| rdfs:comment
| - Der Satz von Legendre beschreibt, wie kleine sphärische Dreiecke verebnet werden können, so dass in ihnen Berechnungen wie in der ebenen Trigonometrie durchgeführt werden können. Er wurde 1787 von Adrien-Marie Legendre aufgestellt. (de)
- Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен. (ru)
- In geometry, Legendre's theorem on spherical triangles, named after Adrien-Marie Legendre, is stated as follows: Let ABC be a spherical triangle on the unit sphere with small sides a, b, c. Let A'B'C' be the planar triangle with the same sides. Then the angles of the spherical triangle exceed the corresponding angles of the planar triangle by approximately one third of the spherical excess (the spherical excess is the amount by which the sum of the three angles exceeds π). (en)
- 기하학에서 르장드르의 구면삼각형 정리(Legendre's theorem on spherical triangles)의 구형삼각형(구면삼각형)에 대한 정리는 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)의 이름을 따서 명명했다. ABC를 작은 변 a , b , c 가있는 구면의 구형 삼각형이라고한다면, A' , B' , C'를 같은면이있는 평면 삼각형이라고 비교할 수 있다. 그렇다면 구면삼각형의 각도가 평면 삼각형의 대응 각도를 구면과잉(spherical excess)의 약 1/3만큼 초과한다 (구형과잉 또는 구면과잉은 세 각도의 합이 π를 초과하는 양) 이 정리는 1800년경부터 20세기 중반까지 전통적 GPS 측지 측량 결과를 계산할 때 어려운 수치 작업을 간소화하는 데 매우 중요했다. 알버트 지라드(Albert Girard)의 (Girard's theorem)는 삼각형 E 의 (spherical excess)이 영역Δ와 동일하므로 르장드르의 정리(Legendre's theorem)는 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 기술한다. (ko)
- Legendres sats inom den sfäriska geometrin säger att: Om en sfärisk triangels sidor är små i förhållande till sfärens radie, så gäller för dess hörnvinklar att vardera av dessa överskrider motsvarande vinkel i en plan triangel, med sidor liklånga med den sfäriska triangelns sidor (det vill säga storcirkelbågarnas längd), med en tredjedel av det sfäriska överskottet. eller, mer formellt: På en enhetssfär gäller om : Vilket i sin tur expanderades till: (cyklisk permutation av ovanstående uttryck) av Adam Maximilian Nell 1874 och Friedrich Robert Helmert 1880 (sv)
|
| has abstract
| - Der Satz von Legendre beschreibt, wie kleine sphärische Dreiecke verebnet werden können, so dass in ihnen Berechnungen wie in der ebenen Trigonometrie durchgeführt werden können. Er wurde 1787 von Adrien-Marie Legendre aufgestellt. (de)
- In geometry, Legendre's theorem on spherical triangles, named after Adrien-Marie Legendre, is stated as follows: Let ABC be a spherical triangle on the unit sphere with small sides a, b, c. Let A'B'C' be the planar triangle with the same sides. Then the angles of the spherical triangle exceed the corresponding angles of the planar triangle by approximately one third of the spherical excess (the spherical excess is the amount by which the sum of the three angles exceeds π). The theorem was very important in simplifying the heavy numerical work in calculating the results of traditional (pre-GPS and pre-computer) geodetic surveys from about 1800 until the middle of the twentieth century. The theorem was stated by who provided a proof in a supplement to the report of the measurement of the French meridional arc used in the definition of the metre. Legendre does not claim that he was the originator of the theorem despite the attribution to him. maintains that the method was in common use by surveyors at the time and may have been used as early as 1740 by La Condamine for the calculation of the Peruvian meridional arc. Girard's theorem states that the spherical excess of a triangle, E, is equal to its area, Δ, and therefore Legendre's theorem may be written as The excess, or area, of small triangles is very small. For example, consider an equilateral spherical triangle with sides of 60 km on a spherical Earth of radius 6371 km; the side corresponds to an angular distance of 60/6371=.0094, or approximately 10−2 radians (subtending an angle of 0.57° at the centre). The area of such a small triangle is well approximated by that of a planar equilateral triangle with the same sides: 1⁄2a2sin(π/3) = 0.0000433 radians corresponding to 8.9″. When the sides of the triangles exceed 180 km, for which the excess is about 80″, the relations between the areas and the differences of the angles must be corrected by terms of fourth order in the sides, amounting to no more than 0.01″: (Δ′ is the area of the planar triangle.) This result was proved by —an extended proof may be found in (Appendix D13). Other results are surveyed by . The theorem may be extended to the ellipsoid if a, b, c are calculated by dividing the true lengths by the square root of the product of the principal radii of curvature (see Chapter 5) at the median latitude of the vertices (in place of a spherical radius). , Art. 26–28) provided more exact formulae. (en)
