"\u6781\u5C0F\u66F2\u9762"@zh . "Eine Minimalfl\u00E4che ist eine Fl\u00E4che im Raum, die lokal minimalen Fl\u00E4cheninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenh\u00E4ute an, wenn sie \u00FCber einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind. In mathematischer Sprache sind Minimalfl\u00E4chen die kritischen Punkte des Fl\u00E4cheninhaltsfunktionals . Hierbei sind die Gr\u00F6\u00DFen und f\u00FCr erkl\u00E4rt (vgl. Hesse-Matrix). Man beachte, dass eine Minimalfl\u00E4che nicht notwendig minimalen Fl\u00E4cheninhalt hat, sondern lediglich ein station\u00E4rer Punkt des Fl\u00E4cheninhaltsfunktionals ist. Man kann zeigen, dass das Verschwinden der ersten Variation des Fl\u00E4cheninhaltsfunktionals in zwei Raumdimensionen \u00E4quivalent zum Verschwinden der mittleren Kr\u00FCmmung H ist, falls die betrachtete Mannigfaltigkeit hinreichend regul\u00E4r ist. Minimalfl\u00E4chen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau."@de . . . "In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een minimaaloppervlak een oppervlak met een gemiddelde kromming van nul."@nl . . . . . . . . . . . "\u041C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u2014 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0441 \u043D\u0443\u043B\u0435\u0432\u043E\u0439 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043D\u0435\u0439 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u043E\u0439.\u041D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u0438\u0435 \u043E\u0431\u044A\u044F\u0441\u043D\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0442\u0435\u043C, \u0447\u0442\u043E \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u043D\u044B\u043C \u043A\u043E\u043D\u0442\u0443\u0440\u043E\u043C, \u043C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044E\u0449\u0430\u044F \u043F\u043B\u043E\u0449\u0430\u0434\u044C, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439."@ru . . . "A superf\u00EDcie m\u00EDnima \u00E9, em matem\u00E1tica, uma superf\u00EDcie em que fixados todos os pontos do bordo, quaisquer dois pontos s\u00E3o ligados por infinitas curvas, sendo que uma delas \u00E9 uma caten\u00E1ria. O conceito matem\u00E1tico est\u00E1 intimamente ligado com as tens\u00F5es f\u00EDsicas como as presentes na bolha de sab\u00E3o. Exemplos dessas superf\u00EDcies s\u00E3o: \n* O plano; \n* A helicoide; \n* A caten\u00F3ide; \n* A superf\u00EDcie Costa;"@pt . . "\u6781\u5C0F\u66F2\u9762\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AMinimal surface\uFF09\u5728\u6570\u5B66\u4E2D\u662F\u6307\u5E73\u5747\u66F2\u7387\u4E3A\u96F6\u7684\u66F2\u9762\uFF0C\u5373\u6EE1\u8DB3\u67D0\u4E9B\u7EA6\u675F\u6761\u4EF6\u7684\u9762\u79EF\u6781\u5C0F\u7684\u66F2\u9762\uFF1B\u5728\u7269\u7406\u5B66\u4E2D\u662F\u6307\u7531\u6700\u5C0F\u5316\u9762\u79EF\u800C\u5F97\u5230\u7684\u6781\u5C0F\u66F2\u9762\u7684\u5B9E\u4F8B\u53EF\u4EE5\u662F\u6CBE\u4E86\u80A5\u7682\u6DB2\u540E\u5439\u51FA\u7684\u80A5\u7682\u6CE1\u3002"@zh . . . "\uADF9\uC18C\uACE1\uBA74"@ko . "Minimalfl\u00E4che"@de . . . . . . . . "\u041C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C"@ru . . . . . . . . . . . . "In mathematics, a minimal surface is a surface that locally minimizes its area. This is equivalent to having zero mean curvature (see definitions below). The term \"minimal surface\" is used because these surfaces originally arose as surfaces that minimized total surface area subject to some constraint. Physical models of area-minimizing minimal surfaces can be made by dipping a wire frame into a soap solution, forming a soap film, which is a minimal surface whose boundary is the wire frame. However, the term is used for more general surfaces that may self-intersect or do not have constraints. For a given constraint there may also exist several minimal surfaces with different areas (for example, see minimal surface of revolution): the standard definitions only relate to a local optimum, not a global optimum."