| dbo:abstract
|
- في علم الرياضيات، نظرية بديهية الاختيار، أو إيه سي (AC)، هي بديهية من نظرية المجموعات تساوي الملاحظة التي تقول"أن [[الجداء الديكارتي# حاصل الضرب لمجموعة من المجموعات غير الخالية هو بالفعل مجموعة غير خالية". وتقول النظرية بشكل واضح أن لكل فئة مُجَدولة من المجموعات غير الخالية توجد فئة مُجَدولة من العناصر حيث لكل . وُضِعت نظرية بديهية الاختيار في عام 1904 من قِبل العَالِم إرنست زيرميلو (Ernst Zermelo) وذلك لكي يُقيم برهانه على نظرية الترتيب الكلي. ويُمكن شرحها بطريقة مُبسَّطة، فنظرية الاختيار تفيد بأنه إذا أخذ الشخص أي مجموعة من الصناديق، كلٌ منها يحتوي على غرض واحد على الأقل، فإنه يمكن أن يقوم هذا الشخص بانتقاء غرض واحد بالضبط من كل صندوق. في بعض الحالات الأخرى الكثيرة يُمكن أن يقوم الشخص بهذا الانتقاء بدون الاستناد إلى بديهية الاختيار؛ ومن الممكن أن يحدث ذلك في حالة أن عدد الصناديق محدود، أو إذا كان هناك قانون عن الاختيار: والتي يصدف أن تكون إحدى صفاته المُميَّزة بأن يختار الشخص غرضًا واحدًا بالضبط من كل صندوق. فعلى سبيل المثال، لكل مجموعة أزواج من الأحذية(حتى لو غير محدودة)، يستطيع الشخص أن ينتقي النعل الأيسر من كل زوج أحذية ليحصل على الاختيار المناسب، ولكن إذا كان الاختيار من مجموعة غير محدودة من أزواج الجوارب (إذا افترضنا أنه ليس لها علامات فارقة)، مثل ذلك الانتقاء يستطيع أن يحصل عليه الشخص إذا استند إلى بديهية الاختيار. وبالرغم من أن تلك النظرية في البداية كانت مثيرة للجدل، لكن نظرية بديهية الاختيار يستخدمها الآن معظم علماء الرياضيات بدون أي تحفُظ، كما دخلت ضمن بديهيات زد إف سي (ZFC)، (وهي نظرية مجموعات زيرميلو-فرينكل مع بديهيات الاختيار) وهي الصيغة القياسيَّة لنظرية المجموعات البديهية. ومن الحوافز التي شجَّعت على هذا الاستخدام هو أن مجموعة من النتائج المقبولة رياضيًا بشكلٍ عام، مثل نظرية تيخونوف، تتطلَّب الاعتماد على بديهية الاختيار لإثبات البراهين. كما قام بعض واضعي نظريات المجموعات المعاصرين بدراسة البديهيات التي لا تتوافق مع بديهية الاختيار، مثل بديهية التحديد. بديهية الاختيار تُعرِض عنها بعض أنواع الرياضيات التركيبيّة، على الرغم من وجود بعض الأنواع الأخرى من الرياضيات التركيبية التي تعتنق فكرة بديهية الاختيار. (ar)
- L'axioma de l'elecció (AE) és un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controvèrsia. Estableix el següent:
* Sigui X una col·lecció de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció. Més formalment seria:
* Existeix una funció f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) és un element de S. Una altra formulació de l'axioma d'elecció estableix que:
* Donat un conjunt de (sense interseccions) no buits, existeix almenys un conjunt que té exactament un element en comú amb cadascun dels conjunts no buits. En una sèrie de capses amb almenys un objecte a cadascuna, l'axioma estableix senzillament que es pot escollir un objecte de cada capsa. On hi ha la dificultat? Bé, vegem-ne alguns exemples: 1.
* Sigui X una col·lecció finita de conjunts no buits. Aquí tot és senzill, i l'axioma d'elecció no és necessari, només cal seguir les regles de la lògica formal. 1.
* Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres naturals {0, 1, 2, 3...}. Llavors f pot ser la funció que escull el menor element de cada conjunt.Novament, l'axioma d'elecció no és necessari, ja que tenim una regla per escollir. 1.
* Sigui X la col·lecció de tots els sub-intervals de (0, 1) amb longitud superior a 0. Llavors f pot ser la funció que escull el punt mitjà de cada interval. Una altra vegada, l'axioma d'elecció no és necessari. 1.
