In the study of dynamical systems, a hyperbolic equilibrium point or hyperbolic fixed point is a fixed point that does not have any center manifolds. Near a hyperbolic point the orbits of a two-dimensional, non-dissipative system resemble hyperbolas. This fails to hold in general. Strogatz notes that "hyperbolic is an unfortunate name—it sounds like it should mean 'saddle point'—but it has become standard." Several properties hold about a neighborhood of a hyperbolic point, notably
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| - Hyperbolischer Fixpunkt (de)
- Punto di equilibrio iperbolico (it)
- Hyperbolic equilibrium point (en)
- 双曲型平衡点 (ja)
- Гиперболическая неподвижная точка (ru)
- Гіперболічна нерухома точка (uk)
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| - 数学の力学系の研究において、双曲型平衡点（そうきょくがたへいこうてん、英: hyperbolic equilibrium point）あるいは双曲型不動点（そうきょくがたふどうてん、英: hyperbolic fixed point）とは、を持たない不動点のことを言う。双曲点の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる：
* 安定多様体と不安定多様体が存在する；
* 擬軌道尾行が生じる；
* 不変集合上での挙動はによって表現できる；
* 自然測度が定義される；
* 系は構造安定である。 (ja)
- Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля имеют ненулевые вещественные части. (ru)
- In the study of dynamical systems, a hyperbolic equilibrium point or hyperbolic fixed point is a fixed point that does not have any center manifolds. Near a hyperbolic point the orbits of a two-dimensional, non-dissipative system resemble hyperbolas. This fails to hold in general. Strogatz notes that "hyperbolic is an unfortunate name—it sounds like it should mean 'saddle point'—but it has become standard." Several properties hold about a neighborhood of a hyperbolic point, notably (en)
- Ein hyperbolischer Fixpunkt ist ein Fixpunkt (auch Gleichgewichtspunkt genannt) eines dynamischen Systems mit bestimmten Eigenschaften. Im Gegensatz zu einem elliptischen Fixpunkt gibt es keine Zentrumsmannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits genannten Lösungskurven den Fixpunkt umkreisen, sondern instabile und stabile Mannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits auf den Fixpunkt zulaufen (stabile Mannigfaltigkeit) oder sich von ihm entfernen (instabile Mannigfaltigkeiten). Die Klassifikation der Fixpunkte spielt eine Rolle in der qualitativen Diskussion der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (siehe den Artikel Autonome Differentialgleichung). (de)
- In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma: è un punto di equilibrio tale per cui, se: è la linearizzazione del sistema in un intorno di , nessuno degli autovalori della matrice ha parte reale nulla. Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile. Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale (it)
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| - Eugene M. Izhikevich (en)
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| - Ein hyperbolischer Fixpunkt ist ein Fixpunkt (auch Gleichgewichtspunkt genannt) eines dynamischen Systems mit bestimmten Eigenschaften. Im Gegensatz zu einem elliptischen Fixpunkt gibt es keine Zentrumsmannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits genannten Lösungskurven den Fixpunkt umkreisen, sondern instabile und stabile Mannigfaltigkeiten, auf denen die Orbits auf den Fixpunkt zulaufen (stabile Mannigfaltigkeit) oder sich von ihm entfernen (instabile Mannigfaltigkeiten). Die Klassifikation der Fixpunkte spielt eine Rolle in der qualitativen Diskussion der Lösungen von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen (siehe den Artikel Autonome Differentialgleichung). Der Name kommt daher, dass im Fall zweidimensionaler autonomer Differentialgleichungssysteme, die häufig zur Beschreibung dynamischer Systeme benutzt werden, der Phasenfluss im typischen Fall eines Sattelpunktes Hyperbel-ähnlich ist (siehe Abbildung). Die sich kreuzenden Geraden in der Abbildung (die Separatrix) sind hier die stabile Mannigfaltigkeit (die Gerade, bei der die Pfeile auf den Fixpunkt im Zentrum zulaufen) und die instabile Mannigfaltigkeit (Gerade, auf der die Pfeile vom Fixpunkt fort zeigen). Alternativ lässt sich das auch über die Eigenwertstruktur der linearisierten Systeme um den Fixpunkt erklären:
* Im Fall von autonomen Differentialgleichungssystemen betrachtet man die Lösungkurven der Differentialgleichung , die einen Phasen-Fluss (ein Vektorfeld) definieren. Linearisiert man um einen Fixpunkt , für den ist, erhält man eine lineare Abbildung mit der Jacobimatrix (Matrix der partiellen Ableitungen) . Ein hyperbolischer Fixpunkt liegt vor, wenn keine von deren Eigenwerten den Realteil 0 hat. Dann lässt sich etwa für zwei Dimensionen zeigen, dass entweder die beiden Eigenwerte reell sind und entgegengesetztes Vorzeichen haben (man spricht dann auch von einem Sattelpunkt), oder beide gleiches Vorzeichen des Realteils haben (instabile Knoten (Quellen) bei positivem Vorzeichen und stabile Knoten (Senken) bei negativem Vorzeichen falls der Imaginärteil verschwindet und ansonsten stabile und instabile Foki, geometrisch Spiralen). Im häufig betrachteten Fall konservativer Systeme hat man es bei hyperbolischen Fixpunkten in der Ebene nur mit Sattelpunkten zu tun. Es lässt sich unter allgemeinen Voraussetzungen zeigen, dass lokal eine stabile und/oder eine instabile Mannigfaltigkeit (beide invariant unter dem Fluss) des Fixpunkts existieren, die jeweils auch verschwinden können oder von voller Dimension des zugrundeliegenden Raumes wie bei Quellen und Senken sind (Stabiler-Mannigfaltigkeiten-Satz). Nach dem Satz von Hartman-Grobman ist das Verhalten um den hyperbolischen Fixpunkt beim linearisierten System topologisch ähnlich (lokal topologisch konjugiert) dem des vollen, gegebenenfalls nichtlinearen Systems. Das drückt die strukturelle Stabilität des Verhaltens dynamischer Systeme um hyperbolische Fixpunkte aus (im Gegensatz elliptischen Fixpunkten).
