. . "En matem\u00E1ticas, un \u00E1lgebra de Lie semi-simple si es un \u00E1lgebra de Lie que es suma directa de \u00E1lgebras de Lie simples (\u00E1lgebras de Lie no abelianas sin ning\u00FAn ideal propio no nulo). A lo largo del art\u00EDculo, a menos que se indique lo contrario, un \u00E1lgebra de Lie es un \u00E1lgebra de Lie de dimensi\u00F3n finita sobre un campo de caracter\u00EDstica 0. Para tal \u00E1lgebra de Lie , si no es cero, las siguientes condiciones son equivalentes: \n* es semisimple; \n* la forma de Killing, \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), es no degenerada; \n* no tiene ideales abelianos distintos de cero; \n* no tiene ideales solubles distintos de cero; \n* el radical (ideal m\u00E1ximo soluble) de es cero."@es . . . . "\u534A\u5358\u7D14\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570"@ja . . . . "Em matem\u00E1tica, uma \u00E1lgebra de Lie \u00E9 semissimples se ela \u00E9 uma soma direta de , i.e., \u00E1lgebras de Lie n\u00E3o abelianas nas quais os \u00FAnicos ideais s\u00E3o triviais ({0} e ). Ela \u00E9 chamada redutiva se ela \u00E9 a soma de uma \u00E1lgebra de Lie semissimples e abeliana. Sendo uma \u00E1lgebra de Lie dimensional finita sobre uma corpo de caracter\u00EDstica 0. As seguintes condi\u00E7\u00F5es s\u00E3o equivalentes: \n* \u00E9 semissimples \n* a , \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), \u00E9 , \n* n\u00E3o tem ideais abelianos n\u00E3o-zero, \n* n\u00E3o tem ideais sol\u00FAveis n\u00E3o-zero, \n* O de \u00E9 zero."@pt . . . . . . . . . . . "\u041F\u043E\u043B\u0443\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0438"@ru . . "\uB9AC \uB300\uC218 \uC774\uB860\uC5D0\uC11C, \uBC18\uB2E8\uC21C \uB9AC \uB300\uC218(\u534A\u55AE\u7D14Lie\u4EE3\u6578, \uC601\uC5B4: semisimple Lie algebra)\uB294 \uB2E8\uC21C \uB9AC \uB300\uC218\uB4E4\uC758 \uC9C1\uD569\uC778 \uB9AC \uB300\uC218\uC774\uB2E4."@ko . . "41491"^^ . . "\u041D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430 \u0430\u043B\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456 \u2014 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456, \u0449\u043E \u0454 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0441\u0443\u043C\u043E\u044E \u0441\u0432\u043E\u0457\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u043D\u0435\u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043D\u0438\u0445 \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432, \u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432, \u0449\u043E \u0454 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u043C\u0438 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u043C\u0438 \u041B\u0456 (\u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u043D\u0435 \u043C\u0456\u0441\u0442\u044F\u0442\u044C \u043D\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432). \u0417\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0456 \u043F\u043E\u044F\u0441\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0442\u0438\u043C, \u0449\u043E \u0437\u0433\u0456\u0434\u043D\u043E \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0438 \u041B\u0435\u0432\u0456 \u043A\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456 \u043D\u0430\u0434 \u043F\u043E\u043B\u0435\u043C \u0445\u0430\u0440\u0430\u043A\u0442\u0435\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0438 0 \u0454 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0441\u0443\u043C\u043E\u044E \u0441\u0432\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0434\u0438\u043A\u0430\u043B\u0430 (\u043C\u0430\u043A\u0441\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u043E\u0437\u0432'\u044F\u0437\u043D\u043E\u0433\u043E \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0430) \u0456 \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0457 \u043F\u0456\u0434\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438. \u0422\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0434\u043B\u044F \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0456 \u0456\u0441\u043D\u0443\u0454 \u0434\u043E\u0441\u0438\u0442\u044C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F (\u043E\u0441\u043E\u0431\u043B\u0438\u0432\u043E \u0434\u043B\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438\u0447\u043D\u043E \u0437\u0430\u043C\u043A\u043D\u0443\u0442\u0438\u0445 \u043F\u043E\u043B\u0456\u0432) \u0456 \u0434\u043E\u0431\u0440\u0435 \u0440\u043E\u0437\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u044C, \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0438\u0445 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u044C."@uk . "1337587"^^ . "Root space decomposition"@en . . . . "\u041D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456"@uk . . . . . "\uB9AC \uB300\uC218 \uC774\uB860\uC5D0\uC11C, \uBC18\uB2E8\uC21C \uB9AC \uB300\uC218(\u534A\u55AE\u7D14Lie\u4EE3\u6578, \uC601\uC5B4: semisimple Lie algebra)\uB294 \uB2E8\uC21C \uB9AC \uB300\uC218\uB4E4\uC758 \uC9C1\uD569\uC778 \uB9AC \uB300\uC218\uC774\uB2E4."@ko . . "Algebra di Lie semisemplice"@it . . . . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\u304C\u534A\u5358\u7D14\u3067\u3042\u308B\u3068\u306F\u5358\u7D14\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\uFF08\u81EA\u5206\u81EA\u8EAB\u30680\u4EE5\u5916\u306B\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044\u3088\u3046\u306A\u975E\u53EF\u63DB\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\uFF09\u306E\u76F4\u548C\u3068\u306A\u308B\u4E8B\u3092\u3044\u3046\u3002 \u3053\u306E\u8A18\u4E8B\u5185\u3067\u306F\u7279\u306B\u6CE8\u610F\u3057\u306A\u3044\u9650\u308A \u3092\u6A19\u65700\u306E\u4F53\u4E0A\u306E\u6709\u9650\u6B21\u5143\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\u3068\u3059\u308B\u3002\u4EE5\u4E0B\u306E\u6761\u4EF6\u306F\u5168\u3066\u540C\u5024\u3067\u3042\u308B\u3002 \n* \u306F\u534A\u5358\u7D14 \n* \u30AD\u30EA\u30F3\u30B0\u5F62\u5F0F \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)) \u304C\u975E\u9000\u5316 \n* \u306F0\u3067\u306A\u3044\u53EF\u63DB\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044 \n* \u306F0\u3067\u306A\u3044\u53EF\u89E3\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044 \n* \u306E (\u6700\u5927\u53EF\u89E3\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB) \u306F0"@ja . . . "Halbeinfache Lie-Algebren werden in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen, komplexen Lie-Algebren lassen sich vollst\u00E4ndig klassifizieren. Sie setzen sich aus einfachen Lie-Algebren zusammen, woher ihr Name resultiert. Diese Theorie geht im Wesentlichen auf Arbeiten von Wilhelm Killing und \u00C9lie Cartan Ende des 19. Jahrhunderts zur\u00FCck. Die heute zur Klassifikation verwendeten Dynkin-Diagramme wurden 1947 von Eugene Dynkin eingef\u00FChrt. Wesentliche Teile der Theorie finden sich im Standardwerk von James E. Humphreys \u00FCber Darstellungen von Lie-Algebren aus dem Jahre 1972, dort fehlt die Beschreibung der sogenannten exzeptionellen Lie-Algebren. Diese kann man in einem \u00E4lteren Lehrbuch von Richard D. Schafer \u00FCber nicht-assoziative Algebren "@de . . . . . . . . . . . "\u00C1lgebra de Lie semissimples"@pt . . . . . . . . "\u041D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430 \u0430\u043B\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456 \u2014 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456, \u0449\u043E \u0454 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0441\u0443\u043C\u043E\u044E \u0441\u0432\u043E\u0457\u0445 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u043D\u0435\u043A\u043E\u043C\u0443\u0442\u0430\u0442\u0438\u0432\u043D\u0438\u0445 \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432, \u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432, \u0449\u043E \u0454 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u043C\u0438 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430\u043C\u0438 \u041B\u0456 (\u0442\u043E\u0431\u0442\u043E \u043D\u0435 \u043C\u0456\u0441\u0442\u044F\u0442\u044C \u043D\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0456\u0430\u043B\u044C\u043D\u0438\u0445 \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0456\u0432). \u0417\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043D\u044F \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0456 \u043F\u043E\u044F\u0441\u043D\u044E\u0454\u0442\u044C\u0441\u044F \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0442\u0438\u043C, \u0449\u043E \u0437\u0433\u0456\u0434\u043D\u043E \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0438 \u041B\u0435\u0432\u0456 \u043A\u043E\u0436\u043D\u0430 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0456 \u043D\u0430\u0434 \u043F\u043E\u043B\u0435\u043C \u0445\u0430\u0440\u0430\u043A\u0442\u0435\u0440\u0438\u0441\u0442\u0438\u043A\u0438 0 \u0454 \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u044E \u0441\u0443\u043C\u043E\u044E \u0441\u0432\u043E\u0433\u043E \u0440\u0430\u0434\u0438\u043A\u0430\u043B\u0430 (\u043C\u0430\u043A\u0441\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u043E\u0437\u0432'\u044F\u0437\u043D\u043E\u0433\u043E \u0456\u0434\u0435\u0430\u043B\u0430) \u0456 \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0457 \u043F\u0456\u0434\u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438. \u0422\u0430\u043A\u043E\u0436 \u0434\u043B\u044F \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0438\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0456 \u0456\u0441\u043D\u0443\u0454 \u0434\u043E\u0441\u0438\u0442\u044C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F (\u043E\u0441\u043E\u0431\u043B\u0438\u0432\u043E \u0434\u043B\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438\u0447\u043D\u043E \u0437\u0430\u043C\u043A\u043D\u0443\u0442\u0438\u0445 \u043F\u043E\u043B\u0456\u0432) \u0456 \u0434\u043E\u0431\u0440\u0435 \u0440\u043E\u0437\u0432\u0438\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0456\u044F \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u044C, \u0437\u043E\u043A\u0440\u0435\u043C\u0430 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u044F \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0438\u0445 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u044C. \u041A\u043E\u043C\u043F\u043B\u0435\u043A\u0441\u043D\u0456 \u043D\u0430\u043F\u0456\u0432\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0456 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0438 \u041B\u0456 \u0432\u0456\u0434\u0456\u0433\u0440\u0430\u044E\u0442\u044C \u043A\u043B\u044E\u0447\u043E\u0432\u0443 \u0440\u043E\u043B\u044C \u0443 \u043A\u043B\u0430\u0441\u0438\u0444\u0456\u043A\u0430\u0446\u0456\u0457 \u043A\u043E\u043C\u043F\u0430\u043A\u0442\u043D\u0438\u0445 \u0433\u0440\u0443\u043F \u041B\u0456 \u0456 \u0457\u0445 \u0441\u043A\u0456\u043D\u0447\u0435\u043D\u043D\u043E\u0432\u0438\u043C\u0456\u0440\u043D\u0438\u0445 \u043F\u0440\u0435\u0434\u0441\u0442\u0430\u0432\u043B\u0435\u043D\u044C."