- 기하학에서 르장드르의 구면삼각형 정리(Legendre's theorem on spherical triangles)의 구형삼각형(구면삼각형)에 대한 정리는 아드리앵마리 르장드르(Adrien-Marie Legendre)의 이름을 따서 명명했다. ABC를 작은 변 a , b , c 가있는 구면의 구형 삼각형이라고한다면, A' , B' , C'를 같은면이있는 평면 삼각형이라고 비교할 수 있다. 그렇다면 구면삼각형의 각도가 평면 삼각형의 대응 각도를 구면과잉(spherical excess)의 약 1/3만큼 초과한다 (구형과잉 또는 구면과잉은 세 각도의 합이 π를 초과하는 양) 이 정리는 1800년경부터 20세기 중반까지 전통적 GPS 측지 측량 결과를 계산할 때 어려운 수치 작업을 간소화하는 데 매우 중요했다. 이 정리는 르장드르(Legendre,1787)가 미터(DTambambre , 1798)의 정의에 사용된 (French Geodesic Mission)를 보완하는 증거(1798 )를 제공 한 것으로 명시되었다. 르장드르는 그가 자신의 제공에도 불구하고 정리의 창시자라고 주장하지 않았다. 트로프케(Tropfke ,1903)는 그 방법이 당시 측량사들에 의해 일반적으로 사용되었고 페루 자오선 호 계산을 위해 (La Condamine)이 1740년에 이미 사용했을지도 모른다고 언급했다. 알버트 지라드(Albert Girard)의 (Girard's theorem)는 삼각형 E 의 (spherical excess)이 영역Δ와 동일하므로 르장드르의 정리(Legendre's theorem)는 다음과 같이 쓰여질 수 있다고 기술한다. 작은 삼각형의 과잉영역은 매우 작다. 예를 들어 반경이 6371km 인 구형 지구상에 60km의 변이있는 정삼각형의 구형 삼각형을 생각해보면, 측면은 60/6371 = .0094 또는 약 10-2 라디안 (중심에서 0.57°의 각도를 나타냄)의 각도 거리에 해당한다. 그러한 작은 삼각형의 면적은 같은면을 가진 평면 정삼각형의 면적으로 잘 근사화된다 : 1/2a2 sin (π/3) = 0.0000433 라디안 (8.9 "에 해당). 삼각형의 변이 180km를 초과 할 때, 초과분이 약 80"인 경우, 영역과 각도의 차이는 측의 4차항의 항으로 0.01"이하로 정정되어야한다. (Δ'는 평면 삼각형의 면적)이 결과는 Buzengeiger (1818)에 의해 입증되었다. 확장 된 증거는 Osborne (2013) (부록 D13)에서 찾을 수 있다. 다른 결과는 Nádeník (2004)에 의해 조사되었다. a , b , c 가 진정한 길이를 주 곡률 반경 ( Osborne (2013) 5 장 참조)의 곱의 제곱근으로 나누어서 정점의 중간 위도에서 정리하면 타원체로 확장될수있다 (구형 반지름 대신). 가우스(1828 , Art. 26-28)는보다 정확한 공식을 제시했다. (ko)
- Legendres sats inom den sfäriska geometrin säger att: Om en sfärisk triangels sidor är små i förhållande till sfärens radie, så gäller för dess hörnvinklar att vardera av dessa överskrider motsvarande vinkel i en plan triangel, med sidor liklånga med den sfäriska triangelns sidor (det vill säga storcirkelbågarnas längd), med en tredjedel av det sfäriska överskottet. eller, mer formellt: Om är en sfärisk triangel med hörnvinklarna , och och de till dessa motstående sidorna har längderna , respektive och är en plan triangel med hörnvinklarna , och och de till dessa motstående sidorna har längderna , respektive , så gäller om :där är det sfäriska överskottet. Satsen, som har haft stor betydelse inom geodesin för att förenkla beräkningar med mätresultat erhållna vid triangulering, är uppkallad efter den franske matematikern Adrien-Marie Legendre, som medverkade vid beräkningarna av storcirkelbågen mellan Greenwichobservatoriet och Parisobservatoriet 1784-1790. Legendre publicerade sambandet i Mémoire sur les opérations trigonométriques, dont les résultats dépendant de la figure de la Terre 1787 och gav en härledning i Méthode pour déterminer la longueur exacte du quart du méridien d’après les observations faites pour la mesure de l’arc compris entre Dunkerque et Barcelone 1798. Förhållandet bygger på Girards sats från 1629 och skall ha varit i allmänt bruk före Legendre – så skall det exempelvis ha använts av Charles Marie de La Condamine vid uppmätningen av "Perumeridianen" 1740 – dock var det Legendre som gav förhållandet en matematisk grund, i stället för att bara intuitivt "dela överskottet lika mellan vinklarna". August Leopold Crelle och Friedrich Wilhelm Bessel förfinade sedan beräkningsmetoden ytterligare, men den senare slog fast att Legendres beräkningsmetod var tillräckligt noggrann (för beräkningar på jordytan) om triangelsidorna var kortare än 185 km (med dåtida precision). Karl Buzengeiger expanderade 1818 Legendres sats till: På en enhetssfär gäller om : Vilket i sin tur expanderades till: (cyklisk permutation av ovanstående uttryck) av Adam Maximilian Nell 1874 och Friedrich Robert Helmert 1880 (sv)
- Теорема Лежандра в сферической тригонометрии позволяет упростить решение сферического треугольника, если известно, что его стороны достаточно малы по сравнению с радиусом сферы, на которой он расположен. (ru)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)
