. "Petersen"@en . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0413\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0456\u043D\u043E\u0432\u0430 \u0441\u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0443\u0454, \u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u0437\u0432'\u044F\u0437\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0443 \u043D\u0430\u0441\u0442\u0443\u043F\u043D\u0456 \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0435\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u0456: \n* \u2014 \u0454 \u043F\u043E\u0432\u043D\u0438\u043C \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C; \n* \u0414\u043B\u044F \u0434\u0435\u044F\u043A\u043E\u0457 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0435\u043A\u0441\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0446\u0456\u0439\u043D\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043E\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043E \u0434\u043B\u044F \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u0443 (\u0434\u0435 \u2014 \u0434\u043E\u0442\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0456\u0440 \u0434\u043E \u0432 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456 ); \u041F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0438 \u0437 \u0442\u0430\u043A\u0438\u043C\u0438 \u0432\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438\u0432\u043E\u0441\u0442\u044F\u043C\u0438 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u0433\u0435\u043E\u0434\u0435\u0437\u0438\u0447\u043D\u043E \u043F\u043E\u0432\u043D\u0438\u043C\u0438; \n* \u041A\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430, \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0435\u043D\u0430 \u0456 \u0437\u0430\u043C\u043A\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0432 , \u0454 \u043A\u043E\u043C\u043F\u0430\u043A\u0442\u043D\u043E\u044E."@uk . "Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geod\u00E4tischen Vollst\u00E4ndigkeit und der Vollst\u00E4ndigkeit im Sinne von metrischen R\u00E4umen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft hei\u00DFt dann vollst\u00E4ndige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Sch\u00FCler Willi Rinow."@de . . "681265"^^ . . "O'Neill"@en . "Section 2.5.3"@en . "Burago"@en . "Teorema di Hopf-Rinow"@it . "Section 5.7.1"@en . "1963"^^ . "Hulin"@en . . "Lang"@en . "Gallot"@en . . "Lafontaine"@en . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0425\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0438\u043D\u043E\u0432\u0430 \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438, \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u0425\u0430\u0439\u043D\u0446\u0435\u043C \u0425\u043E\u043F\u0444\u043E\u043C \u0438 \u0435\u0433\u043E \u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u043A\u043E\u043C \u0412\u0438\u043B\u043B\u0438 \u0420\u0438\u043D\u043E\u0432\u044B\u043C. \u041E\u043F\u0443\u0431\u043B\u0438\u043A\u043E\u0432\u0430\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043D\u0438\u043C \u0432 1931 \u0433\u043E\u0434\u0443."@ru . "In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow \u00E8 un teorema relativo all\u2019equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una variet\u00E0 riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow."