| dbo:abstract
|
- في الرياضيات التطبيقية، وبشكل خاص في تحليل الأنظمة غير الخطية، يقدم مستوى الطور عرضًا مرئيًا لخصائص معينة لبعض أنواع المعادلات التفاضلية؛ وهو عبارة عن مستوى إحداثيات ذو محاور تمثل قيم متغيرات الحالة، على سبيل المثال (س ، ص)، أو (ف ، ع) إلخ (أي زوج من المتغيرات). وهو عبارة عن الحالة ثنائية الأبعاد لـ فضاء الطور ذو الـ n بعد. إن طريقة مستوي الطور تشير إلى أو تعبر عن التحديد الرسومي أو البياني لوجود دورات حدودية في حلول المعادلات التفاضلية. إن حلول المعادلة التفاضلية هي عبارة عن مجموعة من الدوال. وبيانياً، يمكن رسم تلك الحلول في مستوى الطور مثل حقل شعاعي ثنائي الأبعاد. حيث يتم رسم المتجهات التي تمثل مشتقات النقاط فيما يتعلق بالمعامل (ولنقل أنه الزمن t)، أي (dx / dt ، dy / dt)، عند نقاط تمثيلية. مع وجود ما يكفي من هذه الأسهم في مكانها، يمكن تصوّر سلوك النظام فوق مناطق المستوى في التحليل ويمكن تحديد الدورات المحددة بسهولة. بهذه الطريقة، تكون مستويات الطور مفيدة في تصور سلوك الأنظمة الفيزيائية. في هذه النماذج، يمكن لمسارات الطور أن «تدور في» باتجاه الصفر، أو «تتجه إلى الخارج» نحو اللانهاية، أو تصل إلى مواقف مستقرة محايدًا تسمى المراكز حيث يمكن أن يكون المسار الذي يتم تتبعه إما دائريًا، أو إهليلجيًا، أو بيضاويًا، أو نوعًا مختلفًا منه. وهذا مفيد في تحديد ما إذا كانت الديناميكيات مستقرة أم لا. (ar)
- In applied mathematics, in particular the context of nonlinear system analysis, a phase plane is a visual display of certain characteristics of certain kinds of differential equations; a coordinate plane with axes being the values of the two state variables, say (x, y), or (q, p) etc. (any pair of variables). It is a two-dimensional case of the general n-dimensional phase space. The phase plane method refers to graphically determining the existence of limit cycles in the solutions of the differential equation. The solutions to the differential equation are a family of functions. Graphically, this can be plotted in the phase plane like a two-dimensional vector field. Vectors representing the derivatives of the points with respect to a parameter (say time t), that is (dx/dt, dy/dt), at representative points are drawn. With enough of these arrows in place the system behaviour over the regions of plane in analysis can be visualized and limit cycles can be easily identified. The entire field is the phase portrait, a particular path taken along a flow line (i.e. a path always tangent to the vectors) is a phase path. The flows in the vector field indicate the time-evolution of the system the differential equation describes. In this way, phase planes are useful in visualizing the behaviour of physical systems; in particular, of oscillatory systems such as predator-prey models (see Lotka–Volterra equations). In these models the phase paths can "spiral in" towards zero, "spiral out" towards infinity, or reach neutrally stable situations called centres where the path traced out can be either circular, elliptical, or ovoid, or some variant thereof. This is useful in determining if the dynamics are stable or not. Other examples of oscillatory systems are certain chemical reactions with multiple steps, some of which involve dynamic equilibria rather than reactions that go to completion. In such cases one can model the rise and fall of reactant and product concentration (or mass, or amount of substance) with the correct differential equations and a good understanding of chemical kinetics. (en)
- Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach. Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań: z zadanym warunkiem początkowym: Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje: spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji i osobno, można jednak także wyrugować parametr i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych czyli w płaszczyźnie fazowej. Dla równania jednorodnego wektor stały jest rozwiązaniem. Oznacza to, że początek układu współrzędnych w płaszczyźnie fazowej jest zawsze punktem równowagi. W każdym innym punkcie płaszczyzny fazowej można narysować wektor o współrzędnych – jest on styczny do trajektorii układu przez ten punkt przechodzącej. Rysując takie wektory dla wielu punktów