@en . "Superficie minima"@it . . "In geometria differenziale, si definisce superficie minima (o, meno usato, superficie minimale, dall'inglese minimal surface) una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto. In natura esempi di superfici minime si possono ottenere immergendo nell'acqua saponata un telaietto di ferro di una qualunque forma chiusa: all'estrazione del telaio, la lamina di sapone che rimane attaccata ad esso rappresenta una superficie che ha curvatura media nulla ovunque."@it . . . "\u6781\u5C0F\u66F2\u9762\uFF08\u82F1\u8A9E\uFF1AMinimal surface\uFF09\u5728\u6570\u5B66\u4E2D\u662F\u6307\u5E73\u5747\u66F2\u7387\u4E3A\u96F6\u7684\u66F2\u9762\uFF0C\u5373\u6EE1\u8DB3\u67D0\u4E9B\u7EA6\u675F\u6761\u4EF6\u7684\u9762\u79EF\u6781\u5C0F\u7684\u66F2\u9762\uFF1B\u5728\u7269\u7406\u5B66\u4E2D\u662F\u6307\u7531\u6700\u5C0F\u5316\u9762\u79EF\u800C\u5F97\u5230\u7684\u6781\u5C0F\u66F2\u9762\u7684\u5B9E\u4F8B\u53EF\u4EE5\u662F\u6CBE\u4E86\u80A5\u7682\u6DB2\u540E\u5439\u51FA\u7684\u80A5\u7682\u6CE1\u3002"@zh . "In geometria differenziale, si definisce superficie minima (o, meno usato, superficie minimale, dall'inglese minimal surface) una superficie che ha curvatura media uguale a zero in ogni punto. In natura esempi di superfici minime si possono ottenere immergendo nell'acqua saponata un telaietto di ferro di una qualunque forma chiusa: all'estrazione del telaio, la lamina di sapone che rimane attaccata ad esso rappresenta una superficie che ha curvatura media nulla ovunque. La teoria delle superfici minime \u00E8 strettamente correlata ai problemi di area minima: date una o pi\u00F9 curve chiuse nello spazio, trovare, tra tutte le superfici aventi le curve date come bordo, quella che ha area minima.La superficie soluzione del problema, oltre a minimizzare l'area, avr\u00E0 anche curvatura media nulla ovunque, quindi sar\u00E0 una superficie minima. Non vale il viceversa, cio\u00E8 non tutte le superfici minime aventi delle date curve chiuse nello spazio come bordo sono superfici che minimizzano l'area per il bordo assegnato. I problemi matematici che traggono spunto da situazioni osservabili nella vita quotidiana sono tra i pi\u00F9 antichi nella storia della matematica. Alcune fonti riportano che fu Archimede ad introdurre in geometria i concetti di lunghezza e area minima. Egli cap\u00EC che la linea pi\u00F9 corta che congiunge due punti nello spazio \u00E8 la linea retta, e che data una qualunque curva chiusa piana, la superficie di area minima avente come bordo la curva data \u00E8 proprio la parte di piano delimitata dalla curva stessa. I problemi di area minima nei casi in cui siano date pi\u00F9 curve chiuse nello spazio, oppure una sola curva non piana, sono pi\u00F9 difficili da risolvere rispetto al caso particolare trattato da Archimede e rappresentano dei tipici problemi di quel ramo della matematica denominato calcolo delle variazioni."@it . . "Eine Minimalfl\u00E4che ist eine Fl\u00E4che im Raum, die lokal minimalen Fl\u00E4cheninhalt hat. Derartige Formen nehmen beispielsweise Seifenh\u00E4ute an, wenn sie \u00FCber einen entsprechenden Rahmen (wie etwa einen Blasring) gespannt sind. In mathematischer Sprache sind Minimalfl\u00E4chen die kritischen Punkte des Fl\u00E4cheninhaltsfunktionals . Minimalfl\u00E4chen stehen schon seit dem 19. Jahrhundert im Blickpunkt mathematischer Forschung. Ein wesentlicher Beitrag dazu waren die Experimente des belgischen Physikers Joseph Plateau."