In mathematics, specifically in symplectic topology and algebraic geometry, a quantum cohomology ring is an extension of the ordinary cohomology ring of a closed symplectic manifold. It comes in two versions, called small and big; in general, the latter is more complicated and contains more information than the former. In each, the choice of coefficient ring (typically a Novikov ring, described below) significantly affects its structure, as well. Throughout this article, X is a closed symplectic manifold with symplectic form ω.
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| - 양자 코호몰로지 (ko)
- 量子コホモロジー (ja)
- Quantum cohomology (en)
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| - 대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다. (ko)
- In mathematics, specifically in symplectic topology and algebraic geometry, a quantum cohomology ring is an extension of the ordinary cohomology ring of a closed symplectic manifold. It comes in two versions, called small and big; in general, the latter is more complicated and contains more information than the former. In each, the choice of coefficient ring (typically a Novikov ring, described below) significantly affects its structure, as well. Throughout this article, X is a closed symplectic manifold with symplectic form ω. (en)
- シンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、量子コホモロジー環(quantum cohomology ring)は、閉じたシンプレクティック多様体の通常のコホモロジー環の拡張である。量子コホモロジー環は2つのバージョンからなり、ひとつは小さな版と呼ばれ、もうひとつ大きな版と呼ばれる。一般に大きな版は小さな版よりも込み入った、詳細な情報を持っている。両方とも係数環の選択が（以下に述べるが、典型的にはノビコフ環の) 構造に重要な影響を持つ。 通常のコホモロジーのカップ積は、多様体の交叉理論により部分多様体が互いにどのようになっているかを記述するが、量子コホモロジーの量子カップ積は、部分空間がどのように｢曖昧｣に｢量子的な｣方法で交叉しているかを記述する。さらに詳しく述べると、もし一つ以上のを通して連結であれば、交叉しているということを意味する。グロモフ・ウィッテン不変量は、これらの曲線の数を数え、量子カップ積を拡張して考えると係数として現れる。 量子コホモロジー環はグロモフ・ウィッテン不変量のパターンや構造を表しているので、それは数え上げ幾何学の中で重要な意味を持っている。量子コホモロジー環は、また、数理物理学とミラー対称性の多くのアイデアとも関係している。特に、フレアーホモロジーに環同型である。 (ja)
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| - In mathematics, specifically in symplectic topology and algebraic geometry, a quantum cohomology ring is an extension of the ordinary cohomology ring of a closed symplectic manifold. It comes in two versions, called small and big; in general, the latter is more complicated and contains more information than the former. In each, the choice of coefficient ring (typically a Novikov ring, described below) significantly affects its structure, as well. While the cup product of ordinary cohomology describes how submanifolds of the manifold intersect each other, the quantum cup product of quantum cohomology describes how subspaces intersect in a "fuzzy", "quantum" way. More precisely, they intersect if they are connected via one or more pseudoholomorphic curves. Gromov–Witten invariants, which count these curves, appear as coefficients in expansions of the quantum cup product. Because it expresses a structure or pattern for Gromov–Witten invariants, quantum cohomology has important implications for enumerative geometry. It also connects to many ideas in mathematical physics and mirror symmetry. In particular, it is ring-isomorphic to symplectic Floer homology. Throughout this article, X is a closed symplectic manifold with symplectic form ω. (en)
- 대수기하학과 심플렉틱 기하학에서 양자 코호몰로지(量子cohomology, 영어: quantum cohomology)는 코호몰로지 환의 q-변형이다. 양자 코호몰로지의 곱은 그로모프-위튼 불변량으로부터 정의된다. (ko)
- シンプレクティックトポロジーや代数幾何学では、量子コホモロジー環(quantum cohomology ring)は、閉じたシンプレクティック多様体の通常のコホモロジー環の拡張である。量子コホモロジー環は2つのバージョンからなり、ひとつは小さな版と呼ばれ、もうひとつ大きな版と呼ばれる。一般に大きな版は小さな版よりも込み入った、詳細な情報を持っている。両方とも係数環の選択が（以下に述べるが、典型的にはノビコフ環の) 構造に重要な影響を持つ。 通常のコホモロジーのカップ積は、多様体の交叉理論により部分多様体が互いにどのようになっているかを記述するが、量子コホモロジーの量子カップ積は、部分空間がどのように｢曖昧｣に｢量子的な｣方法で交叉しているかを記述する。さらに詳しく述べると、もし一つ以上のを通して連結であれば、交叉しているということを意味する。グロモフ・ウィッテン不変量は、これらの曲線の数を数え、量子カップ積を拡張して考えると係数として現れる。 量子コホモロジー環はグロモフ・ウィッテン不変量のパターンや構造を表しているので、それは数え上げ幾何学の中で重要な意味を持っている。量子コホモロジー環は、また、数理物理学とミラー対称性の多くのアイデアとも関係している。特に、フレアーホモロジーに環同型である。 この記事を通して、X は閉シンプレクティック多様体を表し、ω はシンプレクティック形式を表すこととする。 (ja)
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