5F62\u90FD\u5B58\u5728\u3002 \u8BB8\u591A\u7C7B\u578B\u7684\u6D41\u5F62\u6709\u5178\u8303\u7684\uFF08\u4F2A\uFF09\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\uFF0C\u56E0\u4E3A\u5B83\u4EEC\u6709\u989D\u5916\u7684\u7ED3\u6784\u4FDD\u8BC1\u53EF\u9009\u53D6\u4E00\u4E2A\u66F4\u597D\u7684\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u3002\u5728\u590D\u60C5\u5F62\uFF0C\u4E00\u4E2A\u5E26\u6709\u5168\u7EAF\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u7684\u51EF\u52D2\u6D41\u5F62\u662F\u5361\u62C9\u6BD4-\u4E18\u6D41\u5F62\u3002"@zh . . . . . "In mathematics, a volume form or top-dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an -form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as . A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density."@en . . . . "1077822084"^^ . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430\u0439\u0432\u0438\u0449\u043E\u0457 \u0440\u043E\u0437\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0456 \u043D\u0430 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u043C\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456 (\u0442\u043E\u0431\u0442\u043E -\u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430 -\u043C\u0456\u0440\u043D\u043E\u043C\u0443 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456), \u044F\u043A\u0430 \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043D\u0443\u043B\u044F\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u043D\u0456 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u0456\u0439 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0434\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0454 \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0438\u0442\u0438 \u0456\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457 \u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0456. \u0406\u043D\u0448\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0454 \u043C\u0456\u0440\u0443, \u0437\u0430 \u044F\u043A\u043E\u044E \u043C\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0456\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0443\u0432\u0430\u0442\u0438 \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0456\u0457."@uk . "En g\u00E9om\u00E9trie diff\u00E9rentielle, une forme volume g\u00E9n\u00E9ralise la notion de d\u00E9terminant aux vari\u00E9t\u00E9s diff\u00E9rentielles. Elle d\u00E9finit une mesure sur la vari\u00E9t\u00E9, permet le calcul des volumes g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9s, et la d\u00E9finition g\u00E9n\u00E9rale des orientations. Une forme volume se d\u00E9finit comme une forme diff\u00E9rentielle de degr\u00E9 maximal, nulle en aucun point. Pour qu'une vari\u00E9t\u00E9 admette une forme volume, il faut et il suffit qu'elle soit orientable. Dans ce cas, il en existe une infinit\u00E9. En pr\u00E9sence d'une structure suppl\u00E9mentaire (riemannienne, symplectique ou autre), il est judicieux de choisir une forme volume sp\u00E9cifique."@fr . . "En g\u00E9om\u00E9trie diff\u00E9rentielle, une forme volume g\u00E9n\u00E9ralise la notion de d\u00E9terminant aux vari\u00E9t\u00E9s diff\u00E9rentielles. Elle d\u00E9finit une mesure sur la vari\u00E9t\u00E9, permet le calcul des volumes g\u00E9n\u00E9ralis\u00E9s, et la d\u00E9finition g\u00E9n\u00E9rale des orientations."@fr . . . . . . "\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F"@ja . . . "\uBD80\uD53C \uD615\uC2DD"@ko . . . . "Forme volume"@fr . "\uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uBD80\uD53C \uD615\uC2DD(\uBD80\uD53C\u5F62\u5F0F, \uC601\uC5B4: volume form \uBCFC\uB968 \uD3FC[*])\uC740 \uC720\uD5A5 \uC900 \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC5D0 \uB300\uD558\uC5EC \uC815\uC758\uB418\uB294 \uD2B9\uBCC4\uD55C \uCD5C\uACE0 \uCC28\uC218 \uC2E4\uC218 \uBBF8\uBD84 \uD615\uC2DD\uC774\uB2E4. \uC774\uB97C \uC801\uBD84\uD558\uC5EC, \uB2E4\uC591\uCCB4\uC758 \uAD6C\uC5ED\uC758 \uBD80\uD53C\uB97C \uC815\uC758\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4."