@de . . . . "\u041C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u2014 \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0441 \u043D\u0443\u043B\u0435\u0432\u043E\u0439 \u0441\u0440\u0435\u0434\u043D\u0435\u0439 \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u0437\u043D\u043E\u0439.\u041D\u0430\u0437\u0432\u0430\u043D\u0438\u0435 \u043E\u0431\u044A\u044F\u0441\u043D\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u0442\u0435\u043C, \u0447\u0442\u043E \u0433\u043B\u0430\u0434\u043A\u0430\u044F \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u043E\u0441\u0442\u044C \u0441 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u043D\u044B\u043C \u043A\u043E\u043D\u0442\u0443\u0440\u043E\u043C, \u043C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0438\u0437\u0438\u0440\u0443\u044E\u0449\u0430\u044F \u043F\u043B\u043E\u0449\u0430\u0434\u044C, \u044F\u0432\u043B\u044F\u0435\u0442\u0441\u044F \u043C\u0438\u043D\u0438\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439."@ru . . "A superf\u00EDcie m\u00EDnima \u00E9, em matem\u00E1tica, uma superf\u00EDcie em que fixados todos os pontos do bordo, quaisquer dois pontos s\u00E3o ligados por infinitas curvas, sendo que uma delas \u00E9 uma caten\u00E1ria. O conceito matem\u00E1tico est\u00E1 intimamente ligado com as tens\u00F5es f\u00EDsicas como as presentes na bolha de sab\u00E3o. Exemplos dessas superf\u00EDcies s\u00E3o: \n* O plano; \n* A helicoide; \n* A caten\u00F3ide; \n* A superf\u00EDcie Costa;"@pt . . . . . . . . . . . . . "\u0423 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u0446\u0456 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u2014 \u0446\u0435 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u0437 \u043D\u0443\u043B\u044C\u043E\u0432\u043E\u044E \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043D\u044C\u043E\u044E \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u043E\u044E. \u0412\u043E\u043D\u0438 \u0432\u043A\u043B\u044E\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C, \u0430\u043B\u0435 \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0443\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F, \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F\u043C\u0438 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0456 \u043F\u0440\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u0438\u0445 \u0440\u0456\u0437\u043D\u0438\u0445 \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u0445. \u0424\u0456\u0437\u0438\u0447\u043D\u0430 \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u044C \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0456 \u0437 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u044E \u043F\u043B\u043E\u0449\u0435\u044E \u043C\u043E\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u0437\u0440\u043E\u0431\u043B\u0435\u043D\u0430 \u0448\u043B\u044F\u0445\u043E\u043C \u0437\u0430\u043D\u0443\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F \u043A\u0430\u0440\u043A\u0430\u0441\u0430 \u0432 \u043C\u0438\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0440\u043E\u0437\u0447\u0438\u043D. \u0423\u0442\u0432\u043E\u0440\u0435\u043D\u0430 \u043C\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043F\u043B\u0456\u0432\u043A\u0430 \u0454 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u044E \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0435\u044E, \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u0435\u044E \u044F\u043A\u043E\u0457 \u0454 \u043A\u0430\u0440\u043A\u0430\u0441."