@uk . . . "1118017032"^^ . "\u00C1lgebra de Lie semisimple"@es . . . . . "In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt een lie-algebra halfenkelvoudig genoemd als het een van 's is, dat wil zeggen dat niet-abelse lie-algebra's , waarvan de enige idealen {0} en zelf zijn. In het hele artikel is, tenzij anders vermeld, een eindig-dimensionale lie-algebra over een veld met karakteristiek 0. De volgende voorwaarden zijn gelijkwaardig: \n* is halfenkelvoudig \n* De killing-vorm, \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is , \n* heeft geen niet-nulzijnde abelse idealen, \n* heeft geen niet-nulzijnde , \n* De van is nul."@nl . . . "\u041F\u043E\u043B\u0443\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0438 \u2014 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0438, \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 \u0441\u0443\u043C\u043C\u043E\u0439 , \u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C \u043D\u0435\u0430\u0431\u0435\u043B\u0435\u0432\u044B\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0438 \u0431\u0435\u0437 \u043D\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043B\u043E\u0432."@ru . . . . . "Given a Cartan subalgebra , it holds that and there is a decomposition :\n:\nwhere is the set of all nonzero linear functionals of such that . Moreover, for each ,\n*, which is the equality if .\n* as a Lie algebra.\n*; in particular, .\n*; in other words, .\n*With respect to the Killing form B, are orthogonal to each other if ; the restriction of B to is nondegenerate."@en . . "Em matem\u00E1tica, uma \u00E1lgebra de Lie \u00E9 semissimples se ela \u00E9 uma soma direta de , i.e., \u00E1lgebras de Lie n\u00E3o abelianas nas quais os \u00FAnicos ideais s\u00E3o triviais ({0} e ). Ela \u00E9 chamada redutiva se ela \u00E9 a soma de uma \u00E1lgebra de Lie semissimples e abeliana. Sendo uma \u00E1lgebra de Lie dimensional finita sobre uma corpo de caracter\u00EDstica 0. As seguintes condi\u00E7\u00F5es s\u00E3o equivalentes: \n* \u00E9 semissimples \n* a , \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), \u00E9 , \n* n\u00E3o tem ideais abelianos n\u00E3o-zero, \n* n\u00E3o tem ideais sol\u00FAveis n\u00E3o-zero, \n* O de \u00E9 zero."@pt . "\u5728\u6578\u5B78\u4E2D\uFF0C\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u9664\u4E86\u96F6\u548C\u672C\u8EAB\u4E4B\u5916\u6C92\u6709\u5176\u5B83\u7406\u60F3\u7684\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u6307\u80FD\u8868\u70BA\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u76F4\u548C\u7684\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u82E5\u4E00\u500B\u674E\u4EE3\u6578\u80FD\u8868\u70BA\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u8207\u963F\u8C9D\u723E\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u76F4\u548C\uFF0C\u5247\u7A31\u4E4B\u70BA\u7D04\u5316\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u8207\u7D04\u5316\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u674E\u4EE3\u6578\u7814\u7A76\u4E2D\u7684\u4E3B\u8981\u5C0D\u8C61\u3002 \u8A2D \u70BA\u674E\u4EE3\u6578\uFF0C\u5176\u534A\u55AE\u6027\u6709\u4E0B\u8FF0\u523B\u5283\uFF1A \n* \u80FD\u8868\u70BA\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u4E4B\u76F4\u548C\u3002 \n* Killing \u5F62\u5F0F \u975E\u9000\u5316\u3002 \n* \u6C92\u6709\u975E\u96F6\u7684\u963F\u8C9D\u723E\u7406\u60F3\u3002 \n* \u6C92\u6709\u975E\u96F6\u7684\u53EF\u89E3\u7406\u60F3\u3002 \n* \u6B64\u5916\uFF0C\u82E5 \u5B9A\u7FA9\u5728\u96F6\u7279\u5FB5\u7684\u57DF\u4E0A\uFF0C\u5247\u53EF\u8FFD\u52A0\u4E00\u9805 \n* \u534A\u55AE\u82E5\u4E14\u552F\u82E5\u6BCF\u500B \u7684\u90FD\u662F\u5B8C\u5168\u53EF\u7D04\u7684\u3002 \u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u53E6\u4E00\u500B\u91CD\u8981\u6027\u8CEA\u662F \uFF0C\u5176\u9006\u672A\u5FC5\u6210\u7ACB\u3002"@zh . "In mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: \n* is semisimple; \n* the Killing form, \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; \n* has no non-zero abelian ideals; \n* has no non-zero solvable ideals; \n* the radical (maximal solvable ideal) of is zero."