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| - In the mathematical field of set theory, Martin's axiom, introduced by Donald A. Martin and Robert M. Solovay, is a statement that is independent of the usual axioms of ZFC set theory. It is implied by the continuum hypothesis, but it is consistent with ZFC and the negation of the continuum hypothesis. Informally, it says that all cardinals less than the cardinality of the continuum, , behave roughly like . The intuition behind this can be understood by studying the proof of the Rasiowa–Sikorski lemma. It is a principle that is used to control certain forcing arguments. (en)
- En théorie des ensembles, l'axiome de Martin, introduit par Donald A. Martin et Robert M. Solovay en 1970, est un énoncé indépendant de ZFC, l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles. C'est une conséquence de l'hypothèse du continu, mais l'axiome de Martin est également cohérent avec la négation de celle-ci. Informellement, l'axiome de Martin affirme que tous les cardinaux strictement inférieurs à se comportent comme . C'est une généralisation du (en). (fr)
- 数学の集合論におけるマーティンの公理（マーティンのこうり、Martin's axiom, MA）とは、マーティン (en:Donald A. Martin) とソロヴェイ (en:Robert M. Solovay) によって1970年に提唱された、ZFCと独立な命題である。 この命題は連続体仮説(CH)から導かれるが、ZFC + ¬ CHとも矛盾しない。すなわち、MAを仮定するかどうかに興味があるのはCHを仮定しないときのみである。 この公理は非形式的には「連続体濃度未満の任意の基数がと似たような振る舞いをする」と述べるものである。この主張の背景となる直観を知るには、ラショーヴァ＝シコルスキの補題を研究するとよい。この公理はある種の強制法論法を制御する上で使われる原理である。 (ja)
- 집합론에서 마틴 공리(Martin公理, 영어: Martin’s axiom, 약자 )는 실수 집합의 크기보다 더 작은 집합들은 가산 집합과 유사한 성질을 갖는다는 명제다. 여기서 "유사한 성질"이란 강제법에 사용되는 원순서 집합에 대한 것으로, 이 조건을 강화시켜 고유 강제법 공리(固有強制法公理, 영어: proper forcing axiom, 약자 ) 및 마틴 최대 공리(Martin最大公理, 영어: Martin’s maximum, 약자 )를 얻을 수 있다. 적절한 큰 기수의 존재 아래, 이들은 모두 다 통상적인 집합론(체르멜로-프렝켈 집합론 및 선택 공리)으로는 증명할 수도, 반증할 수도 없다. (ko)
- Aksjomat Martina – zdanie postulujące pewną własność zbiorów uporządkowanych. Zdanie to jest używane w teorii mnogości i pokrewnych dziedzinach matematyki. Jest niezależne od standardowych aksjomatów ZFC, tzn. nie można go udowodnić na gruncie tych aksjomatów ani nie można go obalić. Ponieważ ma wiele ciekawych konsekwencji, jest traktowane przez matematyków jako dodatkowy aksjomat, który może być zakładany, jeśli tego wymaga dowód. W tym sensie pozycja aksjomatu Martina może być porównana do pozycji zajmowanej przez hipotezę continuum (CH). (pl)
- Аксиома Мартина — утверждение о достаточных условиях существования ультрафильтра на булевой алгебре, является следствием континуум-гипотезы. Широко используется в общей топологии и теории множеств. Формулировка: если — булева алгебра, удовлетворяющая условию счётности цепей, и — семейство подмножеств , такое, что , то существует — полный ультрафильтр на . (Частично упорядоченное множество удовлетворяет условию счётности цепей, если каждое множество попарно несовместимых элементов имеет мощность счётного множества.) (ru)
- No campo matemático da teoria dos conjuntos, o axioma de Martin, introduzido por Donald A. Martin e Robert M. Solovay (1970), é uma sentença que é independente dos axiomas da teoria dos conjuntos de ZFC. Esta é implícita pela hipótese contínua, mas é consistente com ZFC e a negação da hipótese contínua. Informalmente, ele afirma que todos os cardinais menores que a cardinalidade do contínuo, c, se comportam aproximadamente como . A intuição por trás disso pode ser entendida através do estudo da prova do lema de Rasiowa–Sikorski. É um princípio que é usado para controlar alguns argumentos de forcing. (pt)
- 在數學的集合論中，馬丁公理（Martin's axiom）是一個由和引進的公理，這公理獨立於慣常的、帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論（ZFC）。這公理在連續統假設成立的狀況下成立，但也與否定連續統假設的ZFC公理系統相容。 用較不正式的講法，馬丁公理講的是任何小於連續統的基數，其行為會與大體類似。這公理背後的想法可藉由研究羅修娃－西葛斯基引理的證明得知；而這是用以控制特定力迫論證的其中一個原則。 (zh)
- Аксіома Мартіна — аксіома в теорії множин введена Дональдом Мартіном і Робертом Соловеєм, що не залежить від аксіоматики Цермело — Френкеля. Вона стверджує, що всі кардинали менші за кардинал континууму, ведуть себе подібно до . (uk)
- Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweisbar noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt. Schreibe für die Kardinalität des Kontinuums.