* Sigui X la col·lecció de tots els conjunts no buits dels nombres reals. Llavors tenim un problema. No existeix cap definició òbvia de f, ja que la resta d'axiomes de la teoria de conjunts ZF no ordenen adequadament els nombres reals. Aquí hi ha la clau de l'axioma. Només estableix que existeix alguna funció f que pot escollir un element de cada conjunt de la col·lecció. No dona cap indicació de com s'hauria de definir la funció, senzillament en manté l'existència. Els teoremes la prova dels quals inclou l'axioma d'elecció són sempre no constructius: postulen l'existència de quelcom sense indicar com obtenir-ho. S'ha demostrat que l'axioma d'elecció és independent de la resta d'axiomes de la teoria de conjunts; és a dir, no es pot demostrar ni refutar. Això és el resultat del treball de Kurt Gödel i Paul Cohen. Així, no hi ha contradiccions, tant si s'accepta com si no s'accepta; tanmateix, la majoria dels matemàtics l'accepten, o bé n'accepten una versió feble, ja que així se'ls simplifica la feina. Una de les raons per la qual a alguns matemàtics no els agrada particularment l'axioma d'elecció és que implica l'existència d'alguns objectes estranys no intuïtius. Un exemple d'això és la paradoxa de Banach-Tarski que conclou que és possible de "dividir" l'esfera tridimensional en un nombre de peces finit i, usant només rotació i translació, ajuntar les peces formant dues boles cadascuna amb el mateix volum que l'original. Cal notar que, com totes les proves que inclouen l'axioma d'elecció, no diu com cal fer-ho, només diu que es pot fer. Un dels aspectes més interessants de l'axioma d'elecció és els llocs curiosos de les matemàtiques on surt. Així, hi ha un nombre remarcable d'afirmacions que són equivalents a l'axioma d'elecció. Els més importants són el lema de Zorn i el : cada conjunt pot ser ben ordenat. (De fet, Zermelo va introduir inicialment l'axioma d'elecció per formalitzar la seva prova del principi de bon ordenament). va dir una vegada: "L'axioma d'elecció és òbviament cert, el principi de bon ordenament òbviament fals, i vés a saber si ho és el lema de Zorn?". (ca)
- Axiom výběru (ozn. AC z angl. axiom of choice) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelovy–Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904. (cs)
- Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“.Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. (de)
- Στα μαθηματικά, το αξίωμα της επιλογής ή ΑC είναι ένα αξίωμα της θεωρίας συνόλων που ισοδυναμεί με την δήλωση ότι "το καρτεσιανό γινόμενο μιας συλλογής μη κενών συνόλων είναι μη κενό". Πιο συγκεκριμένα, αναφέρει ότι για κάθε δείκτη του καρτεσιανού γινομένου μη κενών συνόλων υπάρχει μια οικογένεια στοιχείων, τέτοια ώστε για κάθε . Το αξίωμα της επιλογής διατυπώθηκε το 1904 από τον , προκειμένου να επισημοποιήσει την απόδειξη του θεωρήματος της καλής διάταξης. Ανεπισήμως, το αξίωμα της επιλογής λέει ότι για κάθε συγκέντρωση δοχείων, που το καθένα περιέχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο, είναι δυνατόν να κάνεις μια επιλογή ενός αντικειμένου από κάθε δοχείο. Σε πολλές περιπτώσεις, μια τέτοια επιλογή μπορεί να γίνει χωρίς να επικαλείται το αξίωμα της επιλογής, αυτό ισχύει ιδίως στην περίπτωση που ο αριθμός των δοχείων είναι πεπερασμένος, ή αν ο κανόνας επιλογής είναι διαθέσιμος: μια ιδιαίτερη ιδιότητα που τυχαίνει είναι να κρατήσεις ένα αντικείμενο σε κάθε δοχείο. Για να δώσουμε ένα ανεπίσημο παράδειγμα, για οποιοδήποτε (ακόμα και για άπειρο) σύνολο από ζεύγη υποδημάτων, μπορεί κανείς να πάρει το αριστερό παπούτσι από κάθε ζεύγος και να κάνει μια κατάλληλη επιλογή, αλλά για ένα μη πεπερασμένο σύνολο από ζεύγη κάλτσες (υποτίθεται ότι δεν έχουν διακριτικά χαρακτηριστικά), μια τέτοια επιλογή μπορεί να επιτευχθεί μόνο με την επίκληση του αξιώματος της επιλογής. Αν και αρχικά, το αξίωμα της επιλογής τώρα χρησιμοποιείται χωρίς επιφύλαξη από τους περισσότερους μαθηματικούς, , και αυτό περιλαμβάνεται στο Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων μαζί με το αξίωμα της επιλογής, το πρότυπο έντυπο της . Ένα κίνητρο για τη χρήση αυτή είναι ότι ένα πλήθος μαθηματικών αποδέχτηκαν το αποτέλεσμα, όπως το ,που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για τις αποδείξεις τους. Σύγχρονοι θεωρητικοί έχουν μελετήσει επίσης αξιώματα που δεν είναι συμβατά με το αξίωμα της επιλογής, όπως το . Το αξίωμα της επιλογής αποφεύγεται σε ορισμένα είδη δομημένων μαθηματικών, αν και υπάρχουν είδη των δομημένων μαθηματικών στα οποία το αξίωμα της επιλογής γίνετε αποδεκτό. (el)
