In mathematics, an irreducible polynomial (or prime polynomial) is, roughly speaking, a non-constant polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field or ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x2 − 2 is irreduc

Property Value
dbo:abstract
  • En Teoria d'Anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) amb coeficients en un domini íntegre (és a dir, ) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que . En altres paraules, si llavors ha de ser o (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant). Això és un cas particular d'. El domini íntegre R pot, entre altres, ser el conjunt dels nombres reals (que és domini íntegre per ésser cos), el conjunt dels nombres complexos (també cos), el conjunt dels nombres racionals (cos també) o el conjunt dels nombres enters (que no és cos però si domini íntegre). (ca)
  • Ireducibilní polynom je takový polynom, který nelze rozložit na součin jednodušších polynomů. V opačném případě mluvíme o reducibilním polynomu. (cs)
  • In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt. Ihre Bedeutung für die Polynomringe ist in den meisten Fällen (Polynome über faktoriellen Ringen) mit der Bedeutung von Primzahlen für natürliche Zahlen gleich. (de)
  • In mathematics, an irreducible polynomial (or prime polynomial) is, roughly speaking, a non-constant polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field or ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x2 − 2 is irreducible over the integers but not over the reals. A polynomial that is irreducible over any field containing the coefficients is absolutely irreducible. By the fundamental theorem of algebra, a univariate polynomial is absolutely irreducible if and only if its degree is one. On the other hand, with several indeterminates, there are absolutely irreducible polynomials of any degree, such as for any positive integer n. A polynomial that is not irreducible is sometimes said to be reducible. However, this term must be used with care, as it may refer to other notions of reduction. Irreducible polynomials appear naturally in the study of polynomial factorization and algebraic field extensions. It is helpful to compare irreducible polynomials to prime numbers: prime numbers (together with the corresponding negative numbers of equal magnitude) are the irreducible integers. They exhibit many of the general properties of the concept of "irreducibility" that equally apply to irreducible polynomials, such as the essentially unique factorization into prime or irreducible factors. (en)
  • En teoría de Anillos, un polinomio no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro (es decir, ) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que . Es decir, si entonces ha de ser o (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante). Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro. El dominio íntegro R puede, entre otros, ser el conjunto de los números reales (que es dominio íntegro por ser cuerpo), el conjunto de los números complejos (también cuerpo), el conjunto de los números racionales (cuerpo también) o el conjunto de los números enteros (que no es cuerpo pero sí dominio íntegro). (es)
  • En algèbre, un polynôme irréductible à coefficients dans un anneau commutatif est un polynôme qui n'est ni inversible, ni produit de deux polynômes non inversibles. * Portail de l’algèbre (fr)
  • In matematica, un polinomio si dice irriducibile quando ha come unici divisori e se stesso, cioè quando non esistono dei polinomi e tali che con e non invertibili. Negli altri casi il polinomio si dice riducibile. Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio è riducibile. Se però i coefficienti sono considerati appartenenti ad un anello, questo non è sempre vero: ad esempio il polinomio è ovviamente irriducibile se considerato come polinomio in , mentre è riducibile se considerato su , perché la fattorizzazione non è banale, in quanto l'inverso di , ovvero , non è un numero intero, e quindi non è un elemento invertibile dell'anello dei polinomi a coefficienti interi. (it)
