In mathematics, affine geometry is what remains of Euclidean geometry when not using (mathematicians often say "when forgetting") the metric notions of distance and angle. As the notion of parallel lines is one of the main properties that is independent of any metric, affine geometry is often considered as the study of parallel lines. Therefore, Playfair's axiom (given a line L and a point P not on L, there is exactly one line parallel to L that passes through P) is fundamental in affine geometry. Comparisons of figures in affine geometry are made with affine transformations, which are mappings that preserve alignment of points and parallelism of lines.

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  • في الهندسة الرياضية, الهندسة التآلفية أو الهندسة الأفينية هي الهندسة الرياضية التي تشغل مكاناً متوسطا ًبين الهندسة الاقليدية والهندسة الإسقاطية. هي هندسة الفضاء الأفيني ذي n بعد على الحقل. يمكن شرح الهندسة الأفينية على أنها هندسة المتجهات دون أي تدخل لطول وزوايا في عملية توصيفها. (ar)
  • La geometria afí és la geometria dels espai afins. Sense expressar-se amb gran rigor, utilitza les propietats de les varietats lineals definides en un espai afí per tractar temes com l'alineació, el paral·lelisme o la intersecció amb eines de l'àlgebra lineal. La geometria afí és aliena a les nocions d'angle i distància: aquestes propietats depenen d'altres estructures independents del nucli de la geometria afí com ara el producte escalar o la norma. Més formalment, la geometria afí és, segons la visió heretada del Programa d'Erlangen que hem adoptat avui en dia, l'estudi dels invariants del grup afí. És a dir, de les aplicacions que conserven la i transformen varietats paral·leles en varietat paral·leles. A la Geometria afí reapareixen i es demostren alguns teoremes clàssics con els teoremes de Menelau, de Ceva o de Tales. També proporciona consistència a l'ús de coordenades baricèntriques o cartesianes i facilita la resolució de problemes mitjançant vectors amb coordenades o sense. (ca)
  • Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky a nie su tam úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu. Model pro afinní geometrii je obvykle afinní prostor spolu s množinou afinit. Afinity převádějí přímky na přímky a zachovávají rovnoběžnost a bodů v přímce. V reálné afinní rovině afinní transformace také zachovávají středy úseček, těžiště trojúhelníků, převádějí elipsy na elipsy, paraboly na paraboly a hyperboly na hyperboly. Afinní geometrii v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. V lineární algebře se dá afinní prostor zkonstruovat z libovolného vektorového prostoru nad tělesem jako jeho afinní rozšíření. Afinní báze afinního prostoru je pevně zvolený bod (počátek souřadnicové soustavy) a n vektorů , které tvoří bázi příslušného vektorového prostoru. Libovolný bod x je pak možné vyjádřit jednoznačně jako . Koeficienty se nazývají souřadnice bodu x. Transformace, které zachovávají afinní strukturu, jsou tzv. afinní transformace. Jsou to všechna zobrazení, které se v pevně zvolených souřadnicích dají popsat kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí. Množina všech invertibilních afinních transformací se nazývá afinní grupa. Obsahuje všechna posunutí a regulární lineární zobrazení vektorů. Afinní geometrii lze dostat z obecnější projektivní geometrie. Jedna nadrovina projektivního prostoru se stane význačnou a afinity jsou pak projektivity zachovávající tuto nadrovinu, tzv. nadrovinu nevlastních bodů (směrů). (cs)
  • In mathematics, affine geometry is what remains of Euclidean geometry when not using (mathematicians often say "when forgetting") the metric notions of distance and angle. As the notion of parallel lines is one of the main properties that is independent of any metric, affine geometry is often considered as the study of parallel lines. Therefore, Playfair's axiom (given a line L and a point P not on L, there is exactly one line parallel to L that passes through P) is fundamental in affine geometry. Comparisons of figures in affine geometry are made with affine transformations, which are mappings that preserve alignment of points and parallelism of lines. Affine geometry can be developed in two ways that are essentially equivalent. In synthetic geometry, an affine space is a set of points to which is associated a set of lines, which satisfy some axioms (such as Playfair's axiom). Affine geometry can also be developed on the basis of linear algebra. In this context an affine space is a set of points equipped with a set of transformations (that is bijective mappings), the translations, which forms a vector space (over a given field, commonly the real numbers), and such that for any given ordered pair of points there is a unique translation sending the