- En matematiko, la aksiomo de elekto, aŭ AC, estas aksiomo de aroteorio. Neformale, la aksiomo de elekto statas ke por ĉiu donita kolekto de ujoj, ĉiu enhavanta po almenaŭ unu objekto, eblas fari elekton de akurate unu objekto el ĉiu ujo, eĉ se estas malfinie multaj ujoj kaj ne estas regulo por tio kiun objekton preni el ĉiu ujo. La aksiomo de elekto estas ne postulita se la kvanto de ujoj estas finia aŭ se aparta regulo por la elektado estas havebla. La aksiomo de elekto estas ofte uzata kune kun la aksiomoj de (ZF): ZFC estas kutima mallongigo por "la aksiomoj de Zermelo-Fraenkel plus la aksiomo de elekto (angle choice)". La aksiomo de elekto estis formulita en 1904 de Ernst Zermelo. Kvankam originale kontraŭa, ĝi estas nun uzata sen rezervo per plejparto de matematikistoj. Unu motivado por ĉi tiu uzo estas ke multaj gravaj matematikaj rezultoj, kiel , postulas la aksiomon de elekto por iliaj pruvoj. Modernaj araj teoriistoj ankaŭ studas aksiomojn kiuj estas ne kongruaj kun la aksiomo de elekto, kiel la . Malsimile al la aksiomo de elekto, ĉi tiuj alternativoj estas kutime ne proponataj kiel aksiomoj por matematiko, sed nur kiel principoj en aroteorio kun interesaj konsekvencoj. (eo)
- In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that a Cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty. Informally put, the axiom of choice says that given any collection of sets, each containing at least one element, it is possible to construct a new set by arbitrarily choosing one element from each set, even if the collection is infinite. Formally, it states that for every indexed family of nonempty sets, there exists an indexed set such that for every . The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem. In many cases, a set arising from choosing elements arbitrarily can be made without invoking the axiom of choice; this is, in particular, the case if the number of sets from which to choose the elements is finite, or if a canonical rule on how to choose the elements is available – some distinguishing property that happens to hold for exactly one element in each set. An illustrative example is sets picked from the natural numbers. From such sets, one may always select the smallest number, e.g. given the sets {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} the set containing each smallest element is {4, 10, 1}. In this case, "select the smallest number" is a choice function. Even if infinitely many sets were collected from the natural numbers, it will always be possible to choose the smallest element from each set to produce a set. That is, the choice function provides the set of chosen elements. However, no definite choice function is known for the collection of all non-empty subsets of the real numbers (if there are non-constructible reals). In that case, the axiom of choice must be invoked. Bertrand Russell coined an analogy: for any (even infinite) collection of pairs of shoes, one can pick out the left shoe from each pair to obtain an appropriate collection (i.e. set) of shoes; this makes it possible to define a choice function directly. For an infinite collection of pairs of socks (assumed to have no distinguishing features), there is no obvious way to make a function that forms a set out of selecting one sock from each pair, without invoking the axiom of choice. Although originally controversial, the axiom of choice is now used without reservation by most mathematicians, and it is included in the standard form of axiomatic set theory, Zermelo–Fraenkel set theory with the axiom of choice (ZFC). One motivation for this use is that a number of generally accepted mathematical results, such as Tychonoff's theorem, require the axiom of choice for their proofs. Contemporary set theorists also study axioms that are not compatible with the axiom of choice, such as the axiom of determinacy. The axiom of choice is avoided in some varieties of constructive mathematics, although there are varieties of constructive mathematics in which the axiom of choice is embraced. (en)
