In trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles. Using notation as in Fig. 1, the law of cosines states where γ denotes the angle contained between sides of lengths a and b and opposite the side of length c. For the same figure, the other two relations are analogous:

Property Value
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  • قانون جيب التمام أو قانون التجيب أو مبرهنة الكاشي هي مبرهنة في هندسة المثلثات تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ: . قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا. بوضع نجد أنَّ ومنها نظرية فيثاغورس . (ar)
  • En trigonometria, el teorema del cosinus és una identitat, referida a un triangle qualsevol, que relaciona les longituds dels seus costats amb el cosinus d'un dels seus angles. Emprant la notació referida a la Figura 1, el teorema del cosinus estableix que O, de forma equivalent: Cal fixar-se que c és el costat oposat a l'angle γ, i que a i b són els dos costats que formen l'angle γ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè en resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats. El teorema del cosinus generalitza el teorema de Pitàgores, el qual només es compleix pel cas de triangles rectangles: si l'angle γ és un angle recte (mesura 90° o radiants), llavors , i per tant el teorema del cosinus es redueix a que és el teorema de Pitàgores. El teorema del cosinus és útil per a calcular el tercer costat d'un triangle quan es coneixen dos costats i l'angle inclòs, i per a calcular els angles d'un triangle quan es coneixen els tres costats. (ca)
  • V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran. Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak a tudíž . Větu lze mimo jiné použít v případě, že jsou dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany. (cs)
  • Der Kosinussatz (auch Cosinussatz) ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen. (de)
  • Ο Νόμος των συνημιτόνων ή αλλιώς το Θεώρημα του Άλ-Κασί κατά τους Γάλλους, αποτελεί μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, χρησιμοποιούμενη στην τριγωνομετρία, που συνδέει το μήκος της μιας πλευράς ενός τριγώνου με τα μήκη των ετέρων πλευρών του και το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ αυτών. Γενικεύει, λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα σε τρίγωνα μη ορθογώνια. Παρόλο που κάτι παρόμοιο (με μήκη μόνο) ήταν γνωστό από τον Ευκλείδη , στα γαλλικά βιβλία το 1990 είχε αποδοθεί στον Πέρση μαθηματικό , πλέον σήμερα χρησιμοποιούνται οι ονομασίες νόμος των συνημιτόνων ή γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα. Το θεώρημα του Άλ-Κασί έχει ως εξής: Έστω τρίγωνο ABC, όπου χρησιμοποιούνται οι συνήθεις συμβολισμοί που περιγράφονται στο Σχήμα 1: α,β,γ για τις γωνίες και, a,b,c για τα μήκη των πλευρών που αντιστοιχούν στις γωνίες αυτές.. (el)
  • En trigonometrio, la leĝo de kosinusoj, nomita ankaŭ kosinusa formulo, kosinusa regulo, kosinusa teoremo aŭ kosinusa teoremo de Carnot, estas interrilato inter longoj de lateroj kaj kosinuso de unu el anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno. kie c estas longoj de latero kontraŭa al angulo γ, a kaj b estas longoj de latero inter kiuj estas angulo γ. Ekvivalente por la aliaj anguloj de la triangulo la leĝo estas: La leĝo de kosinusoj estas ĝeneraligo de la teoremo de Pitagoro, kiu veras nur por ortaj trianguloj: se la angulo γ estas orto (90° aŭ π/2 radianoj), tiam cos γ=0, kaj tial la leĝo de kosinusoj reduktiĝas al kio estas la teoremo de Pitagoro. (eo)
  • El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos,​ es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados: En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores. (es)
  • Kosinuaren teorema Pitagorasen teoremaren orokortze bat da, trigonometrian erabili ohi dena, zuzenak ez diren hirukietan. Teorema honek hirukiaren alde bat gainontzeko beste bi aldeekin eta hauek osatzen duten angeluaren kosinuarekin erlazionatzen ditu. ABC hiruki batean, α, β, γ, angeluak dira, eta angelu horien alde aurkariak a, b, c, dira. Hortaz: (eu)
