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The radical axis (or power line) of two non-concentric circles is a line defined by the two circles, perpendicular to the line connecting the centers of the circles. If the circles cross, their radical axis is the line through their two crossing points, and if they are tangent, it is their line of tangency. For two disjoint circles, the radical axis is the locus of points at which tangents drawn to both circles have equal lengths. The radical axis is always a straight line and always perpendicular to the line connecting the centers of the circles.

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  • Eix radical
  • Potenzgerade
  • Eje radical
  • Radical axis
  • 根軸
  • 근축
  • Machtlijn
  • Радикальная ось двух окружностей
  • Радикальна вісь двох кіл
rdfs:comment
  • Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise durch ihre Mittelpunkte und sowie ihre Radien und gegeben, so besteht die Potenzgerade genau aus den Punkten , für die gilt. Die Potenzgerade ist nur definiert, wenn die gegebenen Kreise nicht konzentrisch sind, also keinen übereinstimmenden Mittelpunkt haben.
  • 初等幾何学における2つの円の根軸(こんじく)とは、2つの円に接線を引いたときその長さが等しくなる点の軌跡である。根軸は2つの円の中心を通る直線に垂直な直線である。2つの円が交わるときには根軸はその交点を通る直線となり、2つの円が接するときには根軸は接点を通る共通接線となる。 根軸上の任意の点 P に対して、P を中心として2円に直交する円が存在する。逆に言えば、2円に直交する円の中心は根軸上にある。他の言い方をすると、根軸上の点 P における2つの円の方べきは等しい、すなわち以下の式が成り立つ。 ここで r1 と r2 は2つの円の半径、d1 と d2 は P と2つの円の中心との距離であり、R は P を中心として2円に直交する円の半径である。 一般的に、2つの離れた円は双極座標系の基底となる。このとき根軸は y軸である。2つの焦点を通る円はy軸上に中心を持ち2つの円に直交するため、その半径は接線の長さに等しいことからy軸が根軸であることがわかる。根軸を共有する円群はアポロニウスの円束と呼ばれる。
  • De machtlijn van twee cirkels is de meetkundige plaats van punten die ten opzichte van de twee cirkels gelijke machten hebben. De machtlijn staat loodrecht op de lijn die de middelpunten van de cirkels verbindt. Bij drie gegeven cirkels gaan de drie machtlijnen door een gemeenschappelijk (mogelijk oneindig) punt, het machtpunt van de drie cirkels.
  • Радика́льная ось двух окружностей — геометрическое место точек, степени которых относительно двух заданных окружностей равны. Иными словами, равны длины четырёх касательных, проведенных к двум данным окружностям из любой точки M данного геометрического места точек. Радикальная ось двух окружностей существует тогда и только тогда, когда окружности неконцентрические, и может быть определена как для окружностей, так и для точек (окружностей нулевого радиуса) и (мнимого радиуса).
  • Радикальна вісь двох кіл — геометричне місце точок, ступені яких щодо двох заданих кіл рівні. Іншими словами, рівні довжини чотирьох дотичних, проведених до двох даних кіл з будь-якої точки M даного геометричного місця точок. Радикальна вісь двох кіл існує тоді і тільки тоді, коли кола неконцентричні, і може бути визначена як для кіл, так і для точок (кіл нульового радіуса) і уявних кіл (мнимого радіуса).
  • L'eix radical de dues circumferències no concèntriques és el lloc geomètric dels punts amb la mateixa potència respecte d'aquestes. El lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte de dues circumferències concèntriques és altra circumferència concèntrica. L'eix radical és una recta perpendicular al segment determinat pels dos centres de les circumferències, puix donat un punt de l'eix radical, el punt simètric respecte del segment que uneix els centres de les circumferències també tindrà la mateixa potència.
  • The radical axis (or power line) of two non-concentric circles is a line defined by the two circles, perpendicular to the line connecting the centers of the circles. If the circles cross, their radical axis is the line through their two crossing points, and if they are tangent, it is their line of tangency. For two disjoint circles, the radical axis is the locus of points at which tangents drawn to both circles have equal lengths. The radical axis is always a straight line and always perpendicular to the line connecting the centers of the circles.
  • En geometría plana, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas. Por medio de la geometría analítica se puede demostrar que el eje radical es siempre una recta.Sean y los centros de los dos círculos, y los radios correspondientes.Según la definición algebraica de la potencia del punto se obtiene para cada uno de los círculos o .Al igualar las dos potencias se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de los círculos: La multiplicación y agrupación resulta en
  • 기하학에서, 근축(根軸, 영어: radical axis)은 동심원이 아닌 두 원에 대한 방멱이 같은 점들의 자취이다. 근축은 두 원의 중심을 잇는 직선의 수선을 이룬다. 서로 다른 두 점에서 만나는 두 원의 근축은 두 교점을 지나는 공통 할선이고, 서로 접하는 두 원의 근축은 접점을 지나는 공통 접선이며, 서로 만나지 않는 두 원의 근축은 두 원의 외부에 있다. 근축의 두 원의 외부에 놓인 부분은 두 원에 대한 접선의 길이가 같은 점들의 자취이자,:32, §45 두 원 모두에 직교하는 원의 중심들의 자취이다.:34, §49 어떤 점이 근축의 두 원의 내부에 놓인 부분에 속하는 것은 이 점을 지나는 두 원의 현의 최소 길이가 같은 것과 동치이다.:32, §45 서로 다른 두 동심원의 근축을 두 원이 놓인 평면 위의 으로 정의하기도 하며, 서로 같은 두 원의 근축은 정의되지 않는다.:92, Remark 1.10.4 근축을 고차원으로 일반화하면 3차원 구의 근평면(根平面, 영어: radical plane)의 개념과 차원 초구의 근초평면(根超平面, 영어: radical hyperplane)의 개념을 얻는다.