@ko . "\u6570\u5B66\u4E2D\uFF0C\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u63D0\u4F9B\u4E86\u51FD\u6570\u5728\u4E0D\u540C\u5750\u6807\u7CFB\uFF08\u6BD4\u5982\u7403\u5750\u6807\u548C\u5706\u67F1\u5750\u6807\uFF09\u4E0B\u5BF9\u4F53\u79EF\u79EF\u5206\u7684\u4E00\u79CD\u5DE5\u5177\u3002\u66F4\u4E00\u822C\u5730\uFF0C\u4E00\u4E2A\u4F53\u79EF\u5143\u662F\u6D41\u5F62\u4E0A\u4E00\u4E2A\u6D4B\u5EA6\u3002 \u5728\u4E00\u4E2A\u5B9A\u5411n-\u7EF4\u6D41\u5F62\u4E0A\uFF0C\u4F53\u79EF\u5143\u5178\u578B\u5730\u7531\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u751F\u6210\uFF0C\u6240\u8C13\u4F53\u79EF\u5143\u662F\u4E00\u4E2A\u5904\u5904\u975E\u96F6\u7684n-\u9636\u5FAE\u5206\u5F62\u5F0F\u3002\u4E00\u4E2A\u6D41\u5F62\u5177\u6709\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u5F53\u4E14\u4EC5\u5F53\u5B83\u662F\u53EF\u5B9A\u5411\u7684\uFF0C\u800C\u53EF\u5B9A\u5411\u6D41\u5F62\u6709\u65E0\u7A77\u591A\u4E2A\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\uFF08\u89C1\u4E0B\uFF09\u3002 \u6709\u4E00\u4E2A\u63A8\u5E7F\u7684\u4F2A\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u6982\u5FF5\uFF0C\u5BF9\u65E0\u8BBA\u53EF\u5426\u5B9A\u5411\u7684\u6D41\u5F62\u90FD\u5B58\u5728\u3002 \u8BB8\u591A\u7C7B\u578B\u7684\u6D41\u5F62\u6709\u5178\u8303\u7684\uFF08\u4F2A\uFF09\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\uFF0C\u56E0\u4E3A\u5B83\u4EEC\u6709\u989D\u5916\u7684\u7ED3\u6784\u4FDD\u8BC1\u53EF\u9009\u53D6\u4E00\u4E2A\u66F4\u597D\u7684\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u3002\u5728\u590D\u60C5\u5F62\uFF0C\u4E00\u4E2A\u5E26\u6709\u5168\u7EAF\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F\u7684\u51EF\u52D2\u6D41\u5F62\u662F\u5361\u62C9\u6BD4-\u4E18\u6D41\u5F62\u3002"@zh . . . "En matem\u00E0tiques, una forma de volum sobre una varietat diferenciable \u00E9s una forma de dimensi\u00F3 m\u00E0xima (\u00E9s a dir, una forma diferencial de grau m\u00E0xim). Aix\u00ED, sobre una varietat M de dimensi\u00F3 n, una forma de volum \u00E9s una n-forma, una secci\u00F3 del \u03A9n(M) = \u22C0n(T\u2217M). Una varietat admet una forma de volum que no s'anul\u00B7la enlloc si i nom\u00E9s si \u00E9s orientable. Una varietat orientable t\u00E9 un nombre infinit de formes de volum, ja que si es multiplica una forma de volum per una funci\u00F3 s'obt\u00E9 una altra forma de volum. Sobre varietats no orientables, encara es pot definir la noci\u00F3 m\u00E9s feble d'una ."@ca . . . . . . . . . . "\u4F53\u79EF\u5F62\u5F0F"@zh . . . . "Volumenform"@de . "In geometria differenziale, una forma di volume \u00E8 una particolare -forma differenziale utile a definire una misura su una variet\u00E0 differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa."@it . . . . . . . . . "Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration \u00FCber Raumbereiche ben\u00F6tigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens. In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Ma\u00DFfaktor gebr\u00E4uchlich."@de . . . . "En matem\u00E0tiques, una forma de volum sobre una varietat diferenciable \u00E9s una forma de dimensi\u00F3 m\u00E0xima (\u00E9s a dir, una forma diferencial de grau m\u00E0xim). Aix\u00ED, sobre una varietat M de dimensi\u00F3 n, una forma de volum \u00E9s una n-forma, una secci\u00F3 del \u03A9n(M) = \u22C0n(T\u2217M). Una varietat admet una forma de volum que no s'anul\u00B7la enlloc si i nom\u00E9s si \u00E9s orientable. Una varietat orientable t\u00E9 un nombre infinit de formes de volum, ja que si es multiplica una forma de volum per una funci\u00F3 s'obt\u00E9 una altra forma de volum. Sobre varietats no orientables, encara es pot definir la noci\u00F3 m\u00E9s feble d'una . Una forma de volum proporciona un instrument per definir la integral d'una funci\u00F3 sobre una varietat diferenciable. En altres paraules, una forma de volum indueix una mesura respecte a les quals es pot integrar segons el concepte de la integral de Lebesgue. El valor absolut d'una forma de volum \u00E9s un . Tamb\u00E9 defineix una mesura, per\u00F2 existeix en qualsevol varietat diferenciable, ja sigui orientable o no. Les varietats de K\u00E4hler, en ser varietats complexes, tenen una orientaci\u00F3 de manera natural, i per tant tenen una forma de volum. M\u00E9s en general, l'n-sima de la forma simpl\u00E8ctica sobre una varietat simpl\u00E8ctica \u00E9s una forma de volum. Moltes classes de varietats tenen formes de volum can\u00F2niques: tenen una estructura addicional que permet l'elecci\u00F3 d'una forma de volum preferida. Les varietats pseudoriemannianes tenen una forma de volum can\u00F2nica associada."