An Entity of Type: ArtificialSatellite, from Named Graph: http://dbpedia.org, within Data Space: dbpedia.org

Galileo's paradox is a demonstration of one of the surprising properties of infinite sets. In his final scientific work, Two New Sciences, Galileo Galilei made apparently contradictory statements about the positive integers. First, some numbers are squares, while others are not; therefore, all the numbers, including both squares and non-squares, must be more numerous than just the squares. And yet, for every number there is exactly one square; hence, there cannot be more of one than of the other. This is an early use, though not the first, of the idea of one-to-one correspondence in the context of infinite sets.

Property Value
dbo:abstract
  • La paradoxa de Galileu és una demostració d'una de les propietats dels conjunts infinits. El caràcter paradoxal es dóna per posar en dubte el principi que el tot és major que qualsevol de les seves parts. En el seu últim treball científic, Dues noves ciències, Galileo Galilei va fer dues afirmacions aparentment contradictòries sobre els nombres enters positius. Primer, alguns nombres tenen la propietat de ser un quadrat perfecte (això és el quadrat d'un enter, des d'ara anomenat simplement quadrat), mentre que uns altres no la tenen. Per això, el conjunt de tots els nombres, incloent-hi tant als quadrats com als no quadrats, ha de ser major que el conjunt dels quadrats. No obstant això, per cada quadrat hi ha exactament un nombre que és la seva arrel quadrada, i per cada nombre hi ha exactament un quadrat. Per tant, no pot haver-hi més d'un tipus que d'un altre. Aquest és un dels primers exemples, encara que no el primer, de demostració a través d'una funció bijectiva. En els seus cèlebres "Diàlegs" Galileu va arribar a la conclusió que els conceptes de menor, igual i major només s'aplicaven a conjunts finits, i no tenien sentit aplicats a conjunts infinits. Al segle xix, Georg Cantor, usant els mateixos mètodes, va demostrar que a pesar que el resultat de Galileu era correcte si s'aplicava als nombres enters, o fins i tot als racionals, la conclusió general no era certa: alguns conjunts infinits són majors que uns altres, en el sentit que no es poden relacionar en una correspondència biunívoca. No obstant això, és notable que Galileu hagi demostrat que el nombre de punts en un segment és el mateix que en un segment una mica més gran, encara que, per cert, no va arribar a la demostració de Cantor sobre l'existència de diversos infinits ni al concepte de nombre transfinit. En aquella època Galileu estava indicant les contradiccions en les paradoxes de Zenó per obrir camí a la seva teoria matemàtica del moviment. (ca)
  • Galileis Paradoxon auch Paradoxon des Galileo oder Galileos Paradoxon ist ein Paradoxon über unendliche Mengen. Es wurde von dem italienischen Gelehrten Galileo Galilei in seinen Discorsi e dimostrazioni matematiche 1638 veröffentlicht. Das war eines der Paradoxa des Unendlichen, mit denen sich Galilei beschäftigte. In der Zeit vor der Entdeckung der Infinitesimalrechnung musste er für die Beschreibung kontinuierlicher Bewegung auf andere Hilfsmittel und Näherungen zurückgreifen, was ihn mit Paradoxien in der Art der klassischen Paradoxa des Zenon von Elea konfrontierte. Die Idee, unendliche Mengen als Mengen zu definieren, die echte Teilmengen ihrer selbst sind, wird vor Galilei Logikern bis in das Mittelalter (wie Adam Parvipontanus) und auch Autoren des Altertums (Plutarch, Proklos) zugeschrieben, im 19. Jahrhundert auch Bernard Bolzano. (de)
  • Galileo's paradox is a demonstration of one of the surprising properties of infinite sets. In his final scientific work, Two New Sciences, Galileo Galilei made apparently contradictory statements about the positive integers. First, some numbers are squares, while others are not; therefore, all the numbers, including both squares and non-squares, must be more numerous than just the squares. And yet, for every number there is exactly one square; hence, there cannot be more of one than of the other. This is an early use, though not the first, of the idea of one-to-one correspondence in the context of infinite sets. Galileo concluded that the ideas of less, equal, and greater apply to (what we would now call) finite sets, but not to infinite sets. In the nineteenth century Cantor found a framework in which this restriction is not necessary; it is possible to define comparisons amongst infinite sets in a meaningful way (by which definition the two sets, integers and squares, have "the same size"), and that by this definition some infinite sets are strictly larger than others. The ideas were not new with Galileo, but his name has come to be associated with them. In particular, Duns Scotus, around 1302, compared even numbers to the whole of numbers. (en)