- En teoría de conjuntos, el axioma de elección (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «cajas» con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, o cuando existe una regla bien determinada que permite «elegir» un único elemento de cada conjunto de ella. Sin embargo, el axioma es indispensable en el caso más general de una familia infinita arbitraria. Fue formulado en 1904 por Ernst Zermelo, para demostrar que todo conjunto puede ser bien ordenado. Aunque originalmente fue controvertido, hoy en día es usado sin reservas por la mayoría de los matemáticos. Hay aún, sin embargo, especialmente en la teoría de conjuntos, corrientes de opinión que rechazan el axioma o que investigan consecuencias de otros axiomas inconsistentes con él. (es)
- Dalam matematika, aksioma pemilihan, atau AC (axiom of choice), adalah sebuah aksioma dari teori himpunan yang setara dengan pernyataan bahwa hasil kali Kartesius dari kumpulan dari himpunan tidak kosong adalah himpunan tidak kosong pula. Ini menyatakan bahwa untuk setiap keluarga berindeks dari himpunan tidak kosong terdapat sebuah keluarga berindeks dari unsur-unsur tersebut sedemikian sehingga untuk setiap . Secara sederhananya, aksioma pemilihan menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang kumpulan wadah, dengan tiap-tiap wadah memuat setidaknya satu benda, maka dapat dipilih tepat satu benda dari tiap wadah, walaupun kumpulan tersebut tak hingga. Aksioma pilihan dirumuskan pada tahun 1904 oleh Ernst Zermelo dalam rangka untuk menyusun bukti . (in)
- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
- 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。 (ja)
- L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904. Esso afferma che Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. In termini non formali, l'assioma assicura che, quando viene dato un aggregato di insiemi non vuoti si può sempre costruire un nuovo aggregato "scegliendo" un singolo elemento (scelta del rappresentante) da ciascuno dagli insiemi di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito, l'assioma della scelta non è necessario poiché gli altri assiomi della teoria degli insiemi sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'assioma della scelta appunto. Può essere enunciato in più modi, uno dei quali è il seguente : dato un insieme I, non vuoto, (aggregato di insiemi) i cui elementi sono a lor volta insiemi non vuoti, è possibile scegliere un elemento per ogni insieme e considerarlo come un rappresentante dell’insieme stesso e costruire con questi rappresentanti un nuovo insieme II, da sostituire ad I. E’ chiaro che, se I è un insieme finito, i cui elementi sono insiemi finiti, l’assioma di Zermelo si riduce ad una affermazione banale; ma ben altra è la sua portata se I è un insieme infinito e se i suoi elementi sono, a lor volta, insiemi infiniti : la possibilità pratica delle infinite scelte, ovviamente, va esclusa, e si tratta quindi di stabilire se è accettabile sul piano logico la possibilità di pensare a tali infinite scelte, immaginando un processo illimitatamente iterato; l’atteggiamento più comune è quello di chiedersi se l’assioma delle infinite scelte è una proposizione vera o falsa e, nel primo caso accettarla, mentre nel secondo respingerla. Rileggendo l'enunciato dell'assioma delle scelte, si comprende facilmente che se l'aggregato I è bene ordinato, allora l'assioma è logicamente valido. Invero, la scelta del rappresentante per ogni insieme dell'aggregato è in tal caso, possibile, adottando un unico criterio di scelta e non più un'infinità di scelte; basta infatti scegliere in ogni insieme dell'aggregato sempre il primo elemento (la cui esistenza è assicurata dal buon ordinamento dell'insieme). Consideriamo questa proposizione come un assioma che si può enunciare, ma non dimostrare in termini logici, ma che è utile, sebbene non indispensabile, in molti campi della matematica. Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è quello di Bertrand Russell: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini (supponendo che il destro e il sinistro non siano distinguibili), e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste bisogna invocare l'assioma della scelta. L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo AC (dall'inglese Axiom of Choice), soprattutto nell'ambito della logica matematica. (it)
- 집합론에서 선택 공리(選擇公理, 영어: axiom of choice, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다. (ko)
- Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma uit de verzamelingenleer, dat in 1904 werd geformuleerd door Ernst Zermelo. Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een oneindige collectie verzamelingen, altijd mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen precies één element te kiezen, ook al is er geen "keuzeregel" gedefinieerd die bepaalt welk element uit ieder van deze verzamelingen gekozen moet worden. Preciezer geformuleerd: Zij een oneindige collectie niet-lege verzamelingen, dan kan men uit elke verzameling van die collectie een element kiezen, dat wil zeggen dat er een keuzefunctie bestaat, gedefinieerd op , zodanig dat voor elke verzameling in geldt, dat een element is van . Het keuzeaxioma wordt in tal van deelgebieden van de wiskunde gebruikt. Het heet een axioma omdat het niet kan worden bewezen uit de andere axioma's van de verzamelingenleer. Het is er echter ook niet mee in tegenspraak. Het is equivalent met een aantal stellingen, waaronder het lemma van Zorn en de welordeningsstelling. Elk van deze zou dus ook als axioma beschouwd kunnen worden, en het keuzeaxioma een stelling die op basis van dat axioma bewezen kan worden. Het keuzeaxioma wordt niet vereist als er sprake is van een eindig aantal verzamelingen of als er wel een "keuzeregel" is gedefinieerd. (nl)
- Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC (od ang. axiom of choice) – aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych. Postulowany zbiór jest nazywany selektorem. Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie przyjmowanych aksjomatów Zermela-Fraenkla (ZF). Teorie mnogości oparte o aksjomaty ZF oraz aksjomat AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Można również rozważać teorie mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC. Większość matematyków uznaje i stosuje AC, jednak w dowodach twierdzeń zazwyczaj wyraźnie zaznacza się, gdy zakłada się AC. Dowody te nazywa się nieefektywnymi; zwykle są one także niekonstruktywne, gdy mówią jedynie o istnieniu danego obiektu, jednak nie wskazują go (nie podają konstrukcji; por. intuicjonizm). W przypadku rodzin zbiorów skończonych aksjomat wyboru jest trywialny (tzn. wynika z innych aksjomatów). W przypadku rodzin zbiorów nieskończonych aksjomat AC również wydaje się intuicyjny, jednak jego konsekwencje bywają zaskakujące. Na przykład Stefan Banach i Alfred Tarski korzystając z AC udowodnili twierdzenie o paradoksalnym rozkładzie kuli (kulę z trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej można rozłożyć na sześć części, a następnie z tych części można złożyć, korzystając wyłącznie z obrotów i przesunięć, dwie kule identyczne jak kula wyjściowa). (pl)
- Urvalsaxiomet är ett mängdteoretiskt axiom som först formulerades av 1904. Urvalsaxiomet var förr kontroversiellt (och är till viss del det fortfarande). Som beteckning för urvalsaxiomet används den väletablerade förkortningen AC (bokstäverna står för engelska "Axiom of Choice"). En mängdteori (axiomuppsättning) som inkluderar AC sägs vara en teori "med urval". AC säger att om vi har en mängd av icke-tomma mängder så finns det en funktion, den så kallade urvalsfunktionen, som väljer ut ett element ur var och en av dessa. Med andra ord, låt vara en godtycklig mängd av icke-tomma mängder. Då gäller att: En ofta använd formulering är även att en godtycklig kartesisk produkt av icke-tomma mängder är icke-tom. Att dessa båda formuleringar är ekvivalenta fås genom definitionen av den kartesiska produkten för oändliga produkter: Existensen av en urvalsfunktion är alltså ekvivalent med att det finns en funktion f i mängden som definierar den kartesiska produkten. I en modifierad form av urvalsaxiomet, det , är begränsad till att vara uppräknelig. Problemet med AC är att det inte är så enkelt som övriga axiom i Zermelo–Fraenkels mängdteori (ZF). Ändå tycks AC vara nödvändigt för att bevisa många saker som borde vara sanna men som inte följer ur endast ZF. AC följer alltså inte av axiomen i ZF, så därför bildade man en ny mängdteori, ZFC (Zermelo-Fraenkels mängdteori med urval). Några kopplingar mellan AC och andra satser:
* AC är ekvivalent med välordningssatsen.
* AC är ekvivalent med Zorns lemma.
* AC är ekvivalent med påståendet att α = α2, för varje oändligt kardinaltal α.
* AC implicerar Banach-Tarskis paradox.
* AC impliceras av .
* AC är ekvivalent med Tychonoffs sats.