@ca . . . . . . . "\u5FAE\u5206\u53EF\u80FD\u591A\u69D8\u4F53(differentiable manifold)\u4E0A\u306E\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(volume form)\u3068\u306F\u3001\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u81F3\u308B\u6240 0 \u3068\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u6700\u9AD8\u6B21\u6570\u306E\u5FAE\u5206\u5F62\u5F0F\u306E\u3053\u3068\u3067\u3042\u308B\u3002\u7279\u306B\u3001\u6B21\u5143\u304C n \u306E\u591A\u69D8\u4F53 M \u4E0A\u3067\u306F\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u81F3\u308B\u6240 0 \u306B\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u76F4\u7DDA\u675F \u306E\u5207\u65AD(section) \u3067\u3042\u308B n-\u5F62\u5F0F\u3067\u3042\u308B\u3002\u306A\u304A\u3001\u591A\u69D8\u4F53\u304C\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3053\u3068\u3068\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u3067\u3042\u308B\u3053\u3068\u3068\u306F\u540C\u5024\u3067\u3042\u308B\u3002\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306B\u30010 \u3068\u306F\u306A\u3089\u306A\u3044\u51FD\u6570\u3092\u639B\u3051\u308B\u3068\u518D\u3073\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3068\u306A\u308B\u3053\u3068\u304B\u3089\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u306A\u591A\u69D8\u4F53\u306F\u7121\u9650\u500B\u306E\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3002\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u4E0D\u53EF\u80FD\u306A\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306B\u306F\u3001\u4EE3\u308F\u308A\u306B\u3001(density)\u3068\u3044\u3046\u3088\u308A\u5F31\u3044\u8003\u3048\u65B9\u304C\u3042\u308B\u3002 \u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u3001\u5FAE\u5206\u53EF\u80FD\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306E\u51FD\u6570\u306E\u7A4D\u5206\u3092\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u65B9\u6CD5\u3092\u3082\u305F\u3089\u3059\u3002\u8A00\u3044\u63DB\u3048\u308B\u3068\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306F\u6E2C\u5EA6\u3092\u3082\u305F\u3089\u3057\u3001\u3053\u306E\u6E2C\u5EA6\u306B\u95A2\u3057\u3066\u51FD\u6570\u306F\u9069\u5207\u306A\u30EB\u30D9\u30FC\u30B0\u7A4D\u5206\u306B\u3088\u308A\u7A4D\u5206\u3059\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u306E\u7D76\u5BFE\u5024\u306F\u3001\u4F53\u7A4D\u8981\u7D20(volume element)\u3067\u3042\u308A\u3001\u30C4\u30A4\u30B9\u30C8\u3057\u305F\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(twisted volume form)\u3084\u64EC\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F(pseudo-volume form)\u306A\u3069\u3068\u3082\u547C\u3070\u308C\u308B\u3002\u3053\u308C\u3082\u6E2C\u5EA6\u3092\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u304C\u3001\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u304B\u5426\u304B\u306B\u95A2\u4FC2\u306A\u304F\u4EFB\u610F\u306E\u53EF\u5FAE\u5206\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306B\u5B58\u5728\u3059\u308B\u3002 \u8907\u7D20\u591A\u69D8\u4F53\u3067\u3042\u308B\u30B1\u30FC\u30E9\u30FC\u591A\u69D8\u4F53\u306F\u3001\u81EA\u7136\u306B\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u3067\u3042\u308B\u306E\u3067\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3063\u3066\u3044\u308B\u3002\u3055\u3089\u306B\u4E00\u822C\u7684\u306B\u306F\u3001\u30B7\u30F3\u30D7\u30EC\u30AF\u30C6\u30A3\u30C3\u30AF\u591A\u69D8\u4F53\u4E0A\u306E\u30B7\u30F3\u30D7\u30EC\u30AF\u30C6\u30A3\u30C3\u30AF\u5F62\u5F0F\u306E n-\u6B21\u5916\u51AA(exterior power)\u306F\u3001\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3067\u3042\u308B\u3002\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u591A\u304F\u306E\u30AF\u30E9\u30B9\u304C\u6A19\u6E96\u7684\u306A\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3002\u3053\u308C\u3089\u306F\u4E8B\u524D\u306B\u9078\u3070\u308C\u305F\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u7A0B\u5EA6\u306E\u4F59\u5270\u306A\u69CB\u9020\u3092\u6301\u3063\u3066\u3044\u308B\u3002\u5411\u304D\u4ED8\u3051\u53EF\u80FD\u306A\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\u3084\u64EC\u30EA\u30FC\u30DE\u30F3\u591A\u69D8\u4F53\u306F\u6A19\u6E96\u7684\u306A\u4F53\u7A4D\u5F62\u5F0F\u3092\u6301\u3064\u3002"@ja . "In geometria differenziale, una forma di volume \u00E8 una particolare -forma differenziale utile a definire una misura su una variet\u00E0 differenziabile, e quindi un metodo per definire una nozione di volume all'interno di questa."