. . . "In mathematics, a homoclinic orbit is a trajectory of a flow of a dynamical system which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. Consider the continuous dynamical system described by the ODE Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if If the phase space has three or more dimensions, then it is important to consider the topology of the unstable manifold of the saddle point. The figures show two cases. First, when the stable manifold is topologically a cylinder, and secondly, when the unstable manifold is topologically a M\u00F6bius strip; in this case the homoclinic orbit is called twisted."@en . . . . . . . . . . . . . . . . . . "Ein homokliner Orbit ist in der Mathematik dynamischer Systeme (Autonome Differentialgleichungssysteme) eine Bahnkurve (Orbit), die von einem hyperbolischen Fixpunkt (Sattelpunkt) ausgehend wieder zu diesem zur\u00FCck f\u00FChrt. W\u00E4hrend homokline Orbits von einem Fixpunkt zu diesem zur\u00FCckf\u00FChren, verlaufen heterokline Orbits zwischen zwei verschiedenen Fixpunkten, die auch Sattelpunkte sein k\u00F6nnen."@de . "En matematiko, unuekvilibra orbito estas trajektorio de de kiu kunigas selan ekvilibran punkton al si. Unuekvilibra orbito ku\u015Das en la intersekco de la kaj la de ekvilibro. Unuekvilibra orbito kaj unuekvilibra punkto estas difinitaj simile por diskreto-tempa dinamika sistemo, kio estas por ripetita funkcio, kiel la intersekco de la kaj de iu fiksa punkto a\u016D de la sistemo. Konsideru la kontinuan dinamikan sistemon priskribitan per la ordinara diferenciala ekvacio Supozu ke estas ekvilibro je x=xe, tiam solva\u0135o \u03A6(t) estas unuekvilibra orbito se se Se la faza spaco havas tri a\u016D pli multajn dimensiojn, do eblas malsamaj topologioj de la malstabila sterna\u0135o de la sela punkto. La figuro montras du okazojn. La unua, kie la malstabila sterna\u0135o estas topologie cilindro, kaj la dua, kie la malstabila sterna\u0135o estas topologie rubando de M\u00F6bius; en \u0109i tiu okazo la unuekvilibra orbito estas nomata kiel tordita. Ni anka\u016D havi la komprena\u0135o de unuekvilibra orbito kiam konsiderantaj diskretaj dinamikaj sistemoj. En tia okazo, se f : M \u2192 M estas memdifeomorfio de sterna\u0135o M, x estas unuekvilibra punkto se \u011Di havas la samajn pasintecon kaj estonton, kio estas se ekzistas fiksita (a\u016D perioda) punkto p tia ke"@eo . . "In matematica, una orbita omoclina \u00E8 una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Pi\u00F9 precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della variet\u00E0 stabile e della variet\u00E0 instabile di un punto di equilibrio. Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema. Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dall'equazione differenziale ordinaria:"@it . . . "5019"^^ . "En matematiko, unuekvilibra orbito estas trajektorio de de kiu kunigas selan ekvilibran punkton al si. Unuekvilibra orbito ku\u015Das en la intersekco de la kaj la de ekvilibro. Unuekvilibra orbito kaj unuekvilibra punkto estas difinitaj simile por diskreto-tempa dinamika sistemo, kio estas por ripetita funkcio, kiel la intersekco de la kaj de iu fiksa punkto a\u016D de la sistemo. Konsideru la kontinuan dinamikan sistemon priskribitan per la ordinara diferenciala ekvacio Supozu ke estas ekvilibro je x=xe, tiam solva\u0135o \u03A6(t) estas unuekvilibra orbito se se"@eo . . . "Homokliner Orbit"@de . . . . "\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u8ECC\u9053"@ja . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u8ECC\u9053(homoclinic orbit)\u3068\u306F\u3001\u529B\u5B66\u7CFB\u306B\u304A\u3051\u308B\u6D41\u308C\u306E\u8ECC\u8DE1\u3067\u3001\u978D\u70B9\uFF08saddle point\uFF09\u304B\u3089\u51FA\u3066\u3001\u540C\u3058\u978D\u70B9\u306B\u623B\u3063\u3066\u304F\u308B\u8ECC\u9053\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3088\u308A\u53B3\u5BC6\u306B\u3001\u978D\u70B9\u3067\u306E\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u3068\u4E0D\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u7A4D\u96C6\u5408\u3068\u3082\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u308B\u3002\u53CD\u5FA9\u5199\u50CF\u7CFB\uFF08\uFF09\u3067\u3082\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u8ECC\u9053\u3084\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u30DD\u30A4\u30F3\u30C8\u306F\u540C\u69D8\u306B\u3001\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u3068\u4E0D\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u4E0D\u52D5\u70B9\u3068\u5468\u671F\u70B9\u3092\u7528\u3044\u3066\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002"@ja . . . . . . . "963276176"^^ . "In mathematics, a homoclinic orbit is a trajectory of a flow of a dynamical system which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. Consider the continuous dynamical system described by the ODE Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if"@en . "In matematica, una orbita omoclina \u00E8 una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Pi\u00F9 precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della variet\u00E0 stabile e della variet\u00E0 instabile di un punto di equilibrio. Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema. Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dall'equazione differenziale ordinaria: Supponendo che ci sia un punto di equilibrio a , allora una soluzione \u00E8 una orbita omoclina se: Se lo spazio delle fasi ha tre o pi\u00F9 dimensioni, allora \u00E8 importante considerare la topologia della variet\u00E0 instabile del punto di sella. Le figure mostrano questi due casi. La prima, quando la variet\u00E0 instabile \u00E8 topologicamente un cilindro e l'orbita omoclina \u00E8 detta orientata, e la seconda, dove la variet\u00E0 instabile \u00E8 topologicamente un Nastro di M\u00F6bius, in questo caso l'orbita omoclina \u00E8 chiamata twistata (twisted). Si ha anche la nozione di orbita omoclina quando si considera in sistema dinamico discreto. In questo caso, se \u00E8 un diffeomorfismo della variet\u00E0 , si dice che \u00E8 un punto omoclinico se ha stesso passato e futuro - pi\u00F9 precisamente se esiste un punto fisso (o periodico) tale che:"@it . "Ein homokliner Orbit ist in der Mathematik dynamischer Systeme (Autonome Differentialgleichungssysteme) eine Bahnkurve (Orbit), die von einem hyperbolischen Fixpunkt (Sattelpunkt) ausgehend wieder zu diesem zur\u00FCck f\u00FChrt. W\u00E4hrend homokline Orbits von einem Fixpunkt zu diesem zur\u00FCckf\u00FChren, verlaufen heterokline Orbits zwischen zwei verschiedenen Fixpunkten, die auch Sattelpunkte sein k\u00F6nnen. Bei einem hyperbolischen Fixpunkt gibt es zugeh\u00F6rige stabile Mannigfaltigkeiten, deren Orbits f\u00FCr auf diesen zulaufen, und instabile Mannigfaltigkeiten, in denen die Punkte eines Orbits sich f\u00FCr dem Fixpunkt n\u00E4hern. Die Dimension dieser Mannigfaltigkeiten richtet sich nach der Zahl positiver und negativer Realtteile von Eigenwerten bei Linearisierung der Differentialgleichung um den Fixpunkt. In zwei Dimensionen hat man eine Kurve als Orbit, die vom hyperbolischen Fixpunkt zu diesem verl\u00E4uft, in mehr Dimensionen betrachtet man auch Familien von L\u00F6sungskurven und der Fixpunkt kann z. B. auch eine geschlossene Bahn sein. Mit dem Poincar\u00E9-Schnitt (dem Schnitt der Orbits