* oder
* überabzählbare Antiketten besitzt, gibt es im Allgemeinen keine -generischen Filter. Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl , kurz , ist die Aussage, für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit gibt es einen -generischen Filter . für alle überabzählbaren gilt. (de)
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| - Martins Axiom ist in der Mengenlehre eine Aussage, die in dem üblichen Zermelo-Fraenkelschen System weder beweisbar noch widerlegbar ist. Es wurde 1970 von Donald A. Martin und Robert M. Solovay eingeführt. Schreibe für die Kardinalität des Kontinuums. Sei eine Halbordnung. Eine Menge heißt hier dicht, wenn jede Menge der Form trifft. Sei eine Menge von dichten Teilmengen von . Gesucht ist ein Filter auf , der alle Elemente aus trifft, d. h. nichtleer schneidet; heißt dann -generischer Filter. Das Lemma von Rasiowa-Sikorski besagt, dass es für abzählbare immer möglich ist, einen solchen Filter zu finden. Für überabzählbare Mengen ist die Situation anders: Wenn
* oder
* überabzählbare Antiketten besitzt, gibt es im Allgemeinen keine -generischen Filter. Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl , kurz , ist die Aussage, für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit gibt es einen -generischen Filter . Damit ist beweisbar wahr und exakt die Aussage des Lemmas von Rasiowa-Sikorski.Für ist beweisbar falsch. Gilt die Kontinuumshypothese (CH), ist die Aussage damit für jede unendliche Kardinalzahl entschieden. Folglich ist Martins Axiom für eine unendliche Kardinalzahl nur in Modellen interessant, in denen die Kontinuumshypothese scheitert. Mit dem Begriff Martins Axiom ohne Angabe einer Kardinalzahl, kurz , wird die Aussage bezeichnet, dass für alle überabzählbaren gilt. Äquivalent ist die Formulierung „[…] für alle unendlichen “, da der Unterschied nur betrifft.Martins Axiom ohne die Formulierung für eine unendliche Kardinalzahl ist äquivalent dazu, dass es für jede Halbordnung , die nur abzählbare Antiketten besitzt, und jede Menge dichter Teilmengen mit einen -generischen Filter gibt. Vorausgesetzt ZFC ist konsistent, lassen sich Modelle von ZFC + MA + ¬CH konstruieren, also in denen zwar Martins Axiom gilt, die Kontinuumshypothese aber nicht. Anschaulich bedeutet Martins Axiom, dass die überabzählbaren Kardinalzahlen in einem gewissen Sinne klein gegenüber sind und sich ähnlich wie verhalten. (de)
- In the mathematical field of set theory, Martin's axiom, introduced by Donald A. Martin and Robert M. Solovay, is a statement that is independent of the usual axioms of ZFC set theory. It is implied by the continuum hypothesis, but it is consistent with ZFC and the negation of the continuum hypothesis. Informally, it says that all cardinals less than the cardinality of the continuum, , behave roughly like . The intuition behind this can be understood by studying the proof of the Rasiowa–Sikorski lemma. It is a principle that is used to control certain forcing arguments. (en)
- En théorie des ensembles, l'axiome de Martin, introduit par Donald A. Martin et Robert M. Solovay en 1970, est un énoncé indépendant de ZFC, l'axiomatique usuelle de la théorie des ensembles. C'est une conséquence de l'hypothèse du continu, mais l'axiome de Martin est également cohérent avec la négation de celle-ci. Informellement, l'axiome de Martin affirme que tous les cardinaux strictement inférieurs à se comportent comme . C'est une généralisation du (en). (fr)
- 数学の集合論におけるマーティンの公理（マーティンのこうり、Martin's axiom, MA）とは、マーティン (en:Donald A. Martin) とソロヴェイ (en:Robert M. Solovay) によって1970年に提唱された、ZFCと独立な命題である。 この命題は連続体仮説(CH)から導かれるが、ZFC + ¬ CHとも矛盾しない。すなわち、MAを仮定するかどうかに興味があるのはCHを仮定しないときのみである。 この公理は非形式的には「連続体濃度未満の任意の基数がと似たような振る舞いをする」と述べるものである。この主張の背景となる直観を知るには、ラショーヴァ＝シコルスキの補題を研究するとよい。この公理はある種の強制法論法を制御する上で使われる原理である。 (ja)
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