  • La paradoja de Galileo es una demostración de una de las propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que cualquiera de sus partes.​ En su último trabajo científico, Dos nuevas ciencias, Galileo Galilei hizo dos afirmaciones aparentemente contradictorias acerca de los números enteros positivos. Primero, algunos números tienen la propiedad de ser un cuadrado perfecto (esto es, el cuadrado de un entero, desde ahora llamado simplemente cuadrado), mientras que otros no la tienen. Por ello, el conjunto de todos los números, incluyendo tanto a los cuadrados como a los no cuadrados, tiene que ser mayor que el conjunto de los cuadrados. Sin embargo, por cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y por cada número hay exactamente un cuadrado. Por lo tanto, no puede haber más de un tipo que de otro. Este es uno de los primeros ejemplos, aunque no el primero, de demostración a través de una función biyectiva. En sus célebres "Diálogos" Galileo llegó a la conclusión de que los conceptos de menor, igual y mayor sólo se aplicaban a conjuntos finitos, y no tenían sentido aplicados a conjuntos infinitos. En el siglo XIX, Georg Cantor, usando los mismos métodos, demostró que a pesar de que el resultado de Galileo era correcto si se aplicaba a los números enteros, o incluso a los racionales, la conclusión general no era cierta: algunos conjuntos infinitos son mayores que otros, en el sentido de que no se pueden relacionar en una correspondencia biunívoca. No obstante, es notable que Galileo haya demostrado que el número de puntos en un segmento es el mismo que en un segmento algo mayor, aunque, por cierto, no llegó a la demostración de Cantor sobre la existencia de varios infinitos ni al concepto de número transfinito. En esa época Galileo estaba indicando las contradicciones en las paradojas de Zenón para abrir camino a su teoría matemática del movimiento. (es)
  • De paradox van Galilei is een demonstratie van een van de eigenschappen van oneindige verzamelingen. In zijn laatste wetenschappelijk werk Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze deed Galileo Galilei ogenschijnlijk tegenstrijdige uitspraken over positieve gehele getallen. Ten eerste: sommige getallen zijn kwadraten, terwijl andere geen kwadraten zijn. Bijgevolg moeten er meer getallen zijn dan kwadraten en ook meer dan niet-kwadraten. Toch is er voor elk kwadraat exact één positief getal dat zijn vierkantswortel is, en voor elk getal is er exact één kwadraat. Bijgevolg kunnen er van de ene niet meer of minder zijn dan van de andere. Dat is met elkaar in tegenspraak. Galileo besloot dat de begrippen minder dan, gelijk aan en groter dan van toepassing zijn op eindige verzamelingen, maar niet op oneindige verzamelingen. In de 19e eeuw toonde Georg Cantor aan dat deze beperking niet nodig is. Het is mogelijk oneindige verzamelingen te vergelijken op een betekenisvolle manier. (nl)
  • O paradoxo de Galileu é uma demonstração de uma das surpreendentes propriedades dos conjuntos infinitos. O carácter paradoxal dá-se por se ter subentendido o princípio de que o todo é maior que as suas partes. No seu último trabalho científico, Duas Novas Ciências, Galileu Galilei fez duas afirmações aparentemente contraditórias acerca dos números inteiros positivos. Primeiro, alguns números têm a propriedade de ser quadrado perfeito (ou seja, o quadrado de um inteiro, dito simplesmente quadrado), enquanto que outros não a têm. Por isso, o conjunto de todos os números, incluindo tanto os quadrados como os não quadrados, tem que ser maior que o conjunto dos quadrados. No entanto, por cada quadrado há exatamente um número que é a sua raiz quadrada, e para cada número há exactamente um quadrado. Portanto, não pode haver mais de um tipo que de outro. Este é um dos primeiros usos, embora não o primeiro, de demonstração através de una função bijectiva. Galileu chegou à conclusão de que os conceitos de menor, igual e maior só se aplicavam a conjuntos finitos, e não tinham sentido aplicados a conjuntos infinitos. No século XIX, Cantor, usando os mesmos métodos, demonstrou que apesar de o resultado de Galileu ser correcto, se se aplicava a números inteiros, ou mesmo aos racionais, a conclusão geral não era certa: alguns conjuntos infinitos são maiores que outros, no sentido em que não se podem relacionar numa correspondência um-para-um. (pt)