  • En mathématiques, la loi des cosinus est un théorème de géométrie couramment utilisé en trigonométrie, qui relie dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés. Cette loi s'exprime de façon analogue en géométrie plane, sphérique ou hyperbolique. En ce qui concerne la géométrie plane, elle est également connue sous les noms de théorème d'Al-Kashi en France, ou encore théorème de Pythagore généralisé. Il généralise en effet le théorème de Pythagore aux triangles non rectangles. Bien qu'un résultat similaire (avec des longueurs seulement) fût déjà connu d'Euclide, le nom francisé du mathématicien perse Ghiyath al-Kashi (1380-1429) apparut dans les années 1990 dans les manuels scolaires édités en France, les appellations théorème de Pythagore généralisé ou loi des cosinus étant utilisées jusque-là. (fr)
  • Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut. Perhatikan gambar segitiga di kanan. Aturan kosinus menyatakan bahwa dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut . Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b: Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit aturan kosinus tadi, kita peroleh: (in)
  • In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète. (it)
  • 余弦定理(よげんていり、英: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。 (ja)
  • In trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles. Using notation as in Fig. 1, the law of cosines states where γ denotes the angle contained between sides of lengths a and b and opposite the side of length c. For the same figure, the other two relations are analogous: The law of cosines generalizes the Pythagorean theorem, which holds only for right triangles: if the angle γ is a right angle (of measure 90 degrees, or π/2 radians), then cos γ = 0, and thus the law of cosines reduces to the Pythagorean theorem: The law of cosines is useful for computing the third side of a triangle when two sides and their enclosed angle are known, and in computing the angles of a triangle if all three sides are known. (en)
  • 기하학에서, 코사인 법칙(cosine法則, 영어: law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다. (ko)
  • In de goniometrie beschrijft de cosinusregel een relatie tussen de drie zijden van een driehoek en de cosinus van een hoek. Voor de driehoek in de figuur kan de cosinusregel op drie wijzen worden geformuleerd: en natuurlijk ook: De regel kan onder andere worden toegepast om * de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ) * een hoek te berekenen als de drie zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ) Is een rechte hoek (90°), dan is en vervalt de cosinusregel tot , de stelling van Pythagoras (nl)
  • Twierdzenie cosinusów, wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie. (pl)
  • A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações: (pt)
  • Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники. (ru)
  • Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln. Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ: Då gäller att Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0. (sv)
  • Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. (uk)
  • 餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值()的數學式,參考右圖,余弦定理指的是: 同樣,也可以將其改為: 其中是角的對邊,而和是角的鄰邊。 勾股定理則是余弦定理的特殊情況,當為時,,等式可被簡化為 當知道三角形的兩邊和一角時,余弦定理可被用來計算第三邊的長,或是當知道三邊的長度時,可用來求出任何一個角。 (zh)
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  • p/c026660 (en)
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  • Euclid's Elements, translation by Thomas L. Heath. (en)
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  • ''Proposition 12 (en)
  • In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.'' (en)
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  • Cosine theorem (en)
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  • قانون جيب التمام أو قانون التجيب أو مبرهنة الكاشي هي مبرهنة في هندسة المثلثات تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ: . قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا. بوضع نجد أنَّ ومنها نظرية فيثاغورس . (ar)