first point to the second; the composition of two translations is their sum in the vector space of the translations. In more concrete terms, this amounts to having an operation that associates to any ordered pair of points a vector and another operation that allows translation of a point by a vector to give another point; these operations are required to satisfy a number of axioms (notably that two successive translations have the effect of translation by the sum vector). By choosing any point as "origin", the points are in one-to-one correspondence with the vectors, but there is no preferred choice for the origin; thus an affine space may be viewed as obtained from its associated vector space by "forgetting" the origin (zero vector). Although this article only discusses affine spaces, the notion of "forgetting the metric" is much more general, and can be applied to arbitrary manifolds, in general. This extension of the notion of affine spaces to manifolds in general is developed in the article on the affine connection. (en)
  • En la matemática, la geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que permanecen inmutables bajo las transformaciones afines, como por ejemplo las transformaciones lineales no singulares y traslaciones. El nombre de geometría afín así como el de geometría proyectiva y geometría euclídea se sigue naturalmente del programa Erlangen de Felix Klein. La geometría afín es un tipo de geometría donde la noción de ángulo está indefinida y las distancias no pueden ser comparadas en diferentes direcciones, es decir, el tercer y cuarto postulados de Euclides son ignorados. Muchas de las propiedades afines son familiares de la geometría euclidea, pero además aplicables a un espacio de Minkowski. Esas propiedades de la geometría euclidea que son preservadas por una proyección paralela de un plano a otro son afines. De hecho, la geometría afín es una generalización de la geometría euclídea caracterizada por una distorsión en la escala e inclinación. La geometría proyectiva es más general que la afín dado que esta puede ser derivada del espacio proyectivo mediante una "especialización" de cualquier plano. En el lenguaje del Programa de Erlangen de Felix Klein, la simetría geometría afín viene dada por el grupo de afinidades, es decir, el grupo de transformaciones generadas por las transformaciones lineales de un espacio vectorial en sí mismo mediante la traslación por un vector. La geometría afín puede ser desarrollada con la base de un álgebra lineal. Se puede definir el espacio afín como un conjunto de puntos equipados con un conjunto de transformaciones que forma el grupo aditivo de un espacio vectorial sobre un cuerpo dado, y tal que para cualquier par de puntos existe una única traslación que lleva el primero al segundo. En términos más específicos, se tiene una operación que asocia a cualquier par de puntos un vector, de modo que este da una traslación de un punto al otro, cuya operación verifica unos ciertos axiomas. Tomando cualquier punto como el origen, el resto de puntos están univocamente correspondidos con un vector, esto permite caracterizar el espacio afín con su espacio vectorial asociado ignorando el origen. (es)
  • In matematica, la geometria affine è la geometria che studia gli spazi affini. Tratta essenzialmente quegli argomenti della geometria euclidea che possono essere sviluppati senza l'uso dei concetti di misura degli angoli e di rapporto tra due segmenti non paralleli. Occupa un posto intermedio fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva; in quest'ultimo caso anche la nozione di parallelismo perde di significato. Il suo studio fa largo uso dell'algebra lineare. (it)
  • La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de longueur et d'angle lui sont toutefois étrangères : elles dépendent de structures supplémentaires, traitées dans le cadre de la géométrie euclidienne. Dissocier les notions propres à la géométrie affine est récent dans l'histoire des mathématiques. La définition formelle actuelle d'un espace affine présuppose la donnée d'un espace vectoriel, appelé l'espace directeur. Deux points d'un espace affine peuvent se soustraire pour donner un vecteur de l'espace directeur. Parmi les résultats remarquables de la géométrie affine, on peut citer : * le théorème de Thalès, * l'associativité du barycentre, * le théorème de Ménélaüs, * le théorème de Ceva, etc. Un certain nombre de résultats de la géométrie affine s'étendent dans le cadre de la géométrie projective. Le complémentaire d'un hyperplan projectif dans un espace projectif apparait naturellement comme un espace affine. Le groupe de transformations d'un espace affine est appelé groupe affine. Il est engendré par les dilatations, les transvections, et les translations. Certaines transformations, comme les inversions, ne préservent pas les propriétés de la géométrie affine. En géométrie différentielle, la donnée d'une connexion plate équivaut à la donnée d'un atlas dont les applications de changement de cartes sont des transformations affines. (fr)