* Man kann das dynamische System auch als diskretes dynamisches System von Abbildungen (Diffeomorphismen) auffassen: . Ein hyperbolischer Fixpunkt des Diffeomorphismus ist ein Fixpunkt p, an dem die Jacobi-Matrix keine Eigenwerte mit Betrag 1 hat (die also auf dem Einheitskreis liegen). Der Zusammenhang mit der Definition über Vektorfelder ergibt sich daraus, dass bei Abbildungen der über die Zeit integrierte Vektorfluss betrachtet wird, so dass den Eigenwerten von dort die Eigenwerte von entsprechen: verschwindet der Realteil der Eigenwerte von A entspricht das für Modulus 1. Ein Beispiel für eine Abbildung, die nur einen hyperbolischen Fixpunkt hat, ist Arnolds Katzenabbildung. Bei elliptischen Fixpunkten verschwindet der Realteil der Eigenwerte, die dann rein imaginär sind (also Modulus 1 haben) und der Fluss um den Fixpunkt als Rotation beschrieben werden kann (mit einer Zentrums-Mannigfaltigkeit). Hyperbolische Fixpunkte führen häufig zu chaotischer Bewegung (siehe Homokliner Orbit). (de)
- In the study of dynamical systems, a hyperbolic equilibrium point or hyperbolic fixed point is a fixed point that does not have any center manifolds. Near a hyperbolic point the orbits of a two-dimensional, non-dissipative system resemble hyperbolas. This fails to hold in general. Strogatz notes that "hyperbolic is an unfortunate name—it sounds like it should mean 'saddle point'—but it has become standard." Several properties hold about a neighborhood of a hyperbolic point, notably
* A stable manifold and an unstable manifold exist,
* Shadowing occurs,
* The dynamics on the invariant set can be represented via symbolic dynamics,
* A natural measure can be defined,
* The system is structurally stable. (en)
- 数学の力学系の研究において、双曲型平衡点（そうきょくがたへいこうてん、英: hyperbolic equilibrium point）あるいは双曲型不動点（そうきょくがたふどうてん、英: hyperbolic fixed point）とは、を持たない不動点のことを言う。双曲点の近くで、二次元の非散逸的な系の軌道は双曲線に似たものとなる。しかしこの事実は一般には成立しない。Strogatz は、「双曲型とは、必ず『鞍点』であることを意味するように聞こえるため、不幸な名前である。しかしその呼び名が標準的となっている」と注意している。双曲型点の近傍において、いくつかの性質が成り立つ。特に重要なものを以下に挙げる：
* 安定多様体と不安定多様体が存在する；
* 擬軌道尾行が生じる；
* 不変集合上での挙動はによって表現できる；
* 自然測度が定義される；
* 系は構造安定である。 (ja)
- In matematica, specialmente nello studio dei sistemi dinamici, un punto di equilibrio iperbolico o punto fisso iperbolico di un sistema dinamico descritto dall'equazione autonoma: è un punto di equilibrio tale per cui, se: è la linearizzazione del sistema in un intorno di , nessuno degli autovalori della matrice ha parte reale nulla. Si tratta di un punto di equilibrio che non possiede nessuna varietà centrale; in prossimità di esso esistono una varietà stabile ed una instabile. La parola "iperbolico" è dovuta al fatto che nel caso bidimensionale le triettorie vicine al punto iperbolico giacciono su tratti di iperbole centrate in quel punto rispetto ad un adeguato sistema di riferimento. A volte per ottenere questo sistema di riferimento si deve passare attraverso una rotazione nello spazio immaginario. Traiettorie vicino ad un punto di equilibrio iperbolico per un flusso bidimensionale (it)
- Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля имеют ненулевые вещественные части. (ru)
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