płaszczyzny, rozpoczynając z dowolnego jej punktu, można narysować przybliżony przebieg trajektorii układu i zorientować się jaki charakter mają rozwiązania: czy zbiegają się do punktu równowagi, rozchodzą się od niego czy też są zamkniętymi orbitami wokół punktu równowagi. Na przykład rozwiązując układ z zadanym warunkiem początkowym otrzymuje się następujące funkcje: Podnosząc je do kwadratu i sumując otrzymuje się jedynkę trygonometryczną a zatem w płaszczyźnie fazowej otrzymuje się rozwiązanie – trajektorię fazową, która będzie okręgiem o środku w punkcie i promieniu przechodzącą przez punkt początkowy Metoda płaszczyzny fazowej wykorzystywana bywa do określenia charakteru rozwiązań równań nieliniowych z niewielkimi i gładkimi nieliniowościami. Równania takie pojawiają się często w badaniu różnych układów dynamicznych. Można ją też stosować do badania rozwiązań równań jednowymiarowych drugiego rzędu. Równania takie sprowadza się, przez wprowadzenie zmiennej do układu dwóch równań pierwszego rzędu, które można zanalizować powyższą metodą. (pl)
- Na matemática aplicada, em particular no contexto de análise de sistemas não lineares, um plano de fase é uma exibição visual de certas características de alguns tipos de equações diferenciais; um plano de coordenadas com eixos sendo os valores das duas variáveis de estado, digamos que ou . Sejam esses quaisquer pares de variáveis. Este é um caso bidimensional do espaço de fase geral n-dimensional O método do plano de fase refere-se à determinação gráfica da existência de ciclos limites nas soluções da equação diferencial. As soluções para a equação diferencial são uma família de funções. Graficamente, isso pode ser traçado no plano de fase como um campo vetorial bidimensional. Vetores representando as derivadas dos pontos em relação a um parâmetro (digamos, tempo ), ou seja , e são desenhados nos pontos representativos. Com essas setas, o comportamento do sistema nas regiões do plano em análise pode ser visualizado e os ciclos limites podem ser facilmente identificados. Todo o campo é o retrato da fase, um caminho específico percorrido ao longo de uma linha de fluxo (ou seja, um caminho sempre tangente aos vetores) é um caminho de fase. Os fluxos no campo vetorial indicam a evolução no tempo do sistema que a equação diferencial descreve. Dessa maneira, os planos de fase são úteis para visualizar o comportamento dos sistemas físicos ; em particular, de sistemas oscilatórios, como modelos predadores-presas (ver equações de Lotka-Volterra ). Nesses modelos, os caminhos de fase podem "espiralar" em direção ao zero, "espiralar" em direção ao infinito, ou alcançar situações neutras estáveis chamadas centros onde o caminho traçado pode ser circular, elíptico ou ovóide, assim como alguma variante do mesmo. Portanto, isso é útil para determinar se a dinâmica é estável ou não. Outros exemplos de sistemas oscilatórios são certas reações químicas com várias etapas, algumas das quais envolvem equilíbrios dinâmicos em vez de reações que são totalmente concluídas. Nesses casos, pode-se modelar a ascensão e queda da concentração do reagente e do produto (ou massa ou quantidade de substância) com as equações diferenciais corretas e uma boa compreensão da cinética química . (pt)
- 相平面（phase plane）是在应用数学（特別是非線性系統）中，視覺化的展示特定微分方程特徵的方式。相平面是一個由二個狀態變數為座標軸組成的平面，例如說(x, y)或(q, p)等。相平面是多維度相空間在二维空间中的例子。 相平面法（phase plane method）是指用繪圖的方式，來確認微分方程的解中是否存在極限環。 微分方程的解可以形成函数族。用繪圖的方式，可以畫在二維的相平面上，類似二維的向量場。向量會表示某一點對應特定參數（例如時間）的導數，也就是(dx/dt, dy/dt)，會繪製在對應的點上，以箭頭表示。若有夠多的點，就可以分析此區域內的系統行為，若有極限環，也可以識別出來。 整個場即可形成相圖，在流線上的特定路徑（一個永遠和向量相切的路徑）即為相路徑（phase path）。向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化。 相平面可以用來解析物理系统的行為，特別是振盪系統，例如（可參考洛特卡－沃爾泰拉方程）。這些模型中的相路徑可能是向內旋轉，慢慢趨近0，也可能是向外旋轉，慢慢趨近無限大，或是接近中性的平衡位置，此情形稱為centre，路徑可能是圓形、橢圓或是其他形狀。在判斷其系統是否穩定時很有用。 另一個振盪系統的例子是一些多步的化學反應，其中有些會有化學平衡，不是完全反應。此情形下可以將反應物及生成物濃度（或質量）的變化利用微分方程來建模，可以對其化学动力学有更清楚的瞭解。 (zh)