* AC är ekvivalent med påståendet "varje vektorrum har en bas". (sv)
- Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC (от axiom of choice) называется следующее высказывание теории множеств: На формальном языке: Если мы ограничимся рассмотрением только конечных семейств множеств, то утверждение аксиомы выбора может быть доказано исходя из других аксиом теории множеств и не требует постулирования в качестве отдельной аксиомы. Оно также может быть доказано для некоторых бесконечных семейств, однако в общем случае для бесконечных семейств аксиома выбора не следует из других аксиом и является независимым утверждением. (ru)
- 选择公理（英語：Axiom of Choice，縮寫AC）是数学中的一条集合论公理。这条公理声明，对所有非空指标集族，总存在一个索引族，对每一个，均有。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地說，选择公理声明：給定一些盒子（可以是無限個），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征）这两种情况下。關於“存在具體的選擇規則”可以透過以下例子理解：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择，由於在鞋子之中“存在具體的選擇規則”(左边的鞋子不同於右边的鞋子)，故不需要選擇公理，仍可做出有效的選擇。然而，假设有无限双袜子，且每双袜子都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性，选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。 在一些構造性數學的理論中會避免选择公理的使用，不過也有的將选择公理包括在內。 (zh)
- Аксіома вибору в математиці — аксіома теорії множин, яка еквівалентна твердженню, що декартів добуток колекції непорожніх множин є також не порожнім.Аксіома вибору стверджує: «Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною цього сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначене правило вибору елемента з кожної множини.» Формально, аксіома стверджує, що для кожного індексованого сімейства непорожніх множин існує індексоване сімейство елементів , таких що для кожного . Аксіому вибору сформулював 1904 року Ернст Цермело. За допомогою аксіоми вибору можна отримати такі результати, як теорема Тихонова, та довести парадокс Банаха — Тарського. У багатьох випадках такий вибір можна здійснити без посилання на аксіому вибору; зокрема, якщо кількість множин є скінченною або якщо існує правило вибору: властивість відбору, яка є справедливою для лише одного елемента в кожній множині. Наочним прикладом цього є множини з натуральних чисел. З кожної множини завжди можна вибрати найменше число, наприклад, у множинах {{4,5,6}, {10,12}, {1,400,617,8000}} найменшими елементами є {4, 10, 1}. У цьому випадку «вибір найменшого числа» є функцією вибору. Навіть якщо вибрати нескінченно багато множин із натуральних чисел, завжди можливо вибрати найменший елемент із кожної множини й утворити з них множину. Отже, функція вибору визначає множину вибраних елементів. Однак функція вибору не відома для знаходження колекції всіх непорожніх підмножин дійсних чисел. У такому разі необхідно застосовувати аксіому вибору. Рассел навів аналогію: для будь-якої (навіть нескінченної) колекції пар взуття можна вибрати лівий черевик із кожної пари і утворити відповідний вибір; що робить можливим безпосередньо визначити функцію вибору. Для нескінченної колекції пар шкарпеток (таких, що не мають ознак для розпізнавання), не існує очевидного способу знайти функцію, яка б дозволила вибирати шкарпетку із кожної пари, не застосовуючи аксіому вибору. (uk)
|
| rdfs:comment
|
- Axiom výběru (ozn. AC z angl. axiom of choice) je axiom často přidávaný k obvyklým axiomům Zermelovy–Fraenkelovy teorie množin (ZF). Poprvé jej formuloval Ernst Zermelo v roce 1904. (cs)
- Das Auswahlaxiom ist ein Axiom der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre. Es wurde erstmals von Ernst Zermelo 1904 formuliert. Das Auswahlaxiom besagt, dass zu jeder Menge von nichtleeren Mengen eine Auswahlfunktion existiert, also eine Funktion, die jeder dieser nichtleeren Mengen ein Element derselben zuordnet und somit „auswählt“.Für endliche Mengen kann man das auch ohne dieses Axiom folgern, daher ist das Auswahlaxiom nur für unendliche Mengen interessant. (de)
- Dalam matematika, aksioma pemilihan, atau AC (axiom of choice), adalah sebuah aksioma dari teori himpunan yang setara dengan pernyataan bahwa hasil kali Kartesius dari kumpulan dari himpunan tidak kosong adalah himpunan tidak kosong pula. Ini menyatakan bahwa untuk setiap keluarga berindeks dari himpunan tidak kosong terdapat sebuah keluarga berindeks dari unsur-unsur tersebut sedemikian sehingga untuk setiap . Secara sederhananya, aksioma pemilihan menyatakan bahwa apabila diberikan sebarang kumpulan wadah, dengan tiap-tiap wadah memuat setidaknya satu benda, maka dapat dipilih tepat satu benda dari tiap wadah, walaupun kumpulan tersebut tak hingga. Aksioma pilihan dirumuskan pada tahun 1904 oleh Ernst Zermelo dalam rangka untuk menyusun bukti . (in)
