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In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions.

AttributesValues
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  • Ley de subir o bajar índices (tensores)
  • Raising and lowering indices
  • Innalzamento e abbassamento degli indici
  • Podnoszenie i opuszczanie wskaźników
  • Elevação e abaixamento de índices em tensores
  • 指标的上升和下降
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  • In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions.
  • 在数学与数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量或闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个 (k, l) 张量变成一个 (k + 1, l − 1) 张量(上升)或一个 (k − 1, l + 1) 张量(下降)。 这里记号 (k, l) 用于表示 k + l,有 k 个上指标和 l 个下指标。 可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做。下文在对重复指标 j 求和时使用爱因斯坦记号。 乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标: 而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标: 对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆: 这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。
  • La ley de subir o bajar índices es un método para construir isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear, la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico (y su inverso , llamado co-tensor métrico).
  • In relatività, l'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici è un'operazione che può essere eseguita su un tensore. Dato un tensore su una varietà , sul quale è definita una metrica non singolare è possibile innalzare o abbassare gli indici di un tensore di tipo , definito da: ovvero un'applicazione multilineare su elementi dello spazio cotangente e su elementi dello spazio tangente in un punto della varietà in un campo .Si può indicare il prodotto cartesiano Formalmente, dato un tensore di tipo , possiamo costruire un tensore di tipo in questo modo:
  • Dla danego tensora z rozmaitości z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (opuścić indeks). Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki: a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je:
  • A elevação e abaixamento de índices em tensores (ou lei de elevar e abaixar índices) é um método para construir isomorfismos entre espaços de tensores covariantes e contravariantes definidos sobre uma variedade riemanniana ou pseudoriemanniana . Portanto para ser usado a elevação e abaixamento de índices é necessário utilizar o tensor métrico (e seu inverso , chamado co-tensor métrico).
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  • La ley de subir o bajar índices es un método para construir isomorfismos entre espacios de tensores covariantes y contravariantes definidos sobre una variedad riemanniana o pseudoriemanniana . Por tanto para emplear, la subida y bajada de índices es necesario usar el tensor métrico (y su inverso , llamado co-tensor métrico). Estas operaciones resultan muy útiles en la teoría general de la relatividad donde cualquier magnitud física puede ser representadas por tensores covariantes o contravariantes indistintamente, y sin alterar el significado físico, según las necesidades del problema planteado. Así para cualquier magnitud física representada por un tensor de tercer rango, puede ser representado por varios conjuntos de magnitudes relacionables gracias a la operación de "subir y bajar índices":
  • In relatività, l'operazione di innalzamento e abbassamento degli indici è un'operazione che può essere eseguita su un tensore. Dato un tensore su una varietà , sul quale è definita una metrica non singolare è possibile innalzare o abbassare gli indici di un tensore di tipo , definito da: ovvero un'applicazione multilineare su elementi dello spazio cotangente e su elementi dello spazio tangente in un punto della varietà in un campo .Si può indicare il prodotto cartesiano L'operazione di innalzamento degli indici permette di passare da tensori di tipo a tensori di tipo , mentre l'operazione di abbassamento degli indici permette di passare da tensori di tipo a tensori di tipo . L'innalzamento e l'abbassamento degli indici si ottengono moltiplicando il tensore metrico nella sua forma covariante o e poi contraendo gli indici ripetuti, ovvero sommando sugli indici ripetuti come previsto dalla convenzione di Einstein. Più precisamente, questa costruzione sulle componenti del tensore sfrutta la presenza della metrica grazie al cosiddetto Isomorfismo musicale, che permette di identificare in modo naturale spazio tangente e cotangente senza ricorrere ad una scelta della base. Formalmente, dato un tensore di tipo , possiamo costruire un tensore di tipo in questo modo: Dove è l'applicazione dell'operatore al covettore du.Per vedere come questa costruzione sia equivalente alla moltiplicazione per le componenti del tensore metrico (o del suo inverso), notiamo innanzitutto che il diesis di un covettore base è dato da , dove è un elemento della base dello spazio tangente.Dalla linearità dei tensori, segue immediatamente che Per quanto riguarda l'abbassamento di un indice, la procedura è analoga sostituendo allo diesis di un covettore il bemolle di un vettore. Un esempio è dato dalla definizione del Tensore di Riemann in forma completamente covariante.Ricordiamo che il tensore di Riemann in un punto p di una Varietà Riemanniana è un operatore lineare .Per dualità, otteniamo un operatore per il quale vale . In questo caso, dobbiamo abbassare l'indice , perciò procediamo definendo un nuovo operatore in questo modo: Per calcolare le componenti, notiamo che il bemolle di un vettore base è dato da .Sostituendo nelle componenti: che è la trasformazione classica del tensore di Riemann in forma completamente covariante.