  • 아핀 기하학(affine幾何學, 영어: affine geometry)은 공선과 평행 따위의 아핀 변환에 대하여 불변인 기하학적 성질들을 다루는 수학 분야이다. (ko)
  • De affiene meetkunde is de meetkunde, geïntroduceerd door Leonhard Euler, die een generalisatie is van de euclidische meetkunde, waarin de begrippen afstand en hoek geen betekenis hebben. In de affiene meetkunde blijft het parallellenpostulaat gehandhaafd, maar gelden het derde en het vierde postulaat van Euclides niet meer. (nl)
  • Geometria afiniczna – geometria, w której podstawową figurą geometryczną jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych, a podstawowym odwzorowaniem tzw. . Treścią tej teorii jest m.in. badanie własności figur geometrycznych niezmienniczych ze względu na grupę tych przekształceń. Tutaj bowiem obok podobieństw (przesunięć, obrotów i jednokładności) dochodzą jeszcze rozciąganie i zgniatanie wzdłuż jakiejś prostej. Te ostatnie deformacje mogą być efektem np. rzutowań równoległych. W ujęciu Feliksa Kleina geometria afiniczna jest pewną grupą odwzorowań pośrednią między a . (pl)
  • Аффи́нная геоме́трия (лат. affinis ‘родственный’) — раздел геометрии, вкотором изучаются свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (например, отношение направленных отрезков, параллельность прямых и так далее).Группа аффинных преобразований содержит различные подгруппы, которым соответствуют геометрии, подчинённые аффинной: , и другие. (ru)
  • Geometria afim é a geometria que não está envolvida em quaisquer noções de origem, extensão ou ângulo, mas com as noções de subtração dos pontos, gerando um vetor. Ela ocupa um terreno intermediário entre a geometria euclidiana e a geometria projetiva. É a geometria do espaço afim, de uma dada dimensão n, coordenada sobre um corpo K. Há também (em duas dimensões) uma generalização combinadora do espaço afim, desenvolvendo-se em uma completa geometria finita, e a geometria afim está em dominante tradição nos Séculos XIX e vinte. (pt)
  • Афі́нна геоме́трія (лат. affinis — споріднений) — розділ геометрії, що вивчає властивості , інваріантні (незмінні) відносно афінних перетворень, тобто таких взаємно однозначних точкових відображень евклідової площини на евклідову площину або евклідового простору на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин. У декартових координатах афінне перетворення площини в себе виражається формулами: * х' = а1х + b1y + с1 * у' = а2х + b2у + с2 причому a1b2 — a2b1 ≠ 0. Тут х, у — координати довільної точки М; х', у' — координати її образу. Афінні перетворення, а значить і афінна геометрія, широко застосовуються в геометрії і прикладних науках (теорія пружності та ін.). (uk)
  • 在几何上,仿射几何是不涉及任何原点、长度或者角度概念的几何,但是有两点相减得到一个向量的概念。 它位于欧氏几何和射影几何之间。它是在域K上任意维仿射空间的几何。K为实数域的情况所包含的内容足够使人了解其大部分思想。 (zh)
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  • في الهندسة الرياضية, الهندسة التآلفية أو الهندسة الأفينية هي الهندسة الرياضية التي تشغل مكاناً متوسطا ًبين الهندسة الاقليدية والهندسة الإسقاطية. هي هندسة الفضاء الأفيني ذي n بعد على الحقل. يمكن شرح الهندسة الأفينية على أنها هندسة المتجهات دون أي تدخل لطول وزوايا في عملية توصيفها. (ar)
  • In matematica, la geometria affine è la geometria che studia gli spazi affini. Tratta essenzialmente quegli argomenti della geometria euclidea che possono essere sviluppati senza l'uso dei concetti di misura degli angoli e di rapporto tra due segmenti non paralleli. Occupa un posto intermedio fra la geometria euclidea e la geometria proiettiva; in quest'ultimo caso anche la nozione di parallelismo perde di significato. Il suo studio fa largo uso dell'algebra lineare. (it)
  • 아핀 기하학(affine幾何學, 영어: affine geometry)은 공선과 평행 따위의 아핀 변환에 대하여 불변인 기하학적 성질들을 다루는 수학 분야이다. (ko)
  • De affiene meetkunde is de meetkunde, geïntroduceerd door Leonhard Euler, die een generalisatie is van de euclidische meetkunde, waarin de begrippen afstand en hoek geen betekenis hebben. In de affiene meetkunde blijft het parallellenpostulaat gehandhaafd, maar gelden het derde en het vierde postulaat van Euclides niet meer. (nl)
  • Аффи́нная геоме́трия (лат. affinis ‘родственный’) — раздел геометрии, вкотором изучаются свойства фигур, инвариантные относительно аффинных преобразований (например, отношение направленных отрезков, параллельность прямых и так далее).Группа аффинных преобразований содержит различные подгруппы, которым соответствуют геометрии, подчинённые аффинной: , и другие. (ru)