  • V trigonometrii je kosinová věta tvrzení o rovinných trojúhelnících, které umožňuje spočítat úhel v trojúhelníku na základě znalosti všech jeho tří stran. Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γ a stranami a, b, c platí: Speciálním případem kosinové věty je Pythagorova věta: pokud je úhel γ pravý, pak a tudíž . Větu lze mimo jiné použít v případě, že jsou dány dvě strany trojúhelníku, úhel, který svírají, a chceme zjistit délku zbývající strany. (cs)
  • Der Kosinussatz (auch Cosinussatz) ist einer der fundamentalen Lehrsätze der Geometrie und hier dem Gebiet der Trigonometrie zugehörig. Er ist eng verwandt mit dem Satz des Pythagoras. Für ebene Dreiecke ist der Kosinussatz sehr einfach zu formulieren, für sphärische benötigt er sechs Winkelfunktionen. In beiden Fällen beinhaltet er drei Identitätsgleichungen, welche die Beziehungen zwischen den Längen der Seiten von Dreiecken und den Kosinuswerten ihrer Winkel darstellen. (de)
  • El teorema del coseno, denominado también como ley de cosenos,​ es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos en trigonometría. El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados: En la mayoría de los idiomas, este teorema es conocido con el nombre de teorema del coseno, denominación no obstante relativamente tardía. En francés, sin embargo, lleva el nombre del matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificó los resultados de sus predecesores. (es)
  • Kosinuaren teorema Pitagorasen teoremaren orokortze bat da, trigonometrian erabili ohi dena, zuzenak ez diren hirukietan. Teorema honek hirukiaren alde bat gainontzeko beste bi aldeekin eta hauek osatzen duten angeluaren kosinuarekin erlazionatzen ditu. ABC hiruki batean, α, β, γ, angeluak dira, eta angelu horien alde aurkariak a, b, c, dira. Hortaz: (eu)
  • In geometria, il teorema del coseno esprime la relazione tra la lunghezza dei lati di un triangolo e il coseno di uno dei suoi angoli. Può essere considerato una generalizzazione del teorema di Pitagora al caso di triangoli non rettangoli. Questo teorema, dimostrato già dal persiano Al-Kashi, è noto anche, specialmente in Francia, come teorema di Al-Kashi o anche, specialmente in Italia, come teorema di Carnot, dal nome del matematico francese Lazare Carnot, anche se in realtà il teorema è stato reso popolare dal francese François Viète. (it)
  • 余弦定理(よげんていり、英: law of cosines, cosine formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。単に余弦定理と言った場合、第二定理を指す。 (ja)
  • 기하학에서, 코사인 법칙(cosine法則, 영어: law of cosines)은 삼각형의 세 변과 한 각의 코사인 사이에 성립하는 정리이다. 이에 따르면, 삼각형의 두 변의 제곱합에서 사잇각의 코사인과 그 두 변의 곱의 2배를 빼면, 남은 변의 제곱과 같아진다. 삼각형의 두 변의 직각 삼각형에 대한 피타고라스의 정리에 대한 일반화이다. 코사인 법칙은 삼각형의 두 변과 그 사잇각을 알 때 남은 한 변을 구하거나, 세 변을 알 때 세 각을 구하는 데 사용될 수 있다. (ko)
  • In de goniometrie beschrijft de cosinusregel een relatie tussen de drie zijden van een driehoek en de cosinus van een hoek. Voor de driehoek in de figuur kan de cosinusregel op drie wijzen worden geformuleerd: en natuurlijk ook: De regel kan onder andere worden toegepast om * de derde zijde te berekenen, wanneer twee zijden en de door deze zijden ingesloten hoek bekend zijn (congruentiestelling ZHZ) * een hoek te berekenen als de drie zijden bekend zijn (congruentiestelling ZZZ) Is een rechte hoek (90°), dan is en vervalt de cosinusregel tot , de stelling van Pythagoras (nl)
  • Twierdzenie cosinusów, wzór cosinusów, twierdzenie Carnota, uogólnione twierdzenie Pitagorasa – twierdzenie określające związek między kątem i bokami w trójkącie. (pl)
  • A lei dos cossenos é uma parte da generalização do Teorema de Pitágoras, que pode ser utilizada em situações envolvendo qualquer triângulo, isto é, não necessariamente restritas a triângulos retângulos. Em um triângulo ABC qualquer, para lados opostos aos ângulos internos e com medidas respectivamente e valem as relações: (pt)
  • Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора на произвольные плоские треугольники. (ru)