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  • L'eix radical de dues circumferències no concèntriques és el lloc geomètric dels punts amb la mateixa potència respecte d'aquestes. El lloc geomètric dels punts amb igual potència respecte de dues circumferències concèntriques és altra circumferència concèntrica. L'eix radical és una recta perpendicular al segment determinat pels dos centres de les circumferències, puix donat un punt de l'eix radical, el punt simètric respecte del segment que uneix els centres de les circumferències també tindrà la mateixa potència. * Si les circumferències són exteriors, l'eix central es pot determinar unint els punts mitjans (M a la figura) dels segments determinats pels punts de contacte de les tangents a les circumferències (punts T1 i T2 a la figura). * Si les circumferències són tangents, l'eix radical conté el punt d'intersecció d'ambdues circumferències i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències. * Si les circumferències són secants, l'eix radical conté els punts d'intersecció de les circumferències, ja que els dos tenen potència nul·la respecte de les circumferències. * Si una de les circumferències és interior, es pot obtenir l'eix radical traçant una circumferència auxiliar secant a les circumferències donades (a en la figura). El punt d'intersecció dels eixos radicals auxiliars (C en la figura) té igual potència respecte a les circumferències donades, por tant, l'eix radical serà la recta que conté el punt C i és perpendicular a la recta determinada pels centres de les circumferències inicials. (S'ha d'elegir la circumferència auxiliar de forma que els eixos radicals auxiliars es tallen dins del del paper del dibuix).
  • En geometría plana, el eje radical de dos circunferencias no concéntricas es el lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de las mismas. Por medio de la geometría analítica se puede demostrar que el eje radical es siempre una recta.Sean y los centros de los dos círculos, y los radios correspondientes.Según la definición algebraica de la potencia del punto se obtiene para cada uno de los círculos o .Al igualar las dos potencias se obtiene la ecuación del lugar geométrico de los puntos con igual potencia respecto de los círculos: La multiplicación y agrupación resulta en En esta ecuación los términos cuadrados e se han anulado, no hay términos mixtos , ha quedado una ecuación del tipo que es la forma general de la ecuación de recta. El eje radical es una recta perpendicular al segmento determinado por los dos centros de las circunferencias, pues dado un punto del eje radical, el punto simétrico respecto del segmento que une los centros de las circunferencias también tendrá la misma potencia. * Si las circunferencias son exteriores, el eje radical se puede determinar uniendo los puntos medios (M en la figura) de los segmentos determinados por los puntos de contacto de las tangentes a las circunferencias (puntos T1 y T2 en la figura). * Si las circunferencias son tangentes, el eje radical contiene el punto de intersección de ambas circunferencias y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias. * Si las circunferencias son secantes, el eje radical contiene los puntos de intersección de las circunferencias, puesto que ambos tienen potencia nula respecto de las circunferencias. * Si una de las circunferencias es interior, se puede obtener el eje radical trazando una circunferencia auxiliar secante a las circunferencias dadas (a en la figura). El punto de intersección de los ejes radicales auxiliares (C en la figura) tiene igual potencia respecto a las circunferencias dadas, por tanto, el eje radical será la recta que contiene al punto C y es perpendicular a la recta determinada por los centros de las circunferencias iniciales. (Se debe elegir la circunferencia auxiliar de tal forma que los ejes radicales auxiliares se corten dentro del papel del dibujo).
  • Unter der Potenzgeraden (Potenzlinie, Chordale) zweier Kreise versteht man den geometrischen Ort (die Menge) aller Punkte, deren Potenz in Bezug auf die beiden Kreise übereinstimmt. Sind die Kreise durch ihre Mittelpunkte und sowie ihre Radien und gegeben, so besteht die Potenzgerade genau aus den Punkten , für die gilt. Die Potenzgerade ist nur definiert, wenn die gegebenen Kreise nicht konzentrisch sind, also keinen übereinstimmenden Mittelpunkt haben.
  • The radical axis (or power line) of two non-concentric circles is a line defined by the two circles, perpendicular to the line connecting the centers of the circles. If the circles cross, their radical axis is the line through their two crossing points, and if they are tangent, it is their line of tangency. For two disjoint circles, the radical axis is the locus of points at which tangents drawn to both circles have equal lengths. The radical axis is always a straight line and always perpendicular to the line connecting the centers of the circles. For any point P on the radical axis, there is a unique circle centered on P that intersects both circles at right angles (orthogonally); conversely, the center of any circle that cuts both circles orthogonally must lie on the radical axis. In technical language, each point P on the radical axis has the same power with respect to both circles where r1 and r2 are the radii of the two circles, d1 and d2 are distances from P to the centers of the two circles, and R is the radius of the unique orthogonal circle centered on P. In general, two disjoint, non-concentric circles can be aligned with the circles of bipolar coordinates; in that case, the radical axis is simply the y-axis; every circle on that axis that passes through the two foci intersect the two circles orthogonally. Thus, two radii of such a circle are tangent to both circles, satisfying the definition of the radical axis. The collection of all circles with the same radical axis and with centers on the same line is known as a pencil of coaxal circles.
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