mit einer Fl\u00E4che senkrecht zum Phasenraumfluss) kann man das auf eine zweidimensionale Betrachtung reduzieren: der periodische Orbit (Periode ) ist im Poincar\u00E9-Schnitt ein Fixpunkt, die sich asymptotisch dem periodischen Orbit ann\u00E4hernden Orbits in seiner N\u00E4he n\u00E4hern sich im Poincare-Schnitt dem Fixpunkt bei der stabilen Mannigfaltigkeit bei Betrachtung des Flusses (der Iteration der Poincar\u00E9-Abbildung im Abstand ) f\u00FCr und bei der instabilen Mannigfaltigkeit f\u00FCr . Formal kann ein homokliner Orbit so definiert werden. Sei f ein Diffeomorphismus einer kompakten, nicht berandeten Mannigfaltigkeit M und p ein Fixpunkt von f. Der Orbit eines Punktes ist homoklin, falls . N\u00E4hert man sich f\u00FCr und zwei verschiedenen Fixpunkten, spricht man von heteroklinem Orbit. Betrachtet man zwei Dimensionen und sei p ein hyperbolischer Fixpunkt, dann liegen die sich von p unter Iteration von f entfernenden Punkte auf einer invarianten Kurve (instabile Mannigfaltigkeit) und die sich p n\u00E4hernden Punkte auf (stabile Mannigfaltigkeit) und homokline Punkte q liegen auf beiden Kurven. Der homokline Punkt q hei\u00DFt transversal, falls sich transversal in q schneiden. Mit q ist auch homoklin. Henri Poincar\u00E9 fand 1888, dass das dynamische System ein sehr komplexes, chaotisches Verhalten in der N\u00E4he des Fixpunktes zeigen kann, wenn sich auf dem homoklinen Orbit bei St\u00F6rungen instabile und stabile Mannigfaltigkeit transversal schneiden (das hei\u00DFt der stabile und instabile Orbit trifft sich dort nicht tangential). Zuvor hatte er angenommen, die homoklinen Orbits aus instabiler und stabiler Mannigfaltigkeit w\u00FCrden eine zusammenh\u00E4ngende Mannigfaltigkeit bilden, womit er eine Integrationsinvariante gefunden h\u00E4tte und die Stabilit\u00E4t des vereinfachten Modells des Dreik\u00F6rperproblems bewiesen h\u00E4tte, das er untersuchte. Auf die Nachfrage des Gutachters der Preisarbeit, die er in Schweden eingereicht hatte, fand er aber, dass er die M\u00F6glichkeit eines transversalen Schneidens \u00FCbersehen hatte. Das Bild war nun v\u00F6llig anders: die instabile Mannigfaltigkeit schnitt die stabile in der N\u00E4he des Fixpunkts unendlich oft und nahe dem Schnittpunkt f\u00FChrte das zu sehr chaotischem Verhalten. Entsprechendes galt auch f\u00FCr den anderen Ast des homoklinen Orbits, wo die stabile Mannigfaltigkeit die instabile unendlich oft schnitt. Poincar\u00E9 nannte das ein homoklines Netzwerk (englisch: homoclinic tangle, in der Physik-Literatur stochastische Schichten, stochastic layers) und beschrieb das \u00FCber den Poincar\u00E9-Schnitt nahe dem Fixpunkt. Der transversale Schnittpunkt der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit hei\u00DFt transversaler homokliner Punkt (nach dem Satz von Kupka und Smale ist das der typische Fall). Da stabile und instabile Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Punkts invariant unter Vorw\u00E4rts- und R\u00FCckw\u00E4rtsiteration mit einer Poincar\u00E9-Abbildung sind, gibt es, wenn es einen homoklinen Punkt gibt, unendlich viele. In der Vorw\u00E4rts- und R\u00FCckw\u00E4rtsiteration liegt man sowohl auf der stabilen als auch auf der instabilen Mannigfaltigkeit und das unendlich oft. Andererseits kann die instabile Mannigfaltigkeit sich nicht selbst schneiden (und analog die stabile) wegen der Eindeutigkeit der L\u00F6sung der Differentialgleichung bei gegebener Anfangsbedingung, was eine sehr komplexe Dynamik ergibt. Das komplexe Verhalten des Systems im homoklinen Netzwerk nach Poincar\u00E9 wird auch als Folge des -Lemmas von Jacob Palis deutlich: Seien