  • Cosinussatsen relaterar längden av en sida i en godtycklig triangel till längderna av de andra två samt den till sidan motstående vinkeln. Antag en triangel med sidlängderna a, b och c och med vinklarna α, β och γ: Då gäller att Om någon vinkel är rät erhålls Pythagoras sats då cosinus för en rät vinkel är 0. (sv)
  • Теорема косинусів — це твердження про властивість довільних трикутників, що є узагальненням теореми Піфагора. Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших його сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними. (uk)
  • 餘弦定理是三角形中三邊長度與一個角的余弦值()的數學式,參考右圖,余弦定理指的是: 同樣,也可以將其改為: 其中是角的對邊,而和是角的鄰邊。 勾股定理則是余弦定理的特殊情況,當為時,,等式可被簡化為 當知道三角形的兩邊和一角時,余弦定理可被用來計算第三邊的長,或是當知道三邊的長度時,可用來求出任何一個角。 (zh)
  • En trigonometria, el teorema del cosinus és una identitat, referida a un triangle qualsevol, que relaciona les longituds dels seus costats amb el cosinus d'un dels seus angles. Emprant la notació referida a la Figura 1, el teorema del cosinus estableix que O, de forma equivalent: Cal fixar-se que c és el costat oposat a l'angle γ, i que a i b són els dos costats que formen l'angle γ. Totes tres identitats diuen el mateix; només es presenten separadament perquè en resoldre triangles amb tres costats donats s'ha d'aplicar la identitat tres cops permutant el paper dels tres costats. (ca)
  • Ο Νόμος των συνημιτόνων ή αλλιώς το Θεώρημα του Άλ-Κασί κατά τους Γάλλους, αποτελεί μια γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος, χρησιμοποιούμενη στην τριγωνομετρία, που συνδέει το μήκος της μιας πλευράς ενός τριγώνου με τα μήκη των ετέρων πλευρών του και το συνημίτονο της γωνίας που σχηματίζεται μεταξύ αυτών. Γενικεύει, λοιπόν, το Πυθαγόρειο θεώρημα σε τρίγωνα μη ορθογώνια. Παρόλο που κάτι παρόμοιο (με μήκη μόνο) ήταν γνωστό από τον Ευκλείδη , στα γαλλικά βιβλία το 1990 είχε αποδοθεί στον Πέρση μαθηματικό , πλέον σήμερα χρησιμοποιούνται οι ονομασίες νόμος των συνημιτόνων ή γενικευμένο Πυθαγόρειο θεώρημα. (el)
  • En trigonometrio, la leĝo de kosinusoj, nomita ankaŭ kosinusa formulo, kosinusa regulo, kosinusa teoremo aŭ kosinusa teoremo de Carnot, estas interrilato inter longoj de lateroj kaj kosinuso de unu el anguloj ĉe triangulo sur eŭklida ebeno. kie c estas longoj de latero kontraŭa al angulo γ, a kaj b estas longoj de latero inter kiuj estas angulo γ. Ekvivalente por la aliaj anguloj de la triangulo la leĝo estas: kio estas la teoremo de Pitagoro. (eo)
  • In trigonometry, the law of cosines (also known as the cosine formula, cosine rule, or al-Kashi's theorem) relates the lengths of the sides of a triangle to the cosine of one of its angles. Using notation as in Fig. 1, the law of cosines states where γ denotes the angle contained between sides of lengths a and b and opposite the side of length c. For the same figure, the other two relations are analogous: (en)
  • Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut. Perhatikan gambar segitiga di kanan. Aturan kosinus menyatakan bahwa dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang berhadapan dengan sudut . Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b: (in)
  • En mathématiques, la loi des cosinus est un théorème de géométrie couramment utilisé en trigonométrie, qui relie dans un triangle la longueur d'un côté à celles des deux autres et au cosinus de l'angle formé par ces deux côtés. Cette loi s'exprime de façon analogue en géométrie plane, sphérique ou hyperbolique. (fr)
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  • قانون جيب التمام (ar)
  • Teorema del cosinus (ca)
  • Kosinová věta (cs)
  • Kosinussatz (de)
  • Νόμος των συνημιτόνων (el)
  • Law of cosines (en)
  • Leĝo de kosinusoj (eo)
  • Teorema del coseno (es)
  • Kosinuaren teorema (eu)
  • Loi des cosinus (fr)
  • Hukum kosinus (in)
  • 余弦定理 (ja)
  • Teorema del coseno (it)
  • 코사인 법칙 (ko)
  • Cosinusregel (nl)
  • Lei dos cossenos (pt)
  • Twierdzenie cosinusów (pl)
  • Теорема косинусов (ru)
  • Cosinussatsen (sv)
  • Теорема косинусів (uk)
  • 餘弦定理 (zh)
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