  • Парадокс Галилея — пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16… В своей последней работе «Две Науки», Галилей привёл два противоречащих друг другу суждения о натуральных числах. Первое: некоторые числа являются точными квадратами (то есть квадратами других целых чисел); другие же числа таким свойством не обладают. Таким образом, точных квадратов и обычных чисел вместе должно быть больше, чем просто точных квадратов. Второе суждение: для каждого натурального числа найдётся его точный квадрат, и наоборот — для каждого точного квадрата найдётся целый квадратный корень, поэтому точных квадратов и натуральных чисел должно быть одинаковое количество. Это один из первых, хотя и не самый ранний, пример использования понятия взаимно-однозначного отображения в контексте бесконечных множеств. Галилей сделал вывод, что судить об одинаковом количестве элементов можно только для конечных множеств. В XIX веке Георг Кантор, используя свою теорию множеств, показал, что можно ввести «количество элементов» для бесконечных множеств — так называемая мощность множества. При этом мощности множества натуральных чисел и множества точных квадратов совпали (оказалось верным второе рассуждение Галилея). Парадокс Галилея вступил в противоречие с аксиомой Евклида, утверждающей, что целое больше любой из своих собственных частей (под собственной частью понимается часть, не совпадающая со всем целым). Замечательно, до какой степени Галилей предвосхитил последующие работы в области бесконечных чисел. Он показал, что число точек на коротком отрезке прямой равно числу точек на большем отрезке, но, конечно, не знал канторовское доказательство того, что его мощность больше, чем мощность множества целых чисел. У Галилея были более срочные задачи. Он занимался противоречиями в парадоксах Зенона, чтобы расчистить дорогу своей математической теории движения. (ru)
dbo:wikiPageExternalLink
dbo:wikiPageID
  • 339195 (xsd:integer)
dbo:wikiPageLength
  • 6763 (xsd:nonNegativeInteger)
dbo:wikiPageRevisionID
  • 1003652694 (xsd:integer)
dbo:wikiPageWikiLink
dbp:wikiPageUsesTemplate
dct:subject
gold:hypernym
rdf:type
rdfs:comment
  • La paradoxa de Galileu és una demostració d'una de les propietats dels conjunts infinits. El caràcter paradoxal es dóna per posar en dubte el principi que el tot és major que qualsevol de les seves parts. (ca)
  • Galileis Paradoxon auch Paradoxon des Galileo oder Galileos Paradoxon ist ein Paradoxon über unendliche Mengen. Es wurde von dem italienischen Gelehrten Galileo Galilei in seinen Discorsi e dimostrazioni matematiche 1638 veröffentlicht. Das war eines der Paradoxa des Unendlichen, mit denen sich Galilei beschäftigte. In der Zeit vor der Entdeckung der Infinitesimalrechnung musste er für die Beschreibung kontinuierlicher Bewegung auf andere Hilfsmittel und Näherungen zurückgreifen, was ihn mit Paradoxien in der Art der klassischen Paradoxa des Zenon von Elea konfrontierte. (de)
  • Galileo's paradox is a demonstration of one of the surprising properties of infinite sets. In his final scientific work, Two New Sciences, Galileo Galilei made apparently contradictory statements about the positive integers. First, some numbers are squares, while others are not; therefore, all the numbers, including both squares and non-squares, must be more numerous than just the squares. And yet, for every number there is exactly one square; hence, there cannot be more of one than of the other. This is an early use, though not the first, of the idea of one-to-one correspondence in the context of infinite sets. (en)
  • La paradoja de Galileo es una demostración de una de las propiedades de los conjuntos infinitos. El carácter paradójico se da por poner en entredicho el principio de que el todo es mayor que cualquiera de sus partes.​ (es)
  • De paradox van Galilei is een demonstratie van een van de eigenschappen van oneindige verzamelingen. In zijn laatste wetenschappelijk werk Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno a due nuove scienze deed Galileo Galilei ogenschijnlijk tegenstrijdige uitspraken over positieve gehele getallen. Ten eerste: sommige getallen zijn kwadraten, terwijl andere geen kwadraten zijn. Bijgevolg moeten er meer getallen zijn dan kwadraten en ook meer dan niet-kwadraten. Toch is er voor elk kwadraat exact één positief getal dat zijn vierkantswortel is, en voor elk getal is er exact één kwadraat. Bijgevolg kunnen er van de ene niet meer of minder zijn dan van de andere. Dat is met elkaar in tegenspraak. (nl)
  • O paradoxo de Galileu é uma demonstração de uma das surpreendentes propriedades dos conjuntos infinitos. O carácter paradoxal dá-se por se ter subentendido o princípio de que o todo é maior que as suas partes. (pt)
  • Парадокс Галилея — пример, иллюстрирующий свойства бесконечных множеств. В двух словах: натуральных чисел столько же, сколько квадратов натуральных чисел, то есть в множестве 1, 2, 3, 4… столько же элементов, сколько в множестве 1, 4, 9, 16… (ru)
rdfs:label
  • Paradoxa de Galileu (ca)
  • Galileis Paradoxon (de)
  • Galileo's paradox (en)
  • Paradoja de Galileo (es)
  • Paradox van Galilei (nl)
  • Paradoxo de Galileu (pt)
  • Парадокс Галилея (ru)
owl:sameAs
prov:wasDerivedFrom
foaf:isPrimaryTopicOf
is dbo:wikiPageRedirects of
is dbo:wikiPageWikiLink of
is foaf:primaryTopic of
Powered by OpenLink Virtuoso    This material is Open Knowledge     W3C Semantic Web Technology     This material is Open Knowledge    Valid XHTML + RDFa
This content was extracted from Wikipedia and is licensed under the Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License