In computational mathematics, a matrix-free method is an algorithm for solving a linear system of equations or an eigenvalue problem that does not store the coefficient matrix explicitly, but accesses the matrix by evaluating matrix-vector products. Such methods can be preferable when the matrix is so big that storing and manipulating it would cost a lot of memory and computing time, even with the use of methods for sparse matrices. Many iterative methods allow for a matrix-free implementation, including:
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| - Méthodes Matrix-free (fr)
- Matrix-free methods (en)
- Безматричные методы (ru)
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| - В вычислительной математике, безматричный метод это алгоритм для решения СЛАУ или решения задачи нахождения собственных значений, который не использует отдельное хранение матрицы коэффициентов, но обращается к матрице через произведения матриц-векторов. Безматричные методы предпочтительнее, когда матрица слишком большая для хранения и работа с ней требует больших объемов памяти и вычислительного времени, даже если матрица разреженная. (ru)
- In computational mathematics, a matrix-free method is an algorithm for solving a linear system of equations or an eigenvalue problem that does not store the coefficient matrix explicitly, but accesses the matrix by evaluating matrix-vector products. Such methods can be preferable when the matrix is so big that storing and manipulating it would cost a lot of memory and computing time, even with the use of methods for sparse matrices. Many iterative methods allow for a matrix-free implementation, including: (en)
- En mathématiques appliquées, une méthode dite matrix-free (sans matrice) est un algorithme qui permet de résoudre un système d'équations linéaires ou un problème aux valeurs propres sans avoir besoin de stocker explicitement en mémoire les coefficients de la matrice, mais en accédant implicitement à la matrice par des évaluations de produits matrice-vecteur. Lorsque la matrice du système linéaire à étudier est de très grande taille, on préfère utiliser une méthode matrix-free qui permet d'économiser le stockage en mémoire et la manipulation (lecture / écriture) qui sont souvent des opérations très coûteuses en temps de calcul (même avec l'utilisation de méthodes pour matrices creuses). Ces méthodes réalisent une sorte de compromis;on remplace des accès mémoire aux coefficients de la matric (fr)
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| - En mathématiques appliquées, une méthode dite matrix-free (sans matrice) est un algorithme qui permet de résoudre un système d'équations linéaires ou un problème aux valeurs propres sans avoir besoin de stocker explicitement en mémoire les coefficients de la matrice, mais en accédant implicitement à la matrice par des évaluations de produits matrice-vecteur. Lorsque la matrice du système linéaire à étudier est de très grande taille, on préfère utiliser une méthode matrix-free qui permet d'économiser le stockage en mémoire et la manipulation (lecture / écriture) qui sont souvent des opérations très coûteuses en temps de calcul (même avec l'utilisation de méthodes pour matrices creuses). Ces méthodes réalisent une sorte de compromis;on remplace des accès mémoire aux coefficients de la matrice par du calcul (petit produit matrice-vecteur) au profit de l’efficacité globale de l'implantation algorithmique. De nombreuses méthodes itératives en algèbre linéaire permettent une implémentation matrix-free, notamment :
* la méthode de la puissance itérée,
* l'algorithme de Lanczos,
* Méthode du gradient conjugué préconditionné par bloc localement optimal (LOBPCG),
* l'algorithme de récurrence des coordonnées de Wiedemann,
* la méthode du gradient conjugué. Il existe de nombreuses implantations parallèles de ces algorithmes pour les calculateurs à mémoire distribuée. Ces méthodes sont par exemple utilisées dans la résolution d'équations linéaires résultant de la discrétisation des équations d'Euler (équations aux dérivées partielles) en dynamique des fluides numérique. La méthode du gradient conjugué matrix-free a été appliquée par exemple à la résolution par la méthode des éléments finis de problèmes élasto-plastiques non linéaire. La résolution de ces équations nécessite le calcul d'une matrice jacobienne qui est coûteux en temps de calcul et en stockage en mémoire. Afin de supprimer le besoin de calculer ce jacobien, on forme un produit matrice-vecteur à la place. Manipuler et calculer ces produits matrice-vecteur est plus facile que de travailler avec une matrice de grande taille. (fr)
- In computational mathematics, a matrix-free method is an algorithm for solving a linear system of equations or an eigenvalue problem that does not store the coefficient matrix explicitly, but accesses the matrix by evaluating matrix-vector products. Such methods can be preferable when the matrix is so big that storing and manipulating it would cost a lot of memory and computing time, even with the use of methods for sparse matrices. Many iterative methods allow for a matrix-free implementation, including:
* the power method,
* the Lanczos algorithm,
* Locally Optimal Block Preconditioned Conjugate Gradient Method (LOBPCG),
* Wiedemann's coordinate recurrence algorithm, and
* the conjugate gradient method. Distributed solutions have also been explored using coarse-grain parallel software systems to achieve homogeneous solutions of linear systems. It is generally used in solving non-linear equations like Euler's equations in Computational Fluid Dynamics. Matrix-free conjugate gradient method has been applied in the non-linear elasto-plastic finite element solver. Solving these equations requires the calculation of the Jacobian which is costly in terms of CPU time and storage. To avoid this expense, matrix-free methods are employed. In order to remove the need to calculate the jacobian, the jacobian vector product is formed instead, which is in fact a vector itself. Manipulating and calculating this vector is easier than working with a large matrix or linear system. (en)
- В вычислительной математике, безматричный метод это алгоритм для решения СЛАУ или решения задачи нахождения собственных значений, который не использует отдельное хранение матрицы коэффициентов, но обращается к матрице через произведения матриц-векторов. Безматричные методы предпочтительнее, когда матрица слишком большая для хранения и работа с ней требует больших объемов памяти и вычислительного времени, даже если матрица разреженная. (ru)
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