  • 代数学において既約多項式(きやくたこうしき、英: irreducible polynomial)とは、多項式環の既約元のことである。より冗長には次のようになる。R を単位元をもつ可換環とし、その単数全体を R×、一変数多項式環を R[X] とおく。多項式 ƒ ∈ R[X] が2条件 * ƒ ∉ R× * ∀ g, h ∈ R[X]   ƒ = gh ⇒ g ∈ R× or h ∈ R× を満たすとき既約であるという。そうでないとき可約であるという。 元々、整数係数多項式(有理数係数多項式) f(x) が、2 つの1次以上の整数係数多項式(有理数係数多項式) g(x),h(x) の積として因数分解できる時、すなわち f(x) = g(x) h(x) の形にできることを可約、そうでないときを既約として多項式の性質を調べる事はあったが、係数の範囲を一般化して、特定の無理数や複素数の四則演算で得られる係数での因数分解を考え、既約性を導入したのはニールス・アーベルである。 係数環 R が整数環や実数体、複素数体のような一意分解整域の場合には既約多項式は多項式環における素元でもあるので、これは整数環における素数の類似物である。 (ja)
  • 수학에서, 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식이다. (ko)
  • Um polinômio irreducível (ou irredutível) é um polinômio (de grau maior que zero) que não pode ser fatorado em polinômios de graus menores. Mais precisamente: * Seja p(x) um polinômio não-constante sobre um corpo F. Então p(x) é irreducível quando não existem p1(x), p2(x), ..., pn(x) em que cada pi(x) tem grau menor que p(x), e p(x) = p1(x). p2(x) ... pn(x). (pt)
  • Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров). (ru)
  • Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring man studerar. Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter. (sv)
  • Для довільного поля F, многочлен з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому. Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F. (uk)
  • 在數學裡,不可約多項式(irreducible polynomial)是指不可被分解成兩個非常數多項式之乘積的非常數多項式。不可約的性質取決於係數所屬於的體或環。例如,多項式x2 - 2在係數1與 -2被認為是整數時是不可約的,而在這些係數被認為是實數時可分解成。亦即,「多項式x2 - 2在整數上不可約,但在實數上不是不可約。」 不是不可約的多項式有時會被稱為可約。不過,「可約」這一詞可能被會用來指其他的概念,須小心使用。 不可約多項式於與代數體擴張裡都會自然地出現。 將不可約多項式與質數相比會很有幫助:質數(與具相同大小之對應負數)為不可約的整數。質數具有的許多「不可約」這個概念之一般性質,同樣可適用於不可約多項式之上,如質數或不可約因式的唯一分解。 (zh)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 188725 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 19682 (xsd:integer)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 984100392 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:title
  • Irreducible Polynomial (en)
dbp:urlname
  • IrreduciblePolynomial (en)
  • IrreduciblePolynomial2 (en)
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
rdf:type
rdfs:comment
  • Ireducibilní polynom je takový polynom, který nelze rozložit na součin jednodušších polynomů. V opačném případě mluvíme o reducibilním polynomu. (cs)
  • In der Algebra, einem Teilgebiet der Mathematik, ist ein irreduzibles Polynom ein Polynom, das sich nicht als Produkt zweier nicht invertierbarer Polynome schreiben lässt und somit nicht in „einfachere“ Polynome zerfällt. Ihre Bedeutung für die Polynomringe ist in den meisten Fällen (Polynome über faktoriellen Ringen) mit der Bedeutung von Primzahlen für natürliche Zahlen gleich. (de)
  • En algèbre, un polynôme irréductible à coefficients dans un anneau commutatif est un polynôme qui n'est ni inversible, ni produit de deux polynômes non inversibles. * Portail de l’algèbre (fr)
  • 代数学において既約多項式(きやくたこうしき、英: irreducible polynomial)とは、多項式環の既約元のことである。より冗長には次のようになる。R を単位元をもつ可換環とし、その単数全体を R×、一変数多項式環を R[X] とおく。多項式 ƒ ∈ R[X] が2条件 * ƒ ∉ R× * ∀ g, h ∈ R[X]   ƒ = gh ⇒ g ∈ R× or h ∈ R× を満たすとき既約であるという。そうでないとき可約であるという。 元々、整数係数多項式(有理数係数多項式) f(x) が、2 つの1次以上の整数係数多項式(有理数係数多項式) g(x),h(x) の積として因数分解できる時、すなわち f(x) = g(x) h(x) の形にできることを可約、そうでないときを既約として多項式の性質を調べる事はあったが、係数の範囲を一般化して、特定の無理数や複素数の四則演算で得られる係数での因数分解を考え、既約性を導入したのはニールス・アーベルである。 係数環 R が整数環や実数体、複素数体のような一意分解整域の場合には既約多項式は多項式環における素元でもあるので、これは整数環における素数の類似物である。 (ja)
  • 수학에서, 기약 다항식(旣約多項式, 영어: irreducible polynomial)은 더 낮은 차수의 다항식의 곱으로 표시되지 않는 다항식이다. (ko)
  • Um polinômio irreducível (ou irredutível) é um polinômio (de grau maior que zero) que não pode ser fatorado em polinômios de graus menores. Mais precisamente: * Seja p(x) um polinômio não-constante sobre um corpo F. Então p(x) é irreducível quando não existem p1(x), p2(x), ..., pn(x) em que cada pi(x) tem grau menor que p(x), e p(x) = p1(x). p2(x) ... pn(x). (pt)
  • Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов (см. раздел примеров). (ru)