- Фа́зовая пло́скость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь бо́льшую размерность. В физике колебаний на оси абсцисс фазовой плоскости откладываются значения параметра x, например, величина отклонения от равновесия; на оси ординат откладываются значения первой производной x по времени — скорости перемещения, что, очевидно, для движущихся материальных тел связывает ось ординат с импульсом тела. См. Фазовое пространство). Каждая точка фазовой плоскости отражает одно некоторое состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. Изменение состояния системы отображается на фазовой плоскости движением этой точки. След от движения изображающей точки называется фазовой траекторией. Через каждую точку фазовой плоскости проходит лишь одна фазовая траектория, за исключением особых точек. Стрелками на фазовых траекториях показывается перемещение изображающей точки с течением времени. Полная совокупность всевозможных различных фазовых траекторий — это фазовый портрет. Он даёт представление о совокупности всех возможных состояний системы и типах возможных движений в ней. Фазовый портрет удобен для рассмотрения движений макроскопических и квантовых частиц. (ru)
|
| rdfs:comment
|
- في الرياضيات التطبيقية، وبشكل خاص في تحليل الأنظمة غير الخطية، يقدم مستوى الطور عرضًا مرئيًا لخصائص معينة لبعض أنواع المعادلات التفاضلية؛ وهو عبارة عن مستوى إحداثيات ذو محاور تمثل قيم متغيرات الحالة، على سبيل المثال (س ، ص)، أو (ف ، ع) إلخ (أي زوج من المتغيرات). وهو عبارة عن الحالة ثنائية الأبعاد لـ فضاء الطور ذو الـ n بعد. إن طريقة مستوي الطور تشير إلى أو تعبر عن التحديد الرسومي أو البياني لوجود دورات حدودية في حلول المعادلات التفاضلية. (ar)
- In applied mathematics, in particular the context of nonlinear system analysis, a phase plane is a visual display of certain characteristics of certain kinds of differential equations; a coordinate plane with axes being the values of the two state variables, say (x, y), or (q, p) etc. (any pair of variables). It is a two-dimensional case of the general n-dimensional phase space. The phase plane method refers to graphically determining the existence of limit cycles in the solutions of the differential equation. (en)
- Płaszczyzna fazowa – sposób wizualizacji charakterystyki rozwiązań pewnej klasy równań różniczkowych – jednorodnych równań różniczkowych pierwszego rzędu w dwóch wymiarach. Równanie jednorodne w dwóch wymiarach można zapisać jako układ równań: z zadanym warunkiem początkowym: Rozwiązując ten układ otrzymuje się dwie funkcje: spełniające warunek początkowy. Można narysować wykresy funkcji i osobno, można jednak także wyrugować parametr i uzyskać wykres funkcji (trajektorię układu) w układzie współrzędnych czyli w płaszczyźnie fazowej. Na przykład rozwiązując układ z zadanym warunkiem początkowym (pl)
- Фа́зовая пло́скость — координатная плоскость, в которой по осям координат откладываются какие-либо две переменные (фазовые координаты), однозначно определяющие состояние системы второго порядка. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, которое может иметь бо́льшую размерность. Каждая точка фазовой плоскости отражает одно некоторое состояние системы и называется фазовой, изображающей или представляющей точкой. (ru)
- Na matemática aplicada, em particular no contexto de análise de sistemas não lineares, um plano de fase é uma exibição visual de certas características de alguns tipos de equações diferenciais; um plano de coordenadas com eixos sendo os valores das duas variáveis de estado, digamos que ou . Sejam esses quaisquer pares de variáveis. Este é um caso bidimensional do espaço de fase geral n-dimensional O método do plano de fase refere-se à determinação gráfica da existência de ciclos limites nas soluções da equação diferencial. (pt)
- 相平面（phase plane）是在应用数学（特別是非線性系統）中，視覺化的展示特定微分方程特徵的方式。相平面是一個由二個狀態變數為座標軸組成的平面，例如說(x, y)或(q, p)等。相平面是多維度相空間在二维空间中的例子。 相平面法（phase plane method）是指用繪圖的方式，來確認微分方程的解中是否存在極限環。 微分方程的解可以形成函数族。用繪圖的方式，可以畫在二維的相平面上，類似二維的向量場。向量會表示某一點對應特定參數（例如時間）的導數，也就是(dx/dt, dy/dt)，會繪製在對應的點上，以箭頭表示。若有夠多的點，就可以分析此區域內的系統行為，若有極限環，也可以識別出來。 整個場即可形成相圖，在流線上的特定路徑（一個永遠和向量相切的路徑）即為相路徑（phase path）。向量場上的相表示微分方程所說明的系統隨時間的演化。 相平面可以用來解析物理系统的行為，特別是振盪系統，例如（可參考洛特卡－沃爾泰拉方程）。這些模型中的相路徑可能是向內旋轉，慢慢趨近0，也可能是向外旋轉，慢慢趨近無限大，或是接近中性的平衡位置，此情形稱為centre，路徑可能是圓形、橢圓或是其他形狀。在判斷其系統是否穩定時很有用。 (zh)
|