die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit zum hyperbolischen Fixpunkt p (wobei die Dimension von u sei) und sei D eine u-dimensionale Scheibe transversal zu . Dann konvergieren die Iterierten gegen . Betrachtet man zwei Dimensionen, so wird danach ein Umgebungsintervall D des transversalen homoklinen Punktes q, das auf der instabilen Mannigfaltigkeit liegt, durch Iteration schlie\u00DFlich in einer beliebig kleinen Umgebung eines Intervalls der instabilen Mannigfaltigkeit um den Fixpunkt p liegen. Stephen Smale fand Anfang der 1960er Jahre eine einfache geometrische Struktur, die Hufeisen-Abbildung, die das chaotische Verhalten im homoklinen Netz erkl\u00E4rt. Das ist Gegenstand des Satzes von Birkhoff und Smale, der besagt, dass solch ein Hufeisen in einer beliebigen Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts p eines Diffeomorphismus f besteht f\u00FCr eine Iteration von f, falls ein transversaler homokliner Punkt q existiert. Bei der Hufeisenabbildung wird ein Quadrat auf sich abgebildet, indem es gedehnt und wie ein Hufeisen zur\u00FCckgebogen wird (anschaulich entspricht das der abwechselnden Expansion und Stauchung bei abwechselnder Bewegung auf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit). Birkhoff best\u00E4tigte um 1935 die Vermutungen von Poincar\u00E9, indem er zeigte (in zwei Dimensionen), dass es nahe homoklinen Orbits ein sehr komplexes Netz periodischer Punkte: in einer beliebig kleinen Umgebung eines transversalen homoklinen Punkt gibt es periodische Punkte. In den 1940er Jahren untersuchten Mary Cartwright und John Edensor Littlewood (und in den USA Norman Levinson, dessen Arbeit die Inspiration f\u00FCr die Arbeit von Smale zum Hufeisen war) homokline Orbits bei der Van der Pol Gleichung, die erzwungene Schwingungen in Vakuumr\u00F6hren beschreibt. Typisch war beim van der Pol Oszillator das Auftreten eines periodischen Orbits mit viel h\u00F6herer Frequenz als die der Anregungsfrequenz und einem abwechselnd stabilen periodischen (mit einer Frequenz) und bistabilen chaotischen Verhalten (mit zwei Frequenzen) je nach der Gr\u00F6\u00DFe der Anregungsamplitude (genauer durch Mark Levi 1981 erkl\u00E4rt). Der Begriff homokliner und heterokliner Punkt wurde von Poincar\u00E9 im dritten Band seiner M\u00E9thodes Nouvelles de la M\u00E9canique Celeste (1899, Kapitel 33) eingef\u00FChrt (urspr\u00FCnglich nannte er sie doppelt asymptotische L\u00F6sungen)."@de . . . . . "3948734"^^ . . . . "Unuekvilibra orbito"@eo . . . . . . . . "Orbita omoclina"@it . . . "Homoclinic orbit"@en . . . "\u6570\u5B66\u306B\u304A\u3044\u3066\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u8ECC\u9053(homoclinic orbit)\u3068\u306F\u3001\u529B\u5B66\u7CFB\u306B\u304A\u3051\u308B\u6D41\u308C\u306E\u8ECC\u8DE1\u3067\u3001\u978D\u70B9\uFF08saddle point\uFF09\u304B\u3089\u51FA\u3066\u3001\u540C\u3058\u978D\u70B9\u306B\u623B\u3063\u3066\u304F\u308B\u8ECC\u9053\u3067\u3042\u308B\u3002 \u3088\u308A\u53B3\u5BC6\u306B\u3001\u978D\u70B9\u3067\u306E\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u3068\u4E0D\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u7A4D\u96C6\u5408\u3068\u3082\u5B9A\u7FA9\u3067\u304D\u308B\u3002\u53CD\u5FA9\u5199\u50CF\u7CFB\uFF08\uFF09\u3067\u3082\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u8ECC\u9053\u3084\u3001\u30DB\u30E2\u30AF\u30EA\u30CB\u30C3\u30AF\u30DD\u30A4\u30F3\u30C8\u306F\u540C\u69D8\u306B\u3001\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u3068\u4E0D\u5B89\u5B9A\u591A\u69D8\u4F53\u306E\u4E0D\u52D5\u70B9\u3068\u5468\u671F\u70B9\u3092\u7528\u3044\u3066\u5B9A\u7FA9\u3059\u308B\u3053\u3068\u304C\u3067\u304D\u308B\u3002"@ja . . . . .