- En mathématiques, l'axiome du choix, abrégé en « AC », est un axiome de la théorie des ensembles qui « affirme la possibilité de construire des ensembles en répétant une infinité de fois une action de choix, même non spécifiée explicitement. » Il a été formulé pour la première fois par Ernest Zermelo en 1904 pour la démonstration du théorème de Zermelo. L'axiome du choix peut être accepté ou rejeté, selon la théorie axiomatique des ensembles choisie. (fr)
- 選択公理（せんたくこうり、英: axiom of choice、選出公理ともいう）とは公理的集合論における公理のひとつで、どれも空でないような集合を元とする集合（すなわち、集合の集合）があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるというものである。1904年にエルンスト・ツェルメロによって初めて正確な形で述べられた。 (ja)
- 집합론에서 선택 공리(選擇公理, 영어: axiom of choice, 약자 AC)는 공집합이 아닌 집합에서 한 원소를 고를 수 있으며, 또한 이를 무한 번 반복할 수 있다는 공리이다. 직관적으로 자연스러워 보이지만, 비직관적인 결과를 함의한다. (ko)
- Аксио́мой вы́бора, англ. аббр. AC (от axiom of choice) называется следующее высказывание теории множеств: На формальном языке: Если мы ограничимся рассмотрением только конечных семейств множеств, то утверждение аксиомы выбора может быть доказано исходя из других аксиом теории множеств и не требует постулирования в качестве отдельной аксиомы. Оно также может быть доказано для некоторых бесконечных семейств, однако в общем случае для бесконечных семейств аксиома выбора не следует из других аксиом и является независимым утверждением. (ru)
- في علم الرياضيات، نظرية بديهية الاختيار، أو إيه سي (AC)، هي بديهية من نظرية المجموعات تساوي الملاحظة التي تقول"أن [[الجداء الديكارتي# حاصل الضرب لمجموعة من المجموعات غير الخالية هو بالفعل مجموعة غير خالية". وتقول النظرية بشكل واضح أن لكل فئة مُجَدولة من المجموعات غير الخالية توجد فئة مُجَدولة من العناصر حيث لكل . وُضِعت نظرية بديهية الاختيار في عام 1904 من قِبل العَالِم إرنست زيرميلو (Ernst Zermelo) وذلك لكي يُقيم برهانه على نظرية الترتيب الكلي. (ar)
- L'axioma de l'elecció (AE) és un axioma de la teoria de conjunts. El va formular Ernst Zermelo a 1904, i aleshores va provocar una certa controvèrsia. Estableix el següent:
* Sigui X una col·lecció de conjunts no buits. Llavors podem escollir un membre de cada conjunt de la col·lecció. Més formalment seria:
* Existeix una funció f definida en X tal que per a cada conjunt S en X, f(S) és un element de S. Una altra formulació de l'axioma d'elecció estableix que: Bé, vegem-ne alguns exemples: 1.
* Sigui X una col·lecció finita de conjunts no buits. (ca)
- Στα μαθηματικά, το αξίωμα της επιλογής ή ΑC είναι ένα αξίωμα της θεωρίας συνόλων που ισοδυναμεί με την δήλωση ότι "το καρτεσιανό γινόμενο μιας συλλογής μη κενών συνόλων είναι μη κενό". Πιο συγκεκριμένα, αναφέρει ότι για κάθε δείκτη του καρτεσιανού γινομένου μη κενών συνόλων υπάρχει μια οικογένεια στοιχείων, τέτοια ώστε για κάθε . Το αξίωμα της επιλογής διατυπώθηκε το 1904 από τον , προκειμένου να επισημοποιήσει την απόδειξη του θεωρήματος της καλής διάταξης. (el)
- In mathematics, the axiom of choice, or AC, is an axiom of set theory equivalent to the statement that a Cartesian product of a collection of non-empty sets is non-empty. Informally put, the axiom of choice says that given any collection of sets, each containing at least one element, it is possible to construct a new set by arbitrarily choosing one element from each set, even if the collection is infinite. Formally, it states that for every indexed family of nonempty sets, there exists an indexed set such that for every . The axiom of choice was formulated in 1904 by Ernst Zermelo in order to formalize his proof of the well-ordering theorem. (en)
- En matematiko, la aksiomo de elekto, aŭ AC, estas aksiomo de aroteorio. Neformale, la aksiomo de elekto statas ke por ĉiu donita kolekto de ujoj, ĉiu enhavanta po almenaŭ unu objekto, eblas fari elekton de akurate unu objekto el ĉiu ujo, eĉ se estas malfinie multaj ujoj kaj ne estas regulo por tio kiun objekton preni el ĉiu ujo. La aksiomo de elekto estas ne postulita se la kvanto de ujoj estas finia aŭ se aparta regulo por la elektado estas havebla. (eo)