@uk . . . "In de differentiaalmeetkunde, een deelgebied van de meetkunde, is een minimaaloppervlak een oppervlak met een gemiddelde kromming van nul."@nl . . . . . . . . . "Permukaan minimum dalam matematika adalah permukaan yang meminimalkan area secara lokal. Sama dengan nol (lihat definisi di bawah). Istilah \"permukaan minimum\" digunakan karena permukaan ini awalnya muncul sebagai permukaan yang meminimalkan total luas permukaan yang tunduk pada beberapa . Model fisik permukaan minimum yang meminimalkan bidang, dapat dibuat dengan cara mencelupkan bingkai kawat ke dalam larutan sabun, membentuk balon sabun, batasan dari permukaan minimum adalah bingkai kawat itu. Akan tetapi, istilah ini digunakan untuk permukaan yang lebih umum, dapat berupa atau tidak memiliki batasan. Untuk batasan yang diberikan mungkin ada juga beberapa permukaan minimum dengan bidang yang berbeda (misalnya, lihat ): definisi standar hanya berhubungan dengan bukan ."@in . . . . . . . . . "Minimal surface"@en . . . . . . . . . "Minimal surface"@en . . . . "\u041C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F"@uk . . . . . . . . . . . . "\uADF9\uC18C\uACE1\uBA74(\u6975\u5C0F\u66F2\u9762)\uC740 \uD3C9\uADE0\uACE1\uB960\uC774 0\uC778 \uACE1\uBA74\uC774\uB2E4."@ko . . . . . "Superficie minimal"@es . . . "En matem\u00E1ticas, una superficie minimal es un elemento bidimensional que localmente minimiza su \u00E1rea. Esto es equivalente a (v\u00E9ase infra: ) tener una curvatura media nula. El t\u00E9rmino \"superficie minimal\" surgi\u00F3 para ser aplicado originalmente a aquellas superficies que minimizan el \u00E1rea total de un conjunto de superficies que cumplen una serie de condiciones de contorno. Modelos f\u00EDsicos de superficies que minimizan un \u00E1rea pueden visualizarse introduciendo un bastidor de alambre en una soluci\u00F3n de jab\u00F3n, form\u00E1ndose entonces una pel\u00EDcula de jab\u00F3n, form\u00E1ndose una superficie minimal cuya frontera es el bastidor de alambre. El t\u00E9rmino tambi\u00E9n es utilizado para superficies m\u00E1s generales que pueden cruzarse a s\u00ED mismas, o no tener constre\u00F1imientos. Para una condici\u00F3n de contorno dada pueden exist"@es . . "1124921931"^^ . "Permukaan minimum"@in . . . . . . . . . . . . . "276734"^^ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "In mathematics, a minimal surface is a surface that locally minimizes its area. This is equivalent to having zero mean curvature (see definitions below). The term \"minimal surface\" is used because these surfaces originally arose as surfaces that minimized total surface area subject to some constraint. Physical models of area-minimizing minimal surfaces can be made by dipping a wire frame into a soap solution, forming a soap film, which is a minimal surface whose boundary is the wire frame. However, the term is used for more general surfaces that may self-intersect or do not have constraints. For a given constraint there may also exist several minimal surfaces with different areas (for example, see minimal surface of revolution): the standard definitions only relate to a local optimum, not "@en . . "\uADF9\uC18C\uACE1\uBA74(\u6975\u5C0F\u66F2\u9762)\uC740 \uD3C9\uADE0\uACE1\uB960\uC774 0\uC778 \uACE1\uBA74\uC774\uB2E4."