  • Ett irreducibelt polynom är inom matematiken ett icke-konstant polynom som inte kan skrivas som en produkt av två eller fler icke-konstanta polynom. Vilka polynom som är irreducibla beror på vilken polynomring man studerar. Irreducibla polynom kan jämföras med primtal inom talteorin. Precis som varje tal unikt kan faktoriseras som en produkt av primtal kan varje polynom i en polynomring skrivas som en produkt av irreducibla polynom. Faktorerna är unikt bestämda om man bortser från multiplikation med konstanter. (sv)
  • Для довільного поля F, многочлен з коефіцієнтами в F (такі многочлени утворюють кільце ) називається незвідним у полі якщо він не рівний константі і не дорівнює добутку двох або більше многочленів з , що не є константами. Дана властивість залежить від поля F; многочлен, що є незвідним в одному полі може розкладатися на добуток в іншому. Кожен многочлен у може бути розкладений в добуток многочленів, що є незвідними в F. Цей розклад на множники є однозначно визначеним з точністю до перестановки множників і множення многочленів у розкладі на константи з поля F. (uk)
  • 在數學裡,不可約多項式(irreducible polynomial)是指不可被分解成兩個非常數多項式之乘積的非常數多項式。不可約的性質取決於係數所屬於的體或環。例如,多項式x2 - 2在係數1與 -2被認為是整數時是不可約的,而在這些係數被認為是實數時可分解成。亦即,「多項式x2 - 2在整數上不可約,但在實數上不是不可約。」 不是不可約的多項式有時會被稱為可約。不過,「可約」這一詞可能被會用來指其他的概念,須小心使用。 不可約多項式於與代數體擴張裡都會自然地出現。 將不可約多項式與質數相比會很有幫助:質數(與具相同大小之對應負數)為不可約的整數。質數具有的許多「不可約」這個概念之一般性質,同樣可適用於不可約多項式之上,如質數或不可約因式的唯一分解。 (zh)
  • En Teoria d'Anells, un polinomi no constant (i per tant no nul) amb coeficients en un domini íntegre (és a dir, ) és irreductible si no pot factoritzar-se com producte de polinomis de manera que tots ells tinguen graus menor que . En altres paraules, si llavors ha de ser o (és a dir, algun d'ells ha de ser un polinomi constant). Això és un cas particular d'. (ca)
  • In mathematics, an irreducible polynomial (or prime polynomial) is, roughly speaking, a non-constant polynomial that cannot be factored into the product of two non-constant polynomials. The property of irreducibility depends on the nature of the coefficients that are accepted for the possible factors, that is, the field or ring to which the coefficients of the polynomial and its possible factors are supposed to belong. For example, the polynomial x2 − 2 is a polynomial with integer coefficients, but, as every integer is also a real number, it is also a polynomial with real coefficients. It is irreducible if it is considered as a polynomial with integer coefficients, but it factors as if it is considered as a polynomial with real coefficients. One says that the polynomial x2 − 2 is irreduc (en)
  • En teoría de Anillos, un polinomio no constante (y por lo tanto no nulo) con coeficientes en un dominio íntegro (es decir, ) es irreducible si no puede factorizarse como producto de polinomios de manera que todos ellos tengan grados menor que . Es decir, si entonces ha de ser o (es decir, alguno de ellos ha de ser un polinomio constante). Esto es un caso particular de elemento irreducible en un dominio íntegro. (es)
  • In matematica, un polinomio si dice irriducibile quando ha come unici divisori e se stesso, cioè quando non esistono dei polinomi e tali che con e non invertibili. Negli altri casi il polinomio si dice riducibile. Se i coefficienti del polinomio sono presi in un campo, i fattori di un polinomio riducibile sono entrambi di grado inferiore e non costanti. Ad esempio è riducibile. (it)
rdfs:label
  • Polinomi irreductible (ca)
  • Ireducibilní polynom (cs)
  • Irreduzibles Polynom (de)
  • Irreducible polynomial (en)
  • Polinomio irreducible (es)
  • Polynôme irréductible (fr)
  • Polinomio irriducibile (it)
  • 既約多項式 (ja)
  • 기약 다항식 (ko)
  • Polinômio irredutível (pt)
  • Wielomian nierozkładalny (pl)
  • Неприводимый многочлен (ru)
  • Irreducibelt polynom (sv)
  • Незвідний многочлен (uk)
  • 不可约多项式 (zh)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageDisambiguates of
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of