@it . "Th\u00E9or\u00E8me de Hopf-Rinow"@fr . . "Voitsekhovskii"@en . "Gromov"@en . . "226"^^ . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0425\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0438\u043D\u043E\u0432\u0430"@ru . "Der Satz von Hopf-Rinow ist eine zentrale Aussage aus der riemannschen Geometrie. Er besagt, dass bei riemannschen Mannigfaltigkeiten die Begriffe der geod\u00E4tischen Vollst\u00E4ndigkeit und der Vollst\u00E4ndigkeit im Sinne von metrischen R\u00E4umen zusammenfallen. Eine riemannsche Mannigfaltigkeit mit dieser Eigenschaft hei\u00DFt dann vollst\u00E4ndige riemannsche Mannigfaltigkeit. Benannt ist der Satz nach den Mathematikern Heinz Hopf und seinem Sch\u00FCler Willi Rinow."@de . "2016"^^ . . . "Haefliger"@en . . . "O'Neill"@en . "Section 2.D.4"@en . "Proposition I.3.7"@en . . . "Jost"@en . . "Hopf\u2013Rinow theorem"@en . . . . . . "Bridson"@en . . "Section 2.C.5"@en . "Lang"@en . "do Carmo"@en . . . "Theorem 5.21 and Proposition 5.22"@en . . . "Hopf\u2013Rinow theorem is a set of statements about the geodesic completeness of Riemannian manifolds. It is named after Heinz Hopf and his student Willi Rinow, who published it in 1931. Stefan Cohn-Vossen extended part of the Hopf\u2013Rinow theorem to the context of certain types of metric spaces."@en . . . . "2001"^^ . . . . . "In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de van riemann-vari\u00EBteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student ."@nl . "2004"^^ . . "Soit (M, g) une vari\u00E9t\u00E9 riemannienne connexe (sans bord).Le th\u00E9or\u00E8me de Hopf-Rinow dit que les propri\u00E9t\u00E9s suivantes sont \u00E9quivalentes : \n* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est d\u00E9finie sur TmM. \n* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est d\u00E9finie sur TmM. \n* La vari\u00E9t\u00E9 (M, g) est g\u00E9od\u00E9siquement compl\u00E8te, c'est-\u00E0-dire que les g\u00E9od\u00E9siques sont d\u00E9finies sur \u211D. \n* L'espace M est complet pour la distance riemannienne. \n* Les parties ferm\u00E9es et born\u00E9es sont compactes. En outre, dans cette situation, deux points quelconques a et b de M peuvent \u00EAtre reli\u00E9s par une g\u00E9od\u00E9sique de longueur d(a, b). En particulier, l'application exponentielle (quelle que soit son origine) est surjective. Le th\u00E9or\u00E8me porte les noms de Heinz Hopf et de son \u00E9tudiant (de) (1907-1979). Il admet une version plus g\u00E9n\u00E9rale dans le cadre des espaces de longueur."@fr . . "193"^^ . "Section 1.7"@en . . . . . . . . "1983"^^ . . "1983"^^ . "Lafontaine"@en . . "In geometria differenziale, il teorema di Hopf-Rinow \u00E8 un teorema relativo all\u2019equivalenza fra alcune condizioni di completezza in una variet\u00E0 riemanniana. Il nome si riferisce al matematico Heinz Hopf ed al suo studente Willi Rinow."@it . "Hulin"@en . "Ivanov"@en . "Chapter 7"@en . . "Nomizu"@en . . "1992"^^ . . "M. I."