  • In mathematics and mathematical physics, raising and lowering indices are operations on tensors which change their type. Raising and lowering indices are a form of index manipulation in tensor expressions.
  • Dla danego tensora z rozmaitości z określoną na niej nieosobliwą formą (taką jak np. metryka Riemanna lub metryka Minkowskiego) można podnieść lub opuścić jego wskaźniki, czyli zmienić tensor wymiaru na tensor wymiaru (podnieść indeks) lub na tensor wymiaru (opuścić indeks). Wyniki te można osiągnąć poprzez mnożenie przez kowariantny lub kontrawariantny tensor metryczny, a następnie wyniku. Mnożenie przez kontrawariantny tensor metryczny (i skrócenie) podnosi wskaźniki: a mnożenie przez kowariantny tensor metryczny (i skrócenie) opuszcza je: Operacje podniesienia i następującego po nim opuszczenia tego samego wskaźnika (lub odwrotnie) są do siebie odwrotne, co odzwierciedla odwrotność kowariantnych i kontrawariantnych tensorów metrycznych: gdzie – delta Kroneckera odpowiadająca macierzy jednostkowej. Należy zauważyć, że nieosobliwość nie jest wymagana do opuszczenia wskaźnika. Jednak aby możliwe było obliczenie i podwyższenie wskaźnika dowolnego tensora, macierz musi być nieosobliwa.
  • A elevação e abaixamento de índices em tensores (ou lei de elevar e abaixar índices) é um método para construir isomorfismos entre espaços de tensores covariantes e contravariantes definidos sobre uma variedade riemanniana ou pseudoriemanniana . Portanto para ser usado a elevação e abaixamento de índices é necessário utilizar o tensor métrico (e seu inverso , chamado co-tensor métrico). Estas operações são muito úteis na teoria geral da relatividade onde qualquer grandeza física pode ser representada por tensores covariantes ou contravariantes indistintamente, e sem alterar o significado físico, segundo as necessidades do problema apresentado. Assim para qualquer grandeza física representada por um tensor de terceira ordem, pode ser representado por múltiplos conjuntos de grandezas relacionais devido à operação de "elevar e abaixar índices":
  • 在数学与数学物理中,给定流形 M 上一个张量,若在 M 已有一个非退化形式(比如黎曼度量或闵可夫斯基度量),我们可将指标上升或下降:将一个 (k, l) 张量变成一个 (k + 1, l − 1) 张量(上升)或一个 (k − 1, l + 1) 张量(下降)。 这里记号 (k, l) 用于表示 k + l,有 k 个上指标和 l 个下指标。 可以这样做:将张量乘以共变或反变度量张量,然后做。下文在对重复指标 j 求和时使用爱因斯坦记号。 乘以反变度量张量(然后缩并)上升指标: 而乘以共变度量张量(然后缩并)下降指标: 对同一个指标先上升然后下降(或顺序相反)得到原来的张量,这反应了共变度量张量与反变度量张量互逆: 这里 N 是流形的维数。注意下降一个指标不要求形式非奇异,但相反的过程需要非奇异条件。
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