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| - 数学において、ホモクリニック軌道(homoclinic orbit)とは、力学系における流れの軌跡で、鞍点（saddle point）から出て、同じ鞍点に戻ってくる軌道である。 より厳密に、鞍点での安定多様体と不安定多様体の積集合とも定義できる。反復写像系（）でも、ホモクリニック軌道や、ホモクリニックポイントは同様に、安定多様体と不安定多様体の不動点と周期点を用いて定義することができる。 (ja)
- En matematiko, unuekvilibra orbito estas trajektorio de de kiu kunigas selan ekvilibran punkton al si. Unuekvilibra orbito kuŝas en la intersekco de la kaj la de ekvilibro. Unuekvilibra orbito kaj unuekvilibra punkto estas difinitaj simile por diskreto-tempa dinamika sistemo, kio estas por ripetita funkcio, kiel la intersekco de la kaj de iu fiksa punkto aŭ de la sistemo. Konsideru la kontinuan dinamikan sistemon priskribitan per la ordinara diferenciala ekvacio Supozu ke estas ekvilibro je x=xe, tiam solvaĵo Φ(t) estas unuekvilibra orbito se se (eo)
- Ein homokliner Orbit ist in der Mathematik dynamischer Systeme (Autonome Differentialgleichungssysteme) eine Bahnkurve (Orbit), die von einem hyperbolischen Fixpunkt (Sattelpunkt) ausgehend wieder zu diesem zurück führt. Während homokline Orbits von einem Fixpunkt zu diesem zurückführen, verlaufen heterokline Orbits zwischen zwei verschiedenen Fixpunkten, die auch Sattelpunkte sein können. (de)
- In mathematics, a homoclinic orbit is a trajectory of a flow of a dynamical system which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. Consider the continuous dynamical system described by the ODE Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if (en)
- In matematica, una orbita omoclina è una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Più precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della varietà stabile e della varietà instabile di un punto di equilibrio. Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema. Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dall'equazione differenziale ordinaria: (it)
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| - En matematiko, unuekvilibra orbito estas trajektorio de de kiu kunigas selan ekvilibran punkton al si. Unuekvilibra orbito kuŝas en la intersekco de la kaj la de ekvilibro. Unuekvilibra orbito kaj unuekvilibra punkto estas difinitaj simile por diskreto-tempa dinamika sistemo, kio estas por ripetita funkcio, kiel la intersekco de la kaj de iu fiksa punkto aŭ de la sistemo. Konsideru la kontinuan dinamikan sistemon priskribitan per la ordinara diferenciala ekvacio Supozu ke estas ekvilibro je x=xe, tiam solvaĵo Φ(t) estas unuekvilibra orbito se se Se la faza spaco havas tri aŭ pli multajn dimensiojn, do eblas malsamaj topologioj de la malstabila sternaĵo de la sela punkto. La figuro montras du okazojn. La unua, kie la malstabila sternaĵo estas topologie cilindro, kaj la dua, kie la malstabila sternaĵo estas topologie rubando de Möbius; en ĉi tiu okazo la unuekvilibra orbito estas nomata kiel tordita. Ni ankaŭ havi la komprenaĵo de unuekvilibra orbito kiam konsiderantaj diskretaj dinamikaj sistemoj. En tia okazo, se f : M → M estas memdifeomorfio de sternaĵo M, x estas unuekvilibra punkto se ĝi havas la samajn pasintecon kaj estonton, kio estas se ekzistas fiksita (aŭ perioda) punkto p tia ke (eo)
- Ein homokliner Orbit ist in der Mathematik dynamischer Systeme (Autonome Differentialgleichungssysteme) eine Bahnkurve (Orbit), die von einem hyperbolischen Fixpunkt (Sattelpunkt) ausgehend wieder zu diesem zurück führt. Während homokline Orbits von einem Fixpunkt zu diesem zurückführen, verlaufen heterokline Orbits zwischen zwei verschiedenen Fixpunkten, die auch Sattelpunkte sein können. Bei einem hyperbolischen Fixpunkt gibt es zugehörige stabile Mannigfaltigkeiten, deren Orbits für auf diesen zulaufen, und instabile Mannigfaltigkeiten, in denen die Punkte eines Orbits sich für dem Fixpunkt nähern. Die Dimension dieser Mannigfaltigkeiten richtet sich nach der Zahl positiver und negativer Realtteile von Eigenwerten bei Linearisierung der Differentialgleichung um den Fixpunkt. In zwei Dimensionen hat man eine Kurve als Orbit, die vom hyperbolischen Fixpunkt zu diesem verläuft, in mehr Dimensionen betrachtet man auch Familien von Lösungskurven und der Fixpunkt kann z. B. auch