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| - In der Mathematik macht die klassische Formel von Riemann-Hurwitz (auch als Satz von Hurwitz bezeichnet) eine Aussage über die holomorphen Abbildungen zwischen kompakten riemannschen Flächen und setzt Verzweigungsordnung und Blätterzahl in Zusammenhang mit dem topologischen Geschlecht (Anzahl der „Löcher“) der beiden Flächen. Benannt ist die Formel nach Bernhard Riemann und Adolf Hurwitz. (de)
- In mathematics, the Riemann–Hurwitz formula, named after Bernhard Riemann and Adolf Hurwitz, describes the relationship of the Euler characteristics of two surfaces when one is a ramified covering of the other. It therefore connects ramification with algebraic topology, in this case. It is a prototype result for many others, and is often applied in the theory of Riemann surfaces (which is its origin) and algebraic curves. (en)
- 数学では、ベルンハルト・リーマン(Bernhard Riemann)とアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)の名前の付いたリーマン・フルヴィッツの公式(Riemann–Hurwitz formula)は、一方が他方の分岐被覆(ramified covering)となっているとき、2つの曲面のオイラー標数関係を記述した公式である。従って、この場合には、分岐と代数トポロジーを関連付ける。他にも多くの典型的な結果があるが、リーマン・フルヴィッツの公式はリーマン面（これが発生元である）や代数曲線の理論へ適用される。 (ja)
- 기하학과 복소해석학에서 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다. (ko)
- In de Riemann-meetkunde en de algebraïsche topologie, beide deelgebieden van de wiskunde, beschrijft de formule van Riemann-Hurwitz, vernoemd naar Bernhard Riemann en Adolf Hurwitz, de relatie van de Euler-karakteristieken van twee oppervlakken, wanneer een van deze oppervlakken een vertakte overdekking van de ander is. De stelling legt in dit geval een verband tussen de en de algebraïsche topologie. Het is een prototyperesultaat voor vele anderen en wordt vaak toegepast in de theorie van de Riemann-oppervlakken (hier vindt de stelling haar oorsprong) en de algebraïsche krommen. (nl)
- En mathématiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nommée en l'honneur des mathématiciens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, décrit les relations entre les caractéristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un revêtement ramifié de l'autre. Ceci, par conséquent, relie la ramification avec la topologie algébrique dans ce cas. C'est un prototype de résultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqué dans la théorie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes algébriques. Pour une surface orientable S, la caractéristique d'Euler est , 0 = 2.2 - Σ 1, , (fr)
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| - In der Mathematik macht die klassische Formel von Riemann-Hurwitz (auch als Satz von Hurwitz bezeichnet) eine Aussage über die holomorphen Abbildungen zwischen kompakten riemannschen Flächen und setzt Verzweigungsordnung und Blätterzahl in Zusammenhang mit dem topologischen Geschlecht (Anzahl der „Löcher“) der beiden Flächen. Benannt ist die Formel nach Bernhard Riemann und Adolf Hurwitz. (de)
- In mathematics, the Riemann–Hurwitz formula, named after Bernhard Riemann and Adolf Hurwitz, describes the relationship of the Euler characteristics of two surfaces when one is a ramified covering of the other. It therefore connects ramification with algebraic topology, in this case. It is a prototype result for many others, and is often applied in the theory of Riemann surfaces (which is its origin) and algebraic curves. (en)