@en . "1999"^^ . "\u6570\u5B66\u4E2D\uFF0C\u970D\u666E\u592B-\u91CC\u8BFA\u5B9A\u7406\uFF08Hopf\u2013Rinow theorem\uFF09\u662F\u5173\u4E8E\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u7684\u6D4B\u5730\u5B8C\u5907\u6027\u7684\u4E00\u5957\u7B49\u4EF7\u547D\u9898\uFF0C\u4EE5\u6D77\u56E0\u8328\u00B7\u970D\u666E\u592B\u548C\u4ED6\u7684\u5B66\u751F\u547D\u540D\u3002\u5B9A\u7406\u5982\u4E0B\uFF1A \u8BBEM\u662F\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\uFF0C\u5219\u4E0B\u5217\u547D\u9898\u7B49\u4EF7\uFF1A 1. \n* \u7684\u6709\u754C\u95ED\u5B50\u96C6\u662F\u7D27\u7684\u3002 2. \n* \u662F\u5B8C\u5907\u5EA6\u91CF\u7A7A\u95F4\u3002 3. \n* \u662F\u6D4B\u5730\u5B8C\u5907\uFF1A\u5BF9\u4E2D\u4EFB\u610F\u70B9\uFF0C\u6307\u6578\u6620\u5C04\u53EF\u5B9A\u4E49\u5728\u6574\u4E2A\u5207\u7A7A\u95F4\u3002 \u800C\u4E14\uFF0C\u4EE5\u4E0A\u4EFB\u4E00\u6761\u5747\u53EF\u5BFC\u51FA\u5BF9\u4E8E\u4E2D\u4EFB\u4F55\u4E24\u70B9\u548C\uFF0C\u5B58\u5728\u8FDE\u8D77\u4E24\u70B9\u7684\u6D4B\u5730\u7EBF\u4F7F\u957F\u5EA6\u6700\u77ED\uFF08\u6D4B\u5730\u7EBF\u4E00\u822C\u662F\u6781\u503C\uFF0C\u4E0D\u4E00\u5B9A\u662F\u6700\u5C0F\u503C\uFF09\u3002"@zh . . "Satz von Hopf-Rinow"@de . "Stelling van Hopf-Rinow"@nl . "Section 1.B"@en . "1999"^^ . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0413\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0456\u043D\u043E\u0432\u0430"@uk . . "Kobayashi"@en . . . . "2017"^^ . . "Hopf\u2013Rinow theorem is a set of statements about the geodesic completeness of Riemannian manifolds. It is named after Heinz Hopf and his student Willi Rinow, who published it in 1931. Stefan Cohn-Vossen extended part of the Hopf\u2013Rinow theorem to the context of certain types of metric spaces."@en . "Section IV.4"@en . . . . "Gallot"@en . "8113"^^ . "\u6570\u5B66\u4E2D\uFF0C\u970D\u666E\u592B-\u91CC\u8BFA\u5B9A\u7406\uFF08Hopf\u2013Rinow theorem\uFF09\u662F\u5173\u4E8E\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\u7684\u6D4B\u5730\u5B8C\u5907\u6027\u7684\u4E00\u5957\u7B49\u4EF7\u547D\u9898\uFF0C\u4EE5\u6D77\u56E0\u8328\u00B7\u970D\u666E\u592B\u548C\u4ED6\u7684\u5B66\u751F\u547D\u540D\u3002\u5B9A\u7406\u5982\u4E0B\uFF1A \u8BBEM\u662F\u9ECE\u66FC\u6D41\u5F62\uFF0C\u5219\u4E0B\u5217\u547D\u9898\u7B49\u4EF7\uFF1A 1. \n* \u7684\u6709\u754C\u95ED\u5B50\u96C6\u662F\u7D27\u7684\u3002 2. \n* \u662F\u5B8C\u5907\u5EA6\u91CF\u7A7A\u95F4\u3002 3. \n* \u662F\u6D4B\u5730\u5B8C\u5907\uFF1A\u5BF9\u4E2D\u4EFB\u610F\u70B9\uFF0C\u6307\u6578\u6620\u5C04\u53EF\u5B9A\u4E49\u5728\u6574\u4E2A\u5207\u7A7A\u95F4\u3002 \u800C\u4E14\uFF0C\u4EE5\u4E0A\u4EFB\u4E00\u6761\u5747\u53EF\u5BFC\u51FA\u5BF9\u4E8E\u4E2D\u4EFB\u4F55\u4E24\u70B9\u548C\uFF0C\u5B58\u5728\u8FDE\u8D77\u4E24\u70B9\u7684\u6D4B\u5730\u7EBF\u4F7F\u957F\u5EA6\u6700\u77ED\uFF08\u6D4B\u5730\u7EBF\u4E00\u822C\u662F\u6781\u503C\uFF0C\u4E0D\u4E00\u5B9A\u662F\u6700\u5C0F\u503C\uFF09\u3002"@zh . "2004"^^ . "In de Riemann-meetkunde, een deelgebied van de wiskunde, staat de stelling van Hopf-Rinow voor een verzameling stellingen over de van riemann-vari\u00EBteiten. De stelling is vernoemd naar de Duitse wiskundige Heinz Hopf en diens student ."@nl . . . . . . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0425\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0438\u043D\u043E\u0432\u0430 \u2014 \u0442\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0434\u0438\u0444\u0444\u0435\u0440\u0435\u043D\u0446\u0438\u0430\u043B\u044C\u043D\u043E\u0439 \u0433\u0435\u043E\u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0438, \u0434\u043E\u043A\u0430\u0437\u0430\u043D\u043D\u0430\u044F \u0425\u0430\u0439\u043D\u0446\u0435\u043C \u0425\u043E\u043F\u0444\u043E\u043C \u0438 \u0435\u0433\u043E \u0443\u0447\u0435\u043D\u0438\u043A\u043E\u043C \u0412\u0438\u043B\u043B\u0438 \u0420\u0438\u043D\u043E\u0432\u044B\u043C. \u041E\u043F\u0443\u0431\u043B\u0438\u043A\u043E\u0432\u0430\u043D\u0430 \u043F\u043E\u0441\u043B\u0435\u0434\u043D\u0438\u043C \u0432 1931 \u0433\u043E\u0434\u0443."@ru . "Section VIII.6"@en . "Soit (M, g) une vari\u00E9t\u00E9 riemannienne connexe (sans bord).Le th\u00E9or\u00E8me de Hopf-Rinow dit que les propri\u00E9t\u00E9s suivantes sont \u00E9quivalentes : \n* Il existe un point m dans M pour lequel l'application exponentielle d'origine m est d\u00E9finie sur TmM. \n* Pour tout point m dans M, l'application exponentielle d'origine m est d\u00E9finie sur TmM. \n* La vari\u00E9t\u00E9 (M, g) est g\u00E9od\u00E9siquement compl\u00E8te, c'est-\u00E0-dire que les g\u00E9od\u00E9siques sont d\u00E9finies sur \u211D. \n* L'espace M est complet pour la distance riemannienne. \n* Les parties ferm\u00E9es et born\u00E9es sont compactes."@fr . "\u0422\u0435\u043E\u0440\u0435\u043C\u0430 \u0413\u043E\u043F\u0444\u0430 \u2014 \u0420\u0456\u043D\u043E\u0432\u0430 \u0441\u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0443\u0454, \u0449\u043E \u0434\u043B\u044F \u043B\u0456\u043D\u0456\u0439\u043D\u043E \u0437\u0432'\u044F\u0437\u043D\u043E\u0433\u043E \u0440\u0456\u043C\u0430\u043D\u043E\u0432\u043E\u0433\u043E \u043C\u043D\u043E\u0433\u043E\u0432\u0438\u0434\u0443 \u043D\u0430\u0441\u0442\u0443\u043F\u043D\u0456 \u0442\u0432\u0435\u0440\u0434\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0435\u043A\u0432\u0456\u0432\u0430\u043B\u0435\u043D\u0442\u043D\u0456: \n* \u2014 \u0454 \u043F\u043E\u0432\u043D\u0438\u043C \u043C\u0435\u0442\u0440\u0438\u0447\u043D\u0438\u043C \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u043E\u043C; \n* \u0414\u043B\u044F \u0434\u0435\u044F\u043A\u043E\u0457 \u0442\u043E\u0447\u043A\u0438 \u0435\u043A\u0441\u043F\u043E\u043D\u0435\u043D\u0446\u0456\u0439\u043D\u0435 \u0432\u0456\u0434\u043E\u0431\u0440\u0430\u0436\u0435\u043D\u043D\u044F \u0432\u0438\u0437\u043D\u0430\u0447\u0435\u043D\u043E \u0434\u043B\u044F \u0432\u0441\u0456\u0445 \u0432\u0435\u043A\u0442\u043E\u0440\u0456\u0432 \u0443 (\u0434\u0435 \u2014 \u0434\u043E\u0442\u0438\u0447\u043D\u0438\u0439 \u043F\u0440\u043E\u0441\u0442\u0456\u0440 \u0434\u043E \u0432 \u0442\u043E\u0447\u0446\u0456 ); \u041F\u0440\u043E\u0441\u0442\u043E\u0440\u0438 \u0437 \u0442\u0430\u043A\u0438\u043C\u0438 \u0432\u043B\u0430\u0441\u0442\u0438\u0432\u043E\u0441\u0442\u044F\u043C\u0438 \u043D\u0430\u0437\u0438\u0432\u0430\u044E\u0442\u044C\u0441\u044F \u0433\u0435\u043E\u0434\u0435\u0437\u0438\u0447\u043D\u043E \u043F\u043E\u0432\u043D\u0438\u043C\u0438; \n* \u041A\u043E\u0436\u043D\u0430 \u043C\u043D\u043E\u0436\u0438\u043D\u0430, \u043E\u0431\u043C\u0435\u0436\u0435\u043D\u0430 \u0456 \u0437\u0430\u043C\u043A\u043D\u0443\u0442\u0430 \u0432 , \u0454 \u043A\u043E\u043C\u043F\u0430\u043A\u0442\u043D\u043E\u044E."@uk . . "H/h048010"@en . . . . . . . . "\u970D\u666E\u592B-\u91CC\u8BFA\u5B9A\u7406"@zh . . . "1115588717"^^ . . . "1999"^^ . . . "Hopf\u2013Rinow theorem"@en . .