About: Projective harmonic conjugate     Goto   Sponge   NotDistinct   Permalink

An Entity of Type : owl:Thing, within Data Space : dbpedia.org associated with source document(s)
QRcode icon
http://dbpedia.org/describe/?url=http%3A%2F%2Fdbpedia.org%2Fresource%2FProjective_harmonic_conjugate

In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem.

AttributesValues
rdfs:label
  • Harmonische Teilung
  • Cuaterna armónica
  • Projective harmonic conjugate
  • Division harmonique
  • Harmonische ligging
  • Гармоническая четвёрка
  • Conjugado harmônico projetivo
  • Гармонійна четвірка
rdfs:comment
  • Van vier verschillende punten en die op op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch ten opzichte van elkaar liggen, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden wel harmonische verwanten ten opzichte van genoemd. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding gelijk is aan −1.
  • Em geometria projetiva, o ponto conjugado harmônico de um trio ordenado de pontos sobre a é definido pela seguinte construção: Dados três pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto não repousando sobre suas junções e fazendo-se qualquer reta através C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, então D é chamado o conjugado harmônico de C em relação A, B.
  • Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут . Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .
  • Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку говорять також, що точки і гармонійно поєднані щодо і пишуть . Гармонійна четвірка прямих називається четвіркою прямих в проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходиться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть .
  • Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung * erfüllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Da die obige Gleichung sich auch so
  • En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientación de los segmentos, esta relación también se puede expresar como: Propiedad fundamental:
  • En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1.
  • In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem.
foaf:depiction
  • External Image
foaf:isPrimaryTopicOf
thumbnail
dct:subject
Wikipage page ID
Wikipage revision ID
Link from a Wikipage to another Wikipage
Link from a Wikipage to an external page
sameAs
dbp:wikiPageUsesTemplate
has abstract
  • Die harmonische Teilung bezeichnet in der Geometrie ein besonderes Lageverhältnis von vier Punkten auf einer Geraden. So liegen vier Punkte harmonisch, wenn die Strecke durch zwei Punkte innen und außen (s. Bild) so geteilt wird, dass für die Teilstrecken die Beziehung * erfüllt ist. Die rechte Seite kann nie 1 werden. Also darf nie der Mittelpunkt von sein.Liegt rechts von , so liegt rechts von .Liegt links von , so liegt links von . Die obige Gleichung und die Voraussetzung, dass die Strecke innen und außen teilen, bedeutet, dass die beiden Teilverhältnisse und den gleichen Betrag haben und das Doppelverhältnis gleich −1 ist. Da die obige Gleichung sich auch so schreiben lässt, teilen auch die Punkte die Strecke harmonisch. Die harmonische Teilung beschreibt also eine symmetrische Relation zwischen Punktepaaren auf einer Gerade.
  • En geometría proyectiva, se dice que cuatro puntos ordenados A, D, B y C situados sobre una misma recta, forman una cuaterna armónica, cuando En esta definición, es importante remarcar que se debe tener en consideración la orientación de los segmentos (de acuerdo con el orden en que aparecen las letras que designan sus extremos; por ejemplo, se cumple que AB=−BA) para asignarles un signo a sus longitudes (positivo de izquierda a derecha, negativo de derecha a izquierda). Prescindiendo de la orientación de los segmentos, esta relación también se puede expresar como: Como se explica más adelante, las cuaternas armónicas están íntimamente ligadas con las propiedades asociadas a las curvas cónicas y sus tangentes, así como a las relaciones entre las rectas que forman un cuadrángulo completo. Propiedad fundamental: Las cuaternas armónicas de una figura poseen la propiedad de seguir siéndolo en las figuras obtenidas como proyección de la figura original.
  • En géométrie affine, quatre points alignés sont en division harmonique quand ils vérifient l'égalité des rapports de mesure algébrique indiquée ci-contre. Elle apparait naturellement dans plusieurs figures géométriques, par exemple le quadrilatère complet. C'est plus fondamentalement une notion de géométrie projective, puisqu'il s'agit d'exprimer qu'un birapport vaut –1. Elle permet de définir la conjugaison harmonique, que l'on retrouve dans la conjugaison par rapport à deux droites, par rapport à un cercle, et plus généralement par rapport à une conique, c'est-à-dire (en projectif) à l'orthogonalité par rapport à la forme quadratique qui la définit.
  • In projective geometry, the harmonic conjugate point of an ordered triple of points on the real projective line is defined by the following construction: Given three collinear points A, B, C, let L be a point not lying on their join and let any line through C meet LA, LB at M, N respectively. If AN and BM meet at K, and LK meets AB at D, then D is called the harmonic conjugate of C with respect to A, B. The point D does not depend on what point L is taken initially, nor upon what line through C is used to find M and N. This fact follows from Desargues theorem. In real projective geometry, harmonic conjugacy can also be defined in terms of the cross-ratio as (A, B; C, D) = −1.
  • Van vier verschillende punten en die op op één lijn liggen, zegt men dat de paren en harmonisch ten opzichte van elkaar liggen, als Daarin staat voor de lengte van het lijnstuk . De punten en worden wel harmonische verwanten ten opzichte van genoemd. Harmonische ligging betekent dat de dubbelverhouding gelijk is aan −1.
  • Em geometria projetiva, o ponto conjugado harmônico de um trio ordenado de pontos sobre a é definido pela seguinte construção: Dados três pontos colineares A, B, C, fazendo-se L ser um ponto não repousando sobre suas junções e fazendo-se qualquer reta através C encontrar LA, LB em M, N respectivamente. Se AN e BM encontram-se em K, e LK encontra AB em D, então D é chamado o conjugado harmônico de C em relação A, B.
  • Гармоническая четвёрка точек — чётверка точек на проективной прямой, двойное отношение которых . В этом случае говорят также, что точки и гармонически сопряжены относительно и пишут . Гармонической четвёркой прямых называется четвёрка прямых в проективной плоскости, проходящих через одну точку , для которых любая четвёрка точек , такая, что , находящаяся на одной прямой, является гармонической. В этом случае пишут .
  • Гармонійна четвірка точок — четвірка точок на проєктивній прямій, подвійне відношення яких . В цьому випадку говорять також, що точки і гармонійно поєднані щодо і пишуть . Гармонійна четвірка прямих називається четвіркою прямих в проєктивній площині, що проходять через одну точку , для яких будь-яка четвірка точок , така, що , що знаходиться на одній прямій, є гармонійною. В цьому випадку пишуть .
prov:wasDerivedFrom
page length (characters) of wiki page
is foaf:primaryTopic of
is Link from a Wikipage to another Wikipage of
Faceted Search & Find service v1.17_git51 as of Sep 16 2020


Alternative Linked Data Documents: PivotViewer | iSPARQL | ODE     Content Formats:       RDF       ODATA       Microdata      About   
This material is Open Knowledge   W3C Semantic Web Technology [RDF Data] Valid XHTML + RDFa
OpenLink Virtuoso version 08.03.3319 as of Dec 29 2020, on Linux (x86_64-centos_6-linux-glibc2.12), Single-Server Edition (61 GB total memory)
Data on this page belongs to its respective rights holders.
Virtuoso Faceted Browser Copyright © 2009-2021 OpenLink Software