eine geschlossene Bahn sein. Mit dem Poincaré-Schnitt (dem Schnitt der Orbits mit einer Fläche senkrecht zum Phasenraumfluss) kann man das auf eine zweidimensionale Betrachtung reduzieren: der periodische Orbit (Periode ) ist im Poincaré-Schnitt ein Fixpunkt, die sich asymptotisch dem periodischen Orbit annähernden Orbits in seiner Nähe nähern sich im Poincare-Schnitt dem Fixpunkt bei der stabilen Mannigfaltigkeit bei Betrachtung des Flusses (der Iteration der Poincaré-Abbildung im Abstand ) für und bei der instabilen Mannigfaltigkeit für . Formal kann ein homokliner Orbit so definiert werden. Sei f ein Diffeomorphismus einer kompakten, nicht berandeten Mannigfaltigkeit M und p ein Fixpunkt von f. Der Orbit eines Punktes ist homoklin, falls . Nähert man sich für und zwei verschiedenen Fixpunkten, spricht man von heteroklinem Orbit. Betrachtet man zwei Dimensionen und sei p ein hyperbolischer Fixpunkt, dann liegen die sich von p unter Iteration von f entfernenden Punkte auf einer invarianten Kurve (instabile Mannigfaltigkeit) und die sich p nähernden Punkte auf (stabile Mannigfaltigkeit) und homokline Punkte q liegen auf beiden Kurven. Der homokline Punkt q heißt transversal, falls sich transversal in q schneiden. Mit q ist auch homoklin. Henri Poincaré fand 1888, dass das dynamische System ein sehr komplexes, chaotisches Verhalten in der Nähe des Fixpunktes zeigen kann, wenn sich auf dem homoklinen Orbit bei Störungen instabile und stabile Mannigfaltigkeit transversal schneiden (das heißt der stabile und instabile Orbit trifft sich dort nicht tangential). Zuvor hatte er angenommen, die homoklinen Orbits aus instabiler und stabiler Mannigfaltigkeit würden eine zusammenhängende Mannigfaltigkeit bilden, womit er eine Integrationsinvariante gefunden hätte und die Stabilität des vereinfachten Modells des Dreikörperproblems bewiesen hätte, das er untersuchte. Auf die Nachfrage des Gutachters der Preisarbeit, die er in Schweden eingereicht hatte, fand er aber, dass er die Möglichkeit eines transversalen Schneidens übersehen hatte. Das Bild war nun völlig anders: die instabile Mannigfaltigkeit schnitt die stabile in der Nähe des Fixpunkts unendlich oft und nahe dem Schnittpunkt führte das zu sehr chaotischem Verhalten. Entsprechendes galt auch für den anderen Ast des homoklinen Orbits, wo die stabile Mannigfaltigkeit die instabile unendlich oft schnitt. Poincaré nannte das ein homoklines Netzwerk (englisch: homoclinic tangle, in der Physik-Literatur stochastische Schichten, stochastic layers) und beschrieb das über den Poincaré-Schnitt nahe dem Fixpunkt. Der transversale Schnittpunkt der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit heißt transversaler homokliner Punkt (nach dem Satz von Kupka und Smale ist das der typische Fall). Da stabile und instabile Mannigfaltigkeiten des hyperbolischen Punkts invariant unter Vorwärts- und Rückwärtsiteration mit einer Poincaré-Abbildung sind, gibt es, wenn es einen homoklinen Punkt gibt, unendlich viele. In der Vorwärts- und Rückwärtsiteration liegt man sowohl auf der stabilen als auch auf der instabilen Mannigfaltigkeit und das unendlich oft. Andererseits kann die instabile Mannigfaltigkeit sich nicht selbst schneiden (und analog die stabile) wegen der Eindeutigkeit der Lösung der Differentialgleichung bei gegebener Anfangsbedingung, was eine sehr komplexe Dynamik ergibt. Das komplexe Verhalten des Systems im homoklinen Netzwerk nach Poincaré wird auch als Folge des -Lemmas von Jacob Palis deutlich: Seien die stabile und die instabile Mannigfaltigkeit zum hyperbolischen Fixpunkt p (wobei die Dimension von u sei) und sei D eine u-dimensionale Scheibe transversal zu . Dann konvergieren die Iterierten gegen . Betrachtet man zwei Dimensionen, so wird danach ein Umgebungsintervall D des transversalen homoklinen Punktes q, das auf der instabilen Mannigfaltigkeit liegt, durch Iteration schließlich in einer beliebig kleinen Umgebung eines Intervalls der instabilen Mannigfaltigkeit um den Fixpunkt p liegen. Stephen Smale fand Anfang der 1960er Jahre eine einfache geometrische Struktur, die Hufeisen-Abbildung, die das