About: Maurer–Cartan form

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In mathematics, the Maurer–Cartan form for a Lie group G is a distinguished differential one-form on G that carries the basic infinitesimal information about the structure of G. It was much used by Élie Cartan as a basic ingredient of his method of moving frames, and bears his name together with that of Ludwig Maurer.

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rdfs:label	Maurer-Cartan-Form (de) Forme de Maurer-Cartan (fr) Forma di Maurer-Cartan (it) Maurer–Cartan form (en) 마우러-카르탕 형식 (ko) モーレー・カルタンの微分形式 (ja) Форма Маурера — Картана (ru) 马尤厄－嘉当形式 (zh) Форма Маурера — Картана (uk)
rdfs:comment	Die Maurer-Cartan-Form ist eine in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik häufig verwendete Lie-Algebra-wertige Differentialform auf Lie-Gruppen. Sie ist benannt nach dem deutschen Mathematiker und Hochschullehrer Ludwig Maurer und dem französischen Mathematiker Élie Cartan. (de) En géométrie différentielle, la 1-forme de Maurer-Cartan est une 1-forme différentielle particulière sur un groupe de Lie. (fr) 미분기하학에서 마우러-카르탕 형식(Maurer-Cartan形式, 영어: Maurer–Cartan form)은 리 군 위에 정의된, 리 대수 값의 1차 미분 형식이다. 리 군의 연산 구조를 나타낸다. (ko) In matematica, la forma di Maurer–Cartan associata ad ogni gruppo di Lie è una particolare 1-forma differenziale su che codifica l'informazione a livello infinitesimo circa la struttura del gruppo . Fu usata dal matematico Élie Cartan come ingrediente fondamentale del suo metodo dei riferimenti mobili e porta il suo nome accanto a quello di Ludwig Maurer. (it) 数学において、モーレー・カルタンの微分形式 (Maurer–Cartan form) あるいはMaurer–Cartan 形式とは、リー群の上に自然に定められ、群構造の無限小近似を与える1次微分形式のことである。エリ・カルタンによる動標構の理論の中で大きな役割を果たし、この理論に貢献のあった (Ludwig Maurer) とともにその名前が付けられている。リー群 G の Maurer–Cartan 形式は G のリー環に値をとる微分形式である。このリー環は G の単位元における接ベクトル空間 TeG と同一視できるため、Maurer–Cartan 形式は G の各点 g における接空間 TgG から TeG への写像と見なすことができる。この見方に立つと、Maurer–Cartan 形式は g における接ベクトル X に対して、左から g−1 をかけることで定まる G 上の微分同相による像を対応させるもの、として定義することができる。 (ja) Форма Маурера — Картана в теорії груп Лі — диференціальна форма визначена на групі Лі, що приймає значення у відповідній алгебрі Лі. Названа начесть німецького математика Людвіга Маурера і французького математика Елі Картана. (uk) Форма Маурера — Картана — определённая 1-форма на группе Ли G со значениями в её алгебре Ли, несущую основную инфинитезимальную информацию о структуре этой группы.Широко использовалась Эли Картаном как основная составляющая его метода подвижных реперов. Помимо имени Картана носит имя . (ru) 数学上，一个李群G的Maurer-Cartan形式是一个特别的微分形式，它包含关于这个李群的结构的基本的无穷小信息。它被埃里·嘉当多次使用，作为他的移动标架法的基本组成。设是李群在幺元的切空间(它的李代数)。G可以由左平移作用在自身 , 这个诱导出切丛到自身的一个映射 . 一个左移不变向量场是的一个截面，使得 ∀ Maurer-Cartan形式是在g值(在g中取值)的G上的1形式，根据公式作用在向量上。若X是G上的左移不变向量场，则在G为常数。而且，若X和Y都是左移不变，则其中左边的括号为向量场的李括号，而右边的括号为李代数g的李括号。(这可以作为g上的李括号的定义。)这些事实可以用来建立李代数的同构 G上的左移不变向量场 . 根据微分的定义，若X和Y为任意向量场，则 . 实用上，若X和Y为左移不变，则 , 所以但是左边只是一个2-形式(其值只和X,Y在一点的取值有关，所以跟X,Y作为场在周围的变化无关)，所以方程不依赖于X和Y是左移不变的条件。所以这个方程对所有向量场X和Y成立。这被称为Maurer-Cartan方程. 如果G嵌入到GL(n，R),则可以把的公式显式的写成若我们在李群G上引入主丛，并把G上的定义为变换函数，则联络形式是的。实际上和Maurer-Cartan方程完全一致。 (zh) In mathematics, the Maurer–Cartan form for a Lie group G is a distinguished differential one-form on G that carries the basic infinitesimal information about the structure of G. It was much used by Élie Cartan as a basic ingredient of his method of moving frames, and bears his name together with that of Ludwig Maurer. (en)
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Link from a Wikipage to another Wikipage	Pushforward (differential) Principal homogeneous space Equations Homogeneous space Vector field Lie derivative Lie group Differential geometry Connection form Coset Mathematics Tangent bundle Pullback (differential geometry) Connection (principal bundle) Submanifold Lie algebra Élie Cartan Symmetry Tangent space Dual basis Logarithmic derivative Lie groups Exterior derivative Felix Klein Darboux derivative Diffeomorphism Group action (mathematics) Adjoint representation of a Lie group Differential form Manifold Method of moving frames Kronecker delta Cartan connection Lie bracket of vector fields Ludwig Maurer Exponential map (Lie theory) Principal bundle Erlangen programme Transformation group Vector space basis Integrability condition Closed subgroup Bracket of Lie algebra-valued forms Structure constant
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