@ko . . . . . "Permukaan minimum dalam matematika adalah permukaan yang meminimalkan area secara lokal. Sama dengan nol (lihat definisi di bawah). Istilah \"permukaan minimum\" digunakan karena permukaan ini awalnya muncul sebagai permukaan yang meminimalkan total luas permukaan yang tunduk pada beberapa . Model fisik permukaan minimum yang meminimalkan bidang, dapat dibuat dengan cara mencelupkan bingkai kawat ke dalam larutan sabun, membentuk balon sabun, batasan dari permukaan minimum adalah bingkai kawat itu. Akan tetapi, istilah ini digunakan untuk permukaan yang lebih umum, dapat berupa atau tidak memiliki batasan. Untuk batasan yang diberikan mungkin ada juga beberapa permukaan minimum dengan bidang yang berbeda (misalnya, lihat ): definisi standar hanya berhubungan dengan bukan ."@in . . . "Surface minimale"@fr . . . . . . . "Superf\u00EDcie m\u00EDnima"@pt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . "En matem\u00E1ticas, una superficie minimal es un elemento bidimensional que localmente minimiza su \u00E1rea. Esto es equivalente a (v\u00E9ase infra: ) tener una curvatura media nula. El t\u00E9rmino \"superficie minimal\" surgi\u00F3 para ser aplicado originalmente a aquellas superficies que minimizan el \u00E1rea total de un conjunto de superficies que cumplen una serie de condiciones de contorno. Modelos f\u00EDsicos de superficies que minimizan un \u00E1rea pueden visualizarse introduciendo un bastidor de alambre en una soluci\u00F3n de jab\u00F3n, form\u00E1ndose entonces una pel\u00EDcula de jab\u00F3n, form\u00E1ndose una superficie minimal cuya frontera es el bastidor de alambre. El t\u00E9rmino tambi\u00E9n es utilizado para superficies m\u00E1s generales que pueden cruzarse a s\u00ED mismas, o no tener constre\u00F1imientos. Para una condici\u00F3n de contorno dada pueden existir varias superficies minimales con \u00E1reas diferentes (por ejemplo, las superficies minimales de revoluci\u00F3n): las definiciones est\u00E1ndar solo caracterizan m\u00EDnimos locales \u00F3ptimos, no m\u00EDnimos globales \u00F3ptimos."@es . . . "p/m063920"@en . . . "En math\u00E9matiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en r\u00E9alisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance d\u00E9termin\u00E9. Si un cerceau est retir\u00E9 d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fix\u00E9. Un souffle dessus d\u00E9forme l\u00E9g\u00E8rement le disque en une calotte sph\u00E9rique. Si l'\u00E9tude fait appel \u00E0 la m\u00E9canique des fluides, le traitement math\u00E9matique utilise le langage des surfaces minimales. Usuellement, une d\u00E9finition oblige de pr\u00E9ciser le contexte : quel est l'espace ambiant ? quel sens donner \u00E0 la notion d'aire ? \u00E0 la minimisation ?"@fr . . . . "Minimaaloppervlak"@nl . . . . . . "\u0423 \u043C\u0430\u0442\u0435\u043C\u0430\u0442\u0438\u0446\u0456 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u2014 \u0446\u0435 \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F \u0437 \u043D\u0443\u043B\u044C\u043E\u0432\u043E\u044E \u0441\u0435\u0440\u0435\u0434\u043D\u044C\u043E\u044E \u043A\u0440\u0438\u0432\u0438\u043D\u043E\u044E. \u0412\u043E\u043D\u0438 \u0432\u043A\u043B\u044E\u0447\u0430\u044E\u0442\u044C, \u0430\u043B\u0435 \u043D\u0435 \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0443\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F, \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u044F\u043C\u0438 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0457 \u043F\u043B\u043E\u0449\u0456 \u043F\u0440\u0438 \u0437\u0430\u0434\u0430\u043D\u0438\u0445 \u0440\u0456\u0437\u043D\u0438\u0445 \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F\u0445. \u0424\u0456\u0437\u0438\u0447\u043D\u0430 \u043C\u043E\u0434\u0435\u043B\u044C \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0456 \u0437 