- En teoría de conjuntos, el axioma de elección (o axioma de escogencia), es un axioma que postula que para cada familia de conjuntos no vacíos, existe otro conjunto que contiene un elemento de cada uno de aquellos. De manera informal, afirma que dada una colección de «cajas» con objetos dentro de ellas, es posible elegir un objeto de cada caja. Que este procedimiento puede llevarse a cabo es trivialmente cierto siempre que dicha familia sea finita, o cuando existe una regla bien determinada que permite «elegir» un único elemento de cada conjunto de ella. Sin embargo, el axioma es indispensable en el caso más general de una familia infinita arbitraria. (es)
- L'assioma della scelta è un assioma di teoria degli insiemi enunciato per la prima volta da Ernst Zermelo nel 1904. Esso afferma che Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento. Consideriamo questa proposizione come un assioma che si può enunciare, ma non dimostrare in termini logici, ma che è utile, sebbene non indispensabile, in molti campi della matematica. L'assioma della scelta viene talvolta indicato con l'acronimo AC (dall'inglese Axiom of Choice), soprattutto nell'ambito della logica matematica. (it)
- Het keuzeaxioma is een enigszins controversieel axioma uit de verzamelingenleer, dat in 1904 werd geformuleerd door Ernst Zermelo. Het keuzeaxioma zegt dat het, gegeven een oneindige collectie verzamelingen, altijd mogelijk is om uit elk van deze verzamelingen precies één element te kiezen, ook al is er geen "keuzeregel" gedefinieerd die bepaalt welk element uit ieder van deze verzamelingen gekozen moet worden. Preciezer geformuleerd: Het keuzeaxioma wordt niet vereist als er sprake is van een eindig aantal verzamelingen of als er wel een "keuzeregel" is gedefinieerd. (nl)
- Aksjomat wyboru, pewnik wyboru, AC (od ang. axiom of choice) – aksjomat teorii mnogości gwarantujący istnienie zbioru zawierającego dokładnie po jednym elemencie z każdego zbioru należącego do danej rodziny niepustych zbiorów rozłącznych. Postulowany zbiór jest nazywany selektorem. Aksjomat AC jest niezależny od powszechnie przyjmowanych aksjomatów Zermela-Fraenkla (ZF). Teorie mnogości oparte o aksjomaty ZF oraz aksjomat AC oznacza się zwykle skrótem ZFC. Można również rozważać teorie mnogości oparte na ZF, w których przyjęto negację AC. (pl)
- Urvalsaxiomet är ett mängdteoretiskt axiom som först formulerades av 1904. Urvalsaxiomet var förr kontroversiellt (och är till viss del det fortfarande). Som beteckning för urvalsaxiomet används den väletablerade förkortningen AC (bokstäverna står för engelska "Axiom of Choice"). En mängdteori (axiomuppsättning) som inkluderar AC sägs vara en teori "med urval". En ofta använd formulering är även att en godtycklig kartesisk produkt av icke-tomma mängder är icke-tom. Att dessa båda formuleringar är ekvivalenta fås genom definitionen av den kartesiska produkten för oändliga produkter: (sv)
- 选择公理（英語：Axiom of Choice，縮寫AC）是数学中的一条集合论公理。这条公理声明，对所有非空指标集族，总存在一个索引族，对每一个，均有。选择公理最早于1904年，由恩斯特·策梅洛为证明良序定理而公式化完成。 非正式地說，选择公理声明：給定一些盒子（可以是無限個），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具體的選擇規則”（當每個盒子都恰好只有一个小球具有某項特征）这两种情况下。關於“存在具體的選擇規則”可以透過以下例子理解：假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择，由於在鞋子之中“存在具體的選擇規則”(左边的鞋子不同於右边的鞋子)，故不需要選擇公理，仍可做出有效的選擇。然而，假设有无限双袜子，且每双袜子都没有可区分的特征，在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。 尽管曾具有争议性，选择公理現在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。現代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。 (zh)
- Аксіома вибору в математиці — аксіома теорії множин, яка еквівалентна твердженню, що декартів добуток колекції непорожніх множин є також не порожнім.Аксіома вибору стверджує: «Для довільного сімейства непорожніх множин, що не перетинаються, існує множина, яка має рівно один спільний елемент з кожною множиною цього сімейства, навіть якщо множин у сімействі нескінченно багато і невизначене правило вибору елемента з кожної множини.» За допомогою аксіоми вибору можна отримати такі результати, як теорема Тихонова, та довести парадокс Банаха — Тарського. (uk)
|