- En mathématiques, la formule de Riemann-Hurwitz, nommée en l'honneur des mathématiciens Bernhard Riemann et Adolf Hurwitz, décrit les relations entre les caractéristiques d'Euler de deux surfaces lorsque l'une est un revêtement ramifié de l'autre. Ceci, par conséquent, relie la ramification avec la topologie algébrique dans ce cas. C'est un prototype de résultat pour beaucoup d'autres, et est souvent appliqué dans la théorie des surfaces de Riemann (qui est son origine) et des courbes algébriques. Pour une surface orientable S, la caractéristique d'Euler est où g est le genre (le nombre de trous), puisque les nombres de Betti sont 1, 2g, 1, 0, 0, ...Dans le cas d'un revêtement non ramifié de surfaces qui est surjectif et de degré N, nous avons , parce que chaque simplexe de S doit être couvert par exactement N dans S′ — au moins si nous utilisons une triangulation suffisamment bonne de S, comme nous avons le droit de le faire puisque la caractéristique d'Euler est un invariant topologique. Ce que fait la formule de Riemann-Hurwitz, est d'ajouter une correction qui tienne compte de la ramification (feuilles se rejoignant). Proche d'un point P de S où e feuilles se rejoignent, étant appelé l'indice de ramification, nous notons la perte de copies de P au-dessus de P (dans ). Par conséquent, nous pouvons prévoir une formule « corrigée » la somme étant prise sur tous les P dans S (presque tous les P ont donc la somme est finie). Ceci est la formule de Riemann-Hurwitz, mais pour un cas particulier – bien qu'important : celui où il existe juste un point où les feuilles au-dessus de P se rejoignent, ou de manière équivalente la monodromie locale est une permutation circulaire). Dans le cas le plus général, la somme finale doit être remplacée par la somme de termes où est le nombre de points de S′ au-dessus de P, ou de manière équivalente le nombre de cycles de la monodromie locale agissant sur les feuilles. Par exemple, toute courbe elliptique (genre 1) s'applique vers la droite projective (genre 0) comme un double revêtement (N = 2), avec une ramification à seulement quatre points, où e = 2. Nous pouvons vérifier que ceci donne 0 = 2.2 - Σ 1, avec la somme prise sur les quatre valeurs de P. Ce revêtement provient de la fonction de Weierstrass qui est une fonction méromorphe, considérée comme à valeurs dans la sphère de Riemann. La formule peut aussi être utilisée pour vérifier la valeur de la formule du genre des courbes hyperelliptiques. Un autre exemple : la sphère de Riemann s'applique sur elle-même par la fonction , d'indice de ramification n en 0, pour tout entier n > 1. Le seul autre point de ramification possible est le point à l'infini. Pour équilibrer l'équation , l'indice de ramification en l'infini doit être lui aussi égal à n. La formule peut être utilisée pour démontrer des théorèmes. Par exemple, elle montre immédiatement qu'une courbe de genre 0 ne possède pas de revêtement avec N > 1 qui soit non ramifié partout : parce que cela donnerait lieu à une caractéristique d'Euler > 2. Pour une correspondance de courbes, il existe une formule plus générale, le théorème de Zeuthen, qui donne une correction de la première approximation de la ramification en énonçant en que les caractéristiques d'Euler sont en rapport inverse des degrés des correspondances. (fr)
- 数学では、ベルンハルト・リーマン(Bernhard Riemann)とアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)の名前の付いたリーマン・フルヴィッツの公式(Riemann–Hurwitz formula)は、一方が他方の分岐被覆(ramified covering)となっているとき、2つの曲面のオイラー標数関係を記述した公式である。従って、この場合には、分岐と代数トポロジーを関連付ける。他にも多くの典型的な結果があるが、リーマン・フルヴィッツの公式はリーマン面（これが発生元である）や代数曲線の理論へ適用される。 (ja)
- 기하학과 복소해석학에서 리만-후르비츠 공식(영어: Riemann–Hurwitz formula)은 주어진 곡면 위의 분기 피복(ramified cover)의 오일러 지표에 대한 공식이다. (ko)
- In de Riemann-meetkunde en de algebraïsche topologie, beide deelgebieden van de wiskunde, beschrijft de formule van Riemann-Hurwitz, vernoemd naar Bernhard Riemann en Adolf Hurwitz, de relatie van de Euler-karakteristieken van twee oppervlakken, wanneer een van deze oppervlakken een vertakte overdekking van de ander is. De stelling legt in dit geval een verband tussen de en de algebraïsche topologie. Het is een prototyperesultaat voor vele anderen en wordt vaak toegepast in de theorie van de Riemann-oppervlakken (hier vindt de stelling haar oorsprong) en de algebraïsche krommen. (nl)
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