@en . . . . . . . . . . "\u5728\u6578\u5B78\u4E2D\uFF0C\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u9664\u4E86\u96F6\u548C\u672C\u8EAB\u4E4B\u5916\u6C92\u6709\u5176\u5B83\u7406\u60F3\u7684\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u6307\u80FD\u8868\u70BA\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u76F4\u548C\u7684\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u82E5\u4E00\u500B\u674E\u4EE3\u6578\u80FD\u8868\u70BA\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u8207\u963F\u8C9D\u723E\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u76F4\u548C\uFF0C\u5247\u7A31\u4E4B\u70BA\u7D04\u5316\u674E\u4EE3\u6578\u3002\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u8207\u7D04\u5316\u674E\u4EE3\u6578\u662F\u674E\u4EE3\u6578\u7814\u7A76\u4E2D\u7684\u4E3B\u8981\u5C0D\u8C61\u3002 \u8A2D \u70BA\u674E\u4EE3\u6578\uFF0C\u5176\u534A\u55AE\u6027\u6709\u4E0B\u8FF0\u523B\u5283\uFF1A \n* \u80FD\u8868\u70BA\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u4E4B\u76F4\u548C\u3002 \n* Killing \u5F62\u5F0F \u975E\u9000\u5316\u3002 \n* \u6C92\u6709\u975E\u96F6\u7684\u963F\u8C9D\u723E\u7406\u60F3\u3002 \n* \u6C92\u6709\u975E\u96F6\u7684\u53EF\u89E3\u7406\u60F3\u3002 \n* \u6B64\u5916\uFF0C\u82E5 \u5B9A\u7FA9\u5728\u96F6\u7279\u5FB5\u7684\u57DF\u4E0A\uFF0C\u5247\u53EF\u8FFD\u52A0\u4E00\u9805 \n* \u534A\u55AE\u82E5\u4E14\u552F\u82E5\u6BCF\u500B \u7684\u90FD\u662F\u5B8C\u5168\u53EF\u7D04\u7684\u3002 \u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578\u7684\u53E6\u4E00\u500B\u91CD\u8981\u6027\u8CEA\u662F \uFF0C\u5176\u9006\u672A\u5FC5\u6210\u7ACB\u3002"@zh . "In de abstracte algebra, een deelgebied van de wiskunde, wordt een lie-algebra halfenkelvoudig genoemd als het een van 's is, dat wil zeggen dat niet-abelse lie-algebra's , waarvan de enige idealen {0} en zelf zijn. In het hele artikel is, tenzij anders vermeld, een eindig-dimensionale lie-algebra over een veld met karakteristiek 0. De volgende voorwaarden zijn gelijkwaardig: \n* is halfenkelvoudig \n* De killing-vorm, \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is , \n* heeft geen niet-nulzijnde abelse idealen, \n* heeft geen niet-nulzijnde , \n* De van is nul."@nl . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\u304C\u534A\u5358\u7D14\u3067\u3042\u308B\u3068\u306F\u5358\u7D14\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\uFF08\u81EA\u5206\u81EA\u8EAB\u30680\u4EE5\u5916\u306B\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044\u3088\u3046\u306A\u975E\u53EF\u63DB\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\uFF09\u306E\u76F4\u548C\u3068\u306A\u308B\u4E8B\u3092\u3044\u3046\u3002 \u3053\u306E\u8A18\u4E8B\u5185\u3067\u306F\u7279\u306B\u6CE8\u610F\u3057\u306A\u3044\u9650\u308A \u3092\u6A19\u65700\u306E\u4F53\u4E0A\u306E\u6709\u9650\u6B21\u5143\u30EA\u30FC\u4EE3\u6570\u3068\u3059\u308B\u3002\u4EE5\u4E0B\u306E\u6761\u4EF6\u306F\u5168\u3066\u540C\u5024\u3067\u3042\u308B\u3002 \n* \u306F\u534A\u5358\u7D14 \n* \u30AD\u30EA\u30F3\u30B0\u5F62\u5F0F \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)) \u304C\u975E\u9000\u5316 \n* \u306F0\u3067\u306A\u3044\u53EF\u63DB\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044 \n* \u306F0\u3067\u306A\u3044\u53EF\u89E3\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB\u3092\u6301\u305F\u306A\u3044 \n* \u306E (\u6700\u5927\u53EF\u89E3\u30A4\u30C7\u30A2\u30EB) \u306F0"@ja . "En matem\u00E1ticas, un \u00E1lgebra de Lie semi-simple si es un \u00E1lgebra de Lie que es suma directa de \u00E1lgebras de Lie