In differential geometry, a tensor density or relative tensor is a generalization of the tensor field concept. A tensor density transforms as a tensor field when passing from one coordinate system to another (see tensor field), except that it is additionally multiplied or weighted by a power W of the Jacobian determinant of the coordinate transition function or its absolute value. A tensor density with a single index is called a vector density. A distinction is made among (authentic) tensor densities, pseudotensor densities, even tensor densities and odd tensor densities. Sometimes tensor densities with a negative weight W are called tensor capacity. A tensor density can also be regarded as a section of the tensor product of a tensor bundle with a density bundle.
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| - Tensordichte (de)
- Densità tensoriale (it)
- Densidade de tensor (pt)
- Tensor density (en)
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| - In differential geometry, a tensor density or relative tensor is a generalization of the tensor field concept. A tensor density transforms as a tensor field when passing from one coordinate system to another (see tensor field), except that it is additionally multiplied or weighted by a power W of the Jacobian determinant of the coordinate transition function or its absolute value. A tensor density with a single index is called a vector density. A distinction is made among (authentic) tensor densities, pseudotensor densities, even tensor densities and odd tensor densities. Sometimes tensor densities with a negative weight W are called tensor capacity. A tensor density can also be regarded as a section of the tensor product of a tensor bundle with a density bundle. (en)
- In matematica, una densità tensoriale o tensore relativo è una generalizzazione del concetto di campo tensoriale. Una densità tensoriale si trasforma come un campo tensoriale quando si passa da un sistema di coordinate a un altro, tranne per il fatto che è ulteriormente moltiplicata da una potenza W del determinante jacobiano della funzione di transizione delle coordinate o dal suo valore assoluto. Viene fatta una distinzione tra densità tensoriali (autentiche), densità pseudotensoriali, densità tensoriali pari e densità tensoriali dispari. Una densità tensoriale può anche essere considerata come una sezione del prodotto tensoriale di un fibrato di tensori con un fibrato di densità. Le densità tensoriali di peso zero sono tensori. (it)
- Em geometria diferencial, uma densidade de tensor, ou densidade tensorial, transforma-se como um tensor quando passa de um sistema de coordenadas para outro (ver ), exceto que é adicionalmente multiplicado ou ponderado por uma potência do determinante jacobiano da função de transição de coordenadas. (pt)
- In der Physik wurde der Begriff der Tensordichte von Hermann Weyl eingeführt, um den „Unterschied zwischen Quantität und Intensität, soweit er physikalische Bedeutung hat“, zu erfassen: „die Tensoren sind die Intensitäts-, die Tensordichten die Quantitätsgrößen“. Nach Weyl ordnet eine Tensordichte einem Koordinatensystem ein Tensorfeld derart zu, dass es bei einem Koordinatenwechsel mit dem Absolutbetrag der Funktionaldeterminante multipliziert wird. Eine Tensordichte der Stufe null ist demnach eine skalare Dichte, deren Integral gemäß dem Transformationssatz eine Invariante liefert. (de)
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| - In der Physik wurde der Begriff der Tensordichte von Hermann Weyl eingeführt, um den „Unterschied zwischen Quantität und Intensität, soweit er physikalische Bedeutung hat“, zu erfassen: „die Tensoren sind die Intensitäts-, die Tensordichten die Quantitätsgrößen“. Nach Weyl ordnet eine Tensordichte einem Koordinatensystem ein Tensorfeld derart zu, dass es bei einem Koordinatenwechsel mit dem Absolutbetrag der Funktionaldeterminante multipliziert wird. Eine Tensordichte der Stufe null ist demnach eine skalare Dichte, deren Integral gemäß dem Transformationssatz eine Invariante liefert. Allgemeiner definiert man eine gewichtete Tensordichte, indem man mit einer Potenz des Betrages der Funktionaldeterminante multipliziert. Das Gewicht ist der Exponent in dieser Potenz. (Dagegen verwendet Weyl den Begriff Tensor(dichte) mit Gewicht in einer anderen Bedeutung: Das Gewicht ist der Exponent in der Potenz des Eichverhältnisses, mit der bei einer Reskalierung der Metrik multipliziert wird.). Eine abweichende Definition verwendet die Funktionaldeterminante anstelle ihres Betrages. Für gerades Gewicht stimmen beide Definitionen überein. Für ungerades Gewicht werden die Begriffe Tensordichte und Pseudotensordichte vertauscht, denn Pseudotensoren bzw. Pseudotensordichten werden mit dem Signum der Funktionaldeterminante multipliziert. Im Folgenden wird die erste Definition verwendet. (Eine weitere Variante unterscheidet sich im Vorzeichen des Gewichts.) (de)
- In differential geometry, a tensor density or relative tensor is a generalization of the tensor field concept. A tensor density transforms as a tensor field when passing from one coordinate system to another (see tensor field), except that it is additionally multiplied or weighted by a power W of the Jacobian determinant of the coordinate transition function or its absolute value. A tensor density with a single index is called a vector density. A distinction is made among (authentic) tensor densities, pseudotensor densities, even tensor densities and odd tensor densities. Sometimes tensor densities with a negative weight W are called tensor capacity. A tensor density can also be regarded as a section of the tensor product of a tensor bundle with a density bundle. (en)
- In matematica, una densità tensoriale o tensore relativo è una generalizzazione del concetto di campo tensoriale. Una densità tensoriale si trasforma come un campo tensoriale quando si passa da un sistema di coordinate a un altro, tranne per il fatto che è ulteriormente moltiplicata da una potenza W del determinante jacobiano della funzione di transizione delle coordinate o dal suo valore assoluto. Viene fatta una distinzione tra densità tensoriali (autentiche), densità pseudotensoriali, densità tensoriali pari e densità tensoriali dispari. Una densità tensoriale può anche essere considerata come una sezione del prodotto tensoriale di un fibrato di tensori con un fibrato di densità. Le densità tensoriali di peso zero sono tensori. (it)
- Em geometria diferencial, uma densidade de tensor, ou densidade tensorial, transforma-se como um tensor quando passa de um sistema de coordenadas para outro (ver ), exceto que é adicionalmente multiplicado ou ponderado por uma potência do determinante jacobiano da função de transição de coordenadas. (pt)
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