@it . . . . . "Eine Volumenform ist ein mathematisches Objekt, welches zur Integration \u00FCber Raumbereiche ben\u00F6tigt wird, insbesondere bei der Verwendung spezieller Koordinatensysteme, also ein Spezialfall eines Volumens. In der Physik und im Ingenieurwesen sind auch Bezeichnungen wie infinitesimales Volumenelement oder Ma\u00DFfaktor gebr\u00E4uchlich."@de . . "\uB9AC\uB9CC \uAE30\uD558\uD559\uC5D0\uC11C \uBD80\uD53C \uD615\uC2DD(\uBD80\uD53C\u5F62\u5F0F, \uC601\uC5B4: volume form \uBCFC\uB968 \uD3FC[*])\uC740 \uC720\uD5A5 \uC900 \uB9AC\uB9CC \uB2E4\uC591\uCCB4\uC5D0 \uB300\uD558\uC5EC \uC815\uC758\uB418\uB294 \uD2B9\uBCC4\uD55C \uCD5C\uACE0 \uCC28\uC218 \uC2E4\uC218 \uBBF8\uBD84 \uD615\uC2DD\uC774\uB2E4. \uC774\uB97C \uC801\uBD84\uD558\uC5EC, \uB2E4\uC591\uCCB4\uC758 \uAD6C\uC5ED\uC758 \uBD80\uD53C\uB97C \uC815\uC758\uD560 \uC218 \uC788\uB2E4."@ko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Volume form"@en . . . . . . . . . . . . . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u2014 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u0432\u044B\u0441\u0448\u0435\u0439 \u0440\u0430\u0437\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u0441\u0442\u0438 \u043D\u0430 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u043E\u043C \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0438 (\u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C -\u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043D\u0430 -\u043C\u0435\u0440\u043D\u043E\u043C \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u0438), \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u0430\u044F \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043D\u0443\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043D\u0438 \u0432 \u043E\u0434\u043D\u043E\u0439 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0435. \u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u043F\u043E\u0437\u0432\u043E\u043B\u044F\u0435\u0442 \u043E\u043F\u0440\u0435\u0434\u0435\u043B\u0438\u0442\u044C \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0430\u043B \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438 \u043F\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u043E\u0431\u0440\u0430\u0437\u0438\u044E. \u0414\u0440\u0443\u0433\u0438\u043C\u0438 \u0441\u043B\u043E\u0432\u0430\u043C\u0438, \u0444\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430 \u0437\u0430\u0434\u0430\u0451\u0442 \u043C\u0435\u0440\u0443, \u043F\u043E \u043A\u043E\u0442\u043E\u0440\u043E\u0439 \u043C\u043E\u0436\u043D\u043E \u0438\u043D\u0442\u0435\u0433\u0440\u0438\u0440\u043E\u0432\u0430\u0442\u044C \u0444\u0443\u043D\u043A\u0446\u0438\u0438."@ru . . . . . . . . . . . . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431\u044A\u0451\u043C\u0430"@ru . "\u0424\u043E\u0440\u043C\u0430 \u043E\u0431'\u0454\u043C\u0443"@uk . . "In mathematics, a volume form or top-dimensional form is a differential form of degree equal to the differentiable manifold dimension. Thus on a manifold of dimension , a volume form is an -form. It is an element of the space of sections of the line bundle , denoted as . A manifold admits a nowhere-vanishing volume form if and only if it is orientable. An orientable manifold has infinitely many volume forms, since multiplying a volume form by a function yields another volume form. On non-orientable manifolds, one may instead define the weaker notion of a density. A volume form provides a means to define the integral of a function on a differentiable manifold. In other words, a volume form gives rise to a measure with respect to which functions can be integrated by the appropriate Lebesgue integral. The absolute value of a volume form is a volume element, which is also known variously as a twisted volume form or pseudo-volume form. It also defines a measure, but exists on any differentiable manifold, orientable or not. K\u00E4hler manifolds, being complex manifolds, are naturally oriented, and so possess a volume form. More generally, the th exterior power of the symplectic form on a symplectic manifold is a volume form. Many classes of manifolds have canonical volume forms: they have extra structure which allows the choice of a preferred volume form. Oriented pseudo-Riemannian manifolds have an associated canonical volume form."@en . .