chaotische Verhalten im homoklinen Netz erklärt. Das ist Gegenstand des Satzes von Birkhoff und Smale, der besagt, dass solch ein Hufeisen in einer beliebigen Umgebung eines hyperbolischen Fixpunkts p eines Diffeomorphismus f besteht für eine Iteration von f, falls ein transversaler homokliner Punkt q existiert. Bei der Hufeisenabbildung wird ein Quadrat auf sich abgebildet, indem es gedehnt und wie ein Hufeisen zurückgebogen wird (anschaulich entspricht das der abwechselnden Expansion und Stauchung bei abwechselnder Bewegung auf der stabilen und instabilen Mannigfaltigkeit). Birkhoff bestätigte um 1935 die Vermutungen von Poincaré, indem er zeigte (in zwei Dimensionen), dass es nahe homoklinen Orbits ein sehr komplexes Netz periodischer Punkte: in einer beliebig kleinen Umgebung eines transversalen homoklinen Punkt gibt es periodische Punkte. In den 1940er Jahren untersuchten Mary Cartwright und John Edensor Littlewood (und in den USA Norman Levinson, dessen Arbeit die Inspiration für die Arbeit von Smale zum Hufeisen war) homokline Orbits bei der Van der Pol Gleichung, die erzwungene Schwingungen in Vakuumröhren beschreibt. Typisch war beim van der Pol Oszillator das Auftreten eines periodischen Orbits mit viel höherer Frequenz als die der Anregungsfrequenz und einem abwechselnd stabilen periodischen (mit einer Frequenz) und bistabilen chaotischen Verhalten (mit zwei Frequenzen) je nach der Größe der Anregungsamplitude (genauer durch Mark Levi 1981 erklärt). Der Begriff homokliner und heterokliner Punkt wurde von Poincaré im dritten Band seiner Méthodes Nouvelles de la Mécanique Celeste (1899, Kapitel 33) eingeführt (ursprünglich nannte er sie doppelt asymptotische Lösungen). (de)
- In mathematics, a homoclinic orbit is a trajectory of a flow of a dynamical system which joins a saddle equilibrium point to itself. More precisely, a homoclinic orbit lies in the intersection of the stable manifold and the unstable manifold of an equilibrium. Consider the continuous dynamical system described by the ODE Suppose there is an equilibrium at , then a solution is a homoclinic orbit if If the phase space has three or more dimensions, then it is important to consider the topology of the unstable manifold of the saddle point. The figures show two cases. First, when the stable manifold is topologically a cylinder, and secondly, when the unstable manifold is topologically a Möbius strip; in this case the homoclinic orbit is called twisted. (en)
- 数学において、ホモクリニック軌道(homoclinic orbit)とは、力学系における流れの軌跡で、鞍点（saddle point）から出て、同じ鞍点に戻ってくる軌道である。 より厳密に、鞍点での安定多様体と不安定多様体の積集合とも定義できる。反復写像系（）でも、ホモクリニック軌道や、ホモクリニックポイントは同様に、安定多様体と不安定多様体の不動点と周期点を用いて定義することができる。 (ja)
- In matematica, una orbita omoclina è una traiettoria di un flusso di un sistema dinamico che unisce un punto di equilibrio a sella a se stesso. Più precisamente, una orbita omoclina si trova nell'intersezione della varietà stabile e della varietà instabile di un punto di equilibrio. Orbite omocline e punti omoclinici sono definiti nello stesso modo per le funzioni ricorsive, come intersezione dell'insieme stabile e di quello instabile di un qualche punto fisso o punto periodico del sistema. Si consideri il sistema dinamico continuo descritto dall'equazione differenziale ordinaria: Supponendo che ci sia un punto di equilibrio a , allora una soluzione è una orbita omoclina se: Se lo spazio delle fasi ha tre o più dimensioni, allora è importante considerare la topologia della varietà instabile del punto di sella. Le figure mostrano questi due casi. La prima, quando la varietà instabile è topologicamente un cilindro e l'orbita omoclina è detta orientata, e la seconda, dove la varietà instabile è topologicamente un Nastro di Möbius, in questo caso l'orbita omoclina è chiamata twistata (twisted). Si ha anche la nozione di orbita omoclina quando si considera in sistema dinamico discreto. In questo caso, se è un diffeomorfismo della varietà , si dice che è un punto omoclinico se ha stesso passato e futuro - più precisamente se esiste un punto fisso (o periodico) tale che: (it)
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