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u044E \u043F\u043B\u043E\u0449\u0435\u044E \u043C\u043E\u0436\u0435 \u0431\u0443\u0442\u0438 \u0437\u0440\u043E\u0431\u043B\u0435\u043D\u0430 \u0448\u043B\u044F\u0445\u043E\u043C \u0437\u0430\u043D\u0443\u0440\u0435\u043D\u043D\u044F \u043A\u0430\u0440\u043A\u0430\u0441\u0430 \u0432 \u043C\u0438\u043B\u044C\u043D\u0438\u0439 \u0440\u043E\u0437\u0447\u0438\u043D. \u0423\u0442\u0432\u043E\u0440\u0435\u043D\u0430 \u043C\u0438\u043B\u044C\u043D\u0430 \u043F\u043B\u0456\u0432\u043A\u0430 \u0454 \u043C\u0456\u043D\u0456\u043C\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u044E \u043F\u043E\u0432\u0435\u0440\u0445\u043D\u0435\u044E, \u0433\u0440\u0430\u043D\u0438\u0446\u0435\u044E \u044F\u043A\u043E\u0457 \u0454 \u043A\u0430\u0440\u043A\u0430\u0441."@uk . . "En math\u00E9matiques et en physique, une surface minimale est une surface minimisant son aire tout en r\u00E9alisant une contrainte : un ensemble de points, ou le bord de la surface, est d'avance d\u00E9termin\u00E9. Si un cerceau est retir\u00E9 d'une bassine d'eau savonneuse, un disque de liquide reste fix\u00E9. Un souffle dessus d\u00E9forme l\u00E9g\u00E8rement le disque en une calotte sph\u00E9rique. Si l'\u00E9tude fait appel \u00E0 la m\u00E9canique des fluides, le traitement math\u00E9matique utilise le langage des surfaces minimales. Usuellement, une d\u00E9finition oblige de pr\u00E9ciser le contexte : quel est l'espace ambiant ? quel sens donner \u00E0 la notion d'aire ? \u00E0 la minimisation ? En g\u00E9om\u00E9trie diff\u00E9rentielle \u00E9l\u00E9mentaire, une surface minimale est une surface ferm\u00E9e et born\u00E9e d'un espace affine r\u00E9el euclidien de dimension 3 \u00E0 bord r\u00E9gulier minimisant l'aire totale \u00E0 contour fix\u00E9. La d\u00E9finition se g\u00E9n\u00E9ralise en g\u00E9om\u00E9trie diff\u00E9rentielle : une surface minimale dans une vari\u00E9t\u00E9 riemannienne donn\u00E9e est le plongement d'une vari\u00E9t\u00E9 compacte \u00E0 bord minimisant le volume riemannien \u00E0 bord fix\u00E9. Intuitivement, une surface minimale est une surface dont l'aire ou le volume ne peut qu'augmenter lorsqu'on lui applique une perturbation suffisamment petite. Les surfaces minimales forment donc l'analogue en dimension sup\u00E9rieure des g\u00E9od\u00E9siques (courbes dont la longueur ne peut qu'augmenter sous l'effet d'une perturbation assez petite et assez localis\u00E9e). D\u00E9crire les surfaces minimales n'est pas un probl\u00E8me math\u00E9matique simple. La premi\u00E8re approche est d'effectuer un calcul des variations sur l'aire ou le volume riemannien vu comme une fonctionnelle d'\u00E9nergie. Cette m\u00E9thode permet d'en d\u00E9crire les points critiques : il s'agit des surfaces dont la courbure moyenne est nulle, ou des sous-vari\u00E9t\u00E9s dont la courbure moyenne est nulle. Cette propri\u00E9t\u00E9 est parfois pr\u00E9sent\u00E9e comme une d\u00E9finition des surfaces minimales. Les deux d\u00E9finitions (point critique ou v\u00E9ritable minimum) ne sont pas \u00E9quivalentes. Certaines surfaces minimales peuvent \u00EAtre mat\u00E9rialis\u00E9es par des bulles de savon s'appuyant sur un contour, car le film de savon tend \u00E0 minimiser son \u00E9nergie, donc sa superficie. Elles sont utilis\u00E9es justement en ing\u00E9nierie pour minimiser la surface de contact et donc par exemple les pertes d'\u00E9nergie. Une question connexe est celle de la surface minimale pour un p\u00E9rim\u00E8tre donn\u00E9. Elle est trait\u00E9e dans l'article \u00AB Isop\u00E9rim\u00E9trie \u00BB."@fr . . . . "20938"^^ . . . . . .