simples (\u00E1lgebras de Lie no abelianas sin ning\u00FAn ideal propio no nulo). A lo largo del art\u00EDculo, a menos que se indique lo contrario, un \u00E1lgebra de Lie es un \u00E1lgebra de Lie de dimensi\u00F3n finita sobre un campo de caracter\u00EDstica 0. Para tal \u00E1lgebra de Lie , si no es cero, las siguientes condiciones son equivalentes:"@es . . . . . . "Semisimple Lie algebra"@en . . . "Halfenkelvoudige lie-algebra"@nl . . . . "\u041F\u043E\u043B\u0443\u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0430\u044F \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0438 \u2014 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440\u0430 \u041B\u0438, \u044F\u0432\u043B\u044F\u044E\u0449\u0430\u044F\u0441\u044F \u043F\u0440\u044F\u043C\u043E\u0439 \u0441\u0443\u043C\u043C\u043E\u0439 , \u0442\u043E \u0435\u0441\u0442\u044C \u043D\u0435\u0430\u0431\u0435\u043B\u0435\u0432\u044B\u0445 \u0430\u043B\u0433\u0435\u0431\u0440 \u041B\u0438 \u0431\u0435\u0437 \u043D\u0435\u0442\u0440\u0438\u0432\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u044B\u0445 \u0438\u0434\u0435\u0430\u043B\u043E\u0432."@ru . . . . "\uBC18\uB2E8\uC21C \uB9AC \uB300\uC218"@ko . . "In mathematics, a Lie algebra is semisimple if it is a direct sum of simple Lie algebras. (A simple Lie algebra is a non-abelian Lie algebra without any non-zero proper ideals). Throughout the article, unless otherwise stated, a Lie algebra is a finite-dimensional Lie algebra over a field of characteristic 0. For such a Lie algebra , if nonzero, the following conditions are equivalent: \n* is semisimple; \n* the Killing form, \u03BA(x,y) = tr(ad(x)ad(y)), is non-degenerate; \n* has no non-zero abelian ideals; \n* has no non-zero solvable ideals; \n* the radical (maximal solvable ideal) of is zero."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . "In matematica, un'algebra di Lie si dice semisemplice se \u00E8 somma diretta di , ovvero di algebre di Lie non abeliane e i cui unici ideali sono 0 e stesso. Equivalentemente, un'algebra di Lie \u00E8 semisemplice se e solo se: \n* La sua forma di Killing \u00E8 non degenere. \n* non ha ideali abeliani diversi da 0. \n* non ha ideali risolubili diversi da 0. \n* Il di \u00E8 0."@it . . . . . . . . . . . . . . . "Halbeinfache Lie-Algebra"@de . "Halbeinfache Lie-Algebren werden in der mathematischen Theorie der Lie-Algebren untersucht. Die endlichdimensionalen, halbeinfachen, komplexen Lie-Algebren lassen sich vollst\u00E4ndig klassifizieren. Sie setzen sich aus einfachen Lie-Algebren zusammen, woher ihr Name resultiert. Diese Theorie geht im Wesentlichen auf Arbeiten von Wilhelm Killing und \u00C9lie Cartan Ende des 19. Jahrhunderts zur\u00FCck. Die heute zur Klassifikation verwendeten Dynkin-Diagramme wurden 1947 von Eugene Dynkin eingef\u00FChrt. Wesentliche Teile der Theorie finden sich im Standardwerk von James E. Humphreys \u00FCber Darstellungen von Lie-Algebren aus dem Jahre 1972, dort fehlt die Beschreibung der sogenannten exzeptionellen Lie-Algebren. Diese kann man in einem \u00E4lteren Lehrbuch von Richard D. Schafer \u00FCber nicht-assoziative Algebren aus dem Jahre 1966 finden. Das unten angegebene Lehrbuch von Roger Carter enth\u00E4lt eine modernere, leicht zug\u00E4ngliche Darstellung."@de . . . . . . . . "\u534A\u55AE\u674E\u4EE3\u6578"@zh . "In matematica, un'algebra di Lie si dice semisemplice se \u00E8 somma diretta di , ovvero di algebre di Lie non abeliane e i cui unici ideali sono 0 e stesso. Equivalentemente, un'algebra di Lie \u00E8 semisemplice se e solo se: \n* La sua forma di Killing \u00E8 non degenere. \n* non ha ideali abeliani diversi da 0. \n* non ha ideali risolubili diversi da 0. \n* Il di \u00E8 0."@it . .