In the branch of abstract algebra called ring theory, the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem connects the descending chain condition and ascending chain condition in modules over semiprimary rings. A ring R (with 1) is called semiprimary if R/J(R) is semisimple and J(R) is a nilpotent ideal, where J(R) denotes the Jacobson radical. The theorem states that if R is a semiprimary ring and M is an R module, the three module conditions Noetherian, Artinian and "has a composition series" are equivalent. Without the semiprimary condition, the only true implication is that if M has a composition series, then M is both Noetherian and Artinian.
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| - Hopkins–Levitzki theorem (en)
- ホプキンス・レヴィツキの定理 (ja)
- Теорема Акідзукі — Хопкінса — Левицького (uk)
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| - У абстрактній алгебрі теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького (також теоремою Хопкінса — Левицького) називають декілька пов'язаних результатів про властивості нетерівських і артінових кілець і модулів. Теореми є справедливими для загальних (не обов'язково комутативних) кілець з одиницею. Теореми названі на честь Чарльза Хопкінса і Якова Левицького, які довели їх у 1939 році і Ясуо Акідзукі, який одержав цей результат у 1935 році для комутативних кілець (uk)
- In the branch of abstract algebra called ring theory, the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem connects the descending chain condition and ascending chain condition in modules over semiprimary rings. A ring R (with 1) is called semiprimary if R/J(R) is semisimple and J(R) is a nilpotent ideal, where J(R) denotes the Jacobson radical. The theorem states that if R is a semiprimary ring and M is an R module, the three module conditions Noetherian, Artinian and "has a composition series" are equivalent. Without the semiprimary condition, the only true implication is that if M has a composition series, then M is both Noetherian and Artinian. (en)
- 抽象代数学の一分野である環論において、秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理 (Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem) は半準素環上の加群において降鎖条件と昇鎖条件を結び付ける。（単位元を持つ）環 R は、R/J(R) が半単純でありかつ J(R) が冪零イデアルであるときに、半準素環 (semiprimary ring) と呼ばれる。ここで J(R) はジャコブソン根基である。定理の主張は、R が半準素環で M が右 R-加群ならば、3つの条件
* M はネーター的
* M はアルティン的
* M は組成列を持つ が同値であるというものである。半準素という条件がなければ、M が組成列を持てば M はネーターかつアルティンであるということしか言えない。 Charles Hopkins の論文 と の論文 から定理は現在の形となった。そのためしばしばホプキンス・レヴィツキの定理 (Hopkins–Levitzki theorem) と呼ばれる。しかしながら、秋月康夫を含めることがある。数年早く可換環に対して結果を証明したからだ。 別の直接の系として、R が右アルティン環であるとき、R が左アルティン環であることと左ネーター環であることは同値である。 (ja)
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| - In the branch of abstract algebra called ring theory, the Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem connects the descending chain condition and ascending chain condition in modules over semiprimary rings. A ring R (with 1) is called semiprimary if R/J(R) is semisimple and J(R) is a nilpotent ideal, where J(R) denotes the Jacobson radical. The theorem states that if R is a semiprimary ring and M is an R module, the three module conditions Noetherian, Artinian and "has a composition series" are equivalent. Without the semiprimary condition, the only true implication is that if M has a composition series, then M is both Noetherian and Artinian. The theorem takes its current form from a paper by Charles Hopkins and a paper by Jacob Levitzki, both in 1939. For this reason it is often cited as the Hopkins–Levitzki theorem. However Yasuo Akizuki is sometimes included since he proved the result for commutative rings a few years earlier, in 1935. Since it is known that right Artinian rings are semiprimary, a direct corollary of the theorem is: a right Artinian ring is also right Noetherian. The analogous statement for left Artinian rings holds as well. This is not true in general for Artinian modules, because there are examples of Artinian modules which are not Noetherian. Another direct corollary is that if R is right Artinian, then R is left Artinian if and only if it is left Noetherian. (en)
- 抽象代数学の一分野である環論において、秋月・ホプキンス・レヴィツキの定理 (Akizuki–Hopkins–Levitzki theorem) は半準素環上の加群において降鎖条件と昇鎖条件を結び付ける。（単位元を持つ）環 R は、R/J(R) が半単純でありかつ J(R) が冪零イデアルであるときに、半準素環 (semiprimary ring) と呼ばれる。ここで J(R) はジャコブソン根基である。定理の主張は、R が半準素環で M が右 R-加群ならば、3つの条件
* M はネーター的
* M はアルティン的
* M は組成列を持つ が同値であるというものである。半準素という条件がなければ、M が組成列を持てば M はネーターかつアルティンであるということしか言えない。 Charles Hopkins の論文 と の論文 から定理は現在の形となった。そのためしばしばホプキンス・レヴィツキの定理 (Hopkins–Levitzki theorem) と呼ばれる。しかしながら、秋月康夫を含めることがある。数年早く可換環に対して結果を証明したからだ。 右アルティン環は半準素であることが知られているから、定理の直接の系として、右アルティン環は右ネーター環でもある。同様の主張は左アルティン環に対しても成り立つ。これはアルティン加群に対しては一般には正しくない。ネーター的でないアルティン加群の例が存在するからである。 別の直接の系として、R が右アルティン環であるとき、R が左アルティン環であることと左ネーター環であることは同値である。 (ja)
- У абстрактній алгебрі теоремою Акідзукі — Хопкінса — Левицького (також теоремою Хопкінса — Левицького) називають декілька пов'язаних результатів про властивості нетерівських і артінових кілець і модулів. Теореми є справедливими для загальних (не обов'язково комутативних) кілець з одиницею. Теореми названі на честь Чарльза Хопкінса і Якова Левицького, які довели їх у 1939 році і Ясуо Акідзукі, який одержав цей результат у 1935 році для комутативних кілець (uk)
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