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- In der Mathematik sind der Limes superior und der Limes inferior einer Mengenfolge Begriffe aus der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Begriffe des Limes superior und Limes inferior von Zahlenfolgen und Funktionenfolgen für Mengenfolgen verallgemeinern. Sie dienen beispielsweise in der Stochastik zur Modellierung von Ereignissen, die unendlich oft auftreten oder zur Definition von konvergenten Mengenfolgen. Der Begriff geht auf Émile Borel zurück. (de)
- En matematiko, la limeso de vico de aroj A1, A2, .... Ĝi estas aro kies eroj estas difinitaj per la vico per iu el la du ekvivalentaj manieroj:
* Uzante indikilan variablon, estu xi egala al 1 se x estas en Ai kaj 0 alie. Se la limeso kiam i iras al malfinio de xi ekzistas por ĉiuj x, oni difinu
* Uzante kunaĵon kaj komunaĵon, oni difinu kaj Se ĉi tiuj du aroj estas egalaj, tiam ili estas la aro-teoria limeso de la vico. (eo)
- En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. (es)
- In mathematics, the limit of a sequence of sets (subsets of a common set ) is a set whose elements are determined by the sequence in either of two equivalent ways: (1) by upper and lower bounds on the sequence that converge monotonically to the same set (analogous to convergence of real-valued sequences) and (2) by convergence of a sequence of indicator functions which are themselves real-valued. As is the case with sequences of other objects, convergence is not necessary or even usual. More generally, again analogous to real-valued sequences, the less restrictive limit infimum and limit supremum of a set sequence always exist and can be used to determine convergence: the limit exists if the limit infimum and limit supremum are identical. (See below). Such set limits are essential in measure theory and probability. It is a common misconception that the limits infimum and supremum described here involve sets of accumulation points, that is, sets of where each is in some This is only true if convergence is determined by the discrete metric (that is, if there is such that for all ). This article is restricted to that situation as it is the only one relevant for measure theory and probability. See the examples below. (On the other hand, there are more general topological notions of set convergence that do involve accumulation points under different metrics or topologies.) (en)
- In matematica, il limite di una successione di insiemi, , è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi e che sono esclusi al più da un numero finito di essi. (it)
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- If are independent events and then (en)
- If then (en)
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- First Borel–Cantelli lemma (en)
- Second Borel–Cantelli lemma (en)
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- In der Mathematik sind der Limes superior und der Limes inferior einer Mengenfolge Begriffe aus der Maßtheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie, die die Begriffe des Limes superior und Limes inferior von Zahlenfolgen und Funktionenfolgen für Mengenfolgen verallgemeinern. Sie dienen beispielsweise in der Stochastik zur Modellierung von Ereignissen, die unendlich oft auftreten oder zur Definition von konvergenten Mengenfolgen. Der Begriff geht auf Émile Borel zurück. (de)
- En matematiko, la limeso de vico de aroj A1, A2, .... Ĝi estas aro kies eroj estas difinitaj per la vico per iu el la du ekvivalentaj manieroj:
* Uzante indikilan variablon, estu xi egala al 1 se x estas en Ai kaj 0 alie. Se la limeso kiam i iras al malfinio de xi ekzistas por ĉiuj x, oni difinu
* Uzante kunaĵon kaj komunaĵon, oni difinu kaj Se ĉi tiuj du aroj estas egalaj, tiam ili estas la aro-teoria limeso de la vico. (eo)
- En teoría de conjuntos, se define límite de una sucesión de conjuntos al conjunto que incluye elementos de cada uno de los subconjuntos componentes de la sucesión. Es de utilidad en teoría de la medida, especialmente en espacios de probabilidad. (es)
- In matematica, il limite di una successione di insiemi, , è un insieme che contiene gli elementi che sono contenuti in un numero infinito di insiemi e che sono esclusi al più da un numero finito di essi. (it)
- In mathematics, the limit of a sequence of sets (subsets of a common set ) is a set whose elements are determined by the sequence in either of two equivalent ways: (1) by upper and lower bounds on the sequence that converge monotonically to the same set (analogous to convergence of real-valued sequences) and (2) by convergence of a sequence of indicator functions which are themselves real-valued. As is the case with sequences of other objects, convergence is not necessary or even usual. (en)
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- Limes superior und Limes inferior von Mengenfolgen (de)
- Aro-teoria limeso (eo)
- Límite (sucesión de conjuntos) (es)
- Limite insiemistico (it)
- Set-theoretic limit (en)
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