  • Geometria afim é a geometria que não está envolvida em quaisquer noções de origem, extensão ou ângulo, mas com as noções de subtração dos pontos, gerando um vetor. Ela ocupa um terreno intermediário entre a geometria euclidiana e a geometria projetiva. É a geometria do espaço afim, de uma dada dimensão n, coordenada sobre um corpo K. Há também (em duas dimensões) uma generalização combinadora do espaço afim, desenvolvendo-se em uma completa geometria finita, e a geometria afim está em dominante tradição nos Séculos XIX e vinte. (pt)
  • 在几何上,仿射几何是不涉及任何原点、长度或者角度概念的几何,但是有两点相减得到一个向量的概念。 它位于欧氏几何和射影几何之间。它是在域K上任意维仿射空间的几何。K为实数域的情况所包含的内容足够使人了解其大部分思想。 (zh)
  • La geometria afí és la geometria dels espai afins. Sense expressar-se amb gran rigor, utilitza les propietats de les varietats lineals definides en un espai afí per tractar temes com l'alineació, el paral·lelisme o la intersecció amb eines de l'àlgebra lineal. La geometria afí és aliena a les nocions d'angle i distància: aquestes propietats depenen d'altres estructures independents del nucli de la geometria afí com ara el producte escalar o la norma. Més formalment, la geometria afí és, segons la visió heretada del Programa d'Erlangen que hem adoptat avui en dia, l'estudi dels invariants del grup afí. És a dir, de les aplicacions que conserven la i transformen varietats paral·leles en varietat paral·leles. A la Geometria afí reapareixen i es demostren alguns teoremes clàssics con els teor (ca)
  • Afinní geometrie je typ geometrie, v které jsou definovány body, vektory a přímky a nie su tam úhly, vzdálenosti a kružnice. Afinní geometrie splňují první, druhý a pátý Eukleidův postulát. Název afinní zavedl Leonard Euler, jako samostatná disciplína se afinní geometrie chápe od Kleinova Erlangenského programu. Afinní geometrii v rovině je možné zadat také axiomaticky. Důležitou část axiomů tvoří axiomy o existenci rovnoběžek a tvrzení, že paralelnost přímek je relace ekvivalence. kde A je matice a b pevně daný vektor. Jde tedy o složení lineárního zobrazení a posunutí. (cs)
  • In mathematics, affine geometry is what remains of Euclidean geometry when not using (mathematicians often say "when forgetting") the metric notions of distance and angle. As the notion of parallel lines is one of the main properties that is independent of any metric, affine geometry is often considered as the study of parallel lines. Therefore, Playfair's axiom (given a line L and a point P not on L, there is exactly one line parallel to L that passes through P) is fundamental in affine geometry. Comparisons of figures in affine geometry are made with affine transformations, which are mappings that preserve alignment of points and parallelism of lines. (en)
  • La géométrie affine est la géométrie des espaces affines : il s'agit grossièrement d'ensembles de points définis par des propriétés spécifiques permettant de parler d'alignement, de parallélisme, d'intersection. Les notions de longueur et d'angle lui sont toutefois étrangères : elles dépendent de structures supplémentaires, traitées dans le cadre de la géométrie euclidienne. Parmi les résultats remarquables de la géométrie affine, on peut citer : * le théorème de Thalès, * l'associativité du barycentre, * le théorème de Ménélaüs, * le théorème de Ceva, etc. (fr)
  • En la matemática, la geometría afín es el estudio de las propiedades geométricas que permanecen inmutables bajo las transformaciones afines, como por ejemplo las transformaciones lineales no singulares y traslaciones. El nombre de geometría afín así como el de geometría proyectiva y geometría euclídea se sigue naturalmente del programa Erlangen de Felix Klein. (es)
  • Geometria afiniczna – geometria, w której podstawową figurą geometryczną jest (podobnie jak w geometrii euklidesowej) prosta, podstawowym pojęciem jest równoległość dwóch prostych, a podstawowym odwzorowaniem tzw. . (pl)
  • Афі́нна геоме́трія (лат. affinis — споріднений) — розділ геометрії, що вивчає властивості , інваріантні (незмінні) відносно афінних перетворень, тобто таких взаємно однозначних точкових відображень евклідової площини на евклідову площину або евклідового простору на самого себе, при яких прямі переходять у прямі. Афінне перетворення зберігає величину відношення двох відрізків прямої, паралельність прямих і площин. У декартових координатах афінне перетворення площини в себе виражається формулами: * х' = а1х + b1y + с1 * у' = а2х + b2у + с2 причому a1b2 — a2b1 ≠ 0. (uk)
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  • Affine geometry (en)
  • هندسة تآلفية (ar)
  • Geometria afí (ca)
  • Afinní geometrie (cs)
  • Geometría afín (es)
  • Géométrie affine (fr)
  • Geometria affine (it)
  • 아핀 기하학 (ko)
  • Affiene meetkunde (nl)
  • Geometria afiniczna (pl)
  • Geometria afim (pt)
  • Аффинная геометрия (ru)
  • Афінна геометрія (uk)
  • 仿射几何学 (zh)
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