In mathematics, the Hausdorff maximal principle is an alternate and earlier formulation of Zorn's lemma proved by Felix Hausdorff in 1914 (Moore 1982:168). It states that in any partially ordered set, every totally ordered subset is contained in a maximal totally ordered subset. The Hausdorff maximal principle is one of many statements equivalent to the axiom of choice over ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice). The principle is also called the Hausdorff maximality theorem or the Kuratowski lemma (Kelley 1955:33).
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| - Hausdorffs Maximalkettensatz (de)
- Principio maximal de Hausdorff (es)
- Hausdorff maximal principle (en)
- Principe de maximalité de Hausdorff (fr)
- Principio di massimalità di Hausdorff (it)
- Maximaal-principe van Hausdorff (nl)
- Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym (pl)
- Princípio maximal de Hausdorff (pt)
- Принцип максимума Хаусдорфа (ru)
- Принцип максимуму Гаусдорфа (uk)
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| - Der Maximalkettensatz, auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet, englisch Hausdorff's maximal principle, ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie. Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) zum Auswahlaxiom logisch äquivalent. (de)
- In mathematics, the Hausdorff maximal principle is an alternate and earlier formulation of Zorn's lemma proved by Felix Hausdorff in 1914 (Moore 1982:168). It states that in any partially ordered set, every totally ordered subset is contained in a maximal totally ordered subset. The Hausdorff maximal principle is one of many statements equivalent to the axiom of choice over ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice). The principle is also called the Hausdorff maximality theorem or the Kuratowski lemma (Kelley 1955:33). (en)
- O princípio maximal de Hausdorff, em matemática, é uma forma alternativa e anterior ao Lema de Zorn demonstrada pelo matemático alemão Felix Hausdorff em 1914. Ele estabelece que em qualquer conjunto parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado está contido em um subconjunto totalmente ordenado maximal. O princípio maximal de Hausdorff é uma das afirmações equivalentes ao axioma da escolha sobre o ZF (Axiomas de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha). Ele também é conhecido como lema de Kuratowski. (pt)
- Принцип максимума Хаусдорфа (англ. Hausdorff maximal principle), также называемый теоремой Хаусдорфа о максимуме (англ. Hausdorff maximality theorem), утверждает: В любом частично упорядоченном множестве существует максимальное линейно упорядоченное подмножество. Принцип максимума Хаусдорфа был сформулирован и доказан Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, и является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна. Как и указанная лемма, принцип максимума Хаусдорфа эквивалентен аксиоме выбора. (ru)
- Принцип максимуму Гаусдорфа — є альтернативним та більш раннім формулюванням леми Цорна. Як і лема Цорна він еквівалентний аксіомі вибору. Сформульований та доведений Феліксом Гаусдорфом в 1914 році. В довільній частково впорядкованій множині існує максимальна лінійно впорядкована множина. (uk)
- El principio maximal de Hausdorff es una consecuencia del axioma de elección, fue publicado por primera vez en un artículo en alemán de 1909, que no causó gran conmoción en su momento, sino hasta 1935 cuando Max Zorn lo publicó nuevamente. En un conjunto parcialmente ordenado cualquier subconjunto totalmente ordenado esta contenido en un subconjunto maximal (respecto a la propiedad de ser totalmente ordenado) Una de las aplicaciones más interesantes sobre esta equivalencia del axioma de elección al álgebra lineal es el siguiente enunciado: Todo espacio vectorial tiene al menos una base. (es)
- En mathématiques, le principe de maximalité de Hausdorff est une formulation différente du lemme de Zorn précédant celui-ci et prouvée par Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982:168). Il indique que, dans tout ensemble partiellement ordonné, tout sous-ensemble totalement ordonné est contenu dans un sous-ensemble maximal totalement ordonné. (fr)
- Il principio di massimalità di Hausdorff, elaborato dal matematico Felix Hausdorff, afferma che un insieme non-vuoto totalmente ordinato, che è sottoinsieme di un insieme parzialmente ordinato , è contenuto in un sottoinsieme (dello stesso ) massimale totalmente ordinato. (it)
- In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het maximaal-principe van Hausdorff een alternatieve en eerdere formulering van het lemma van Zorn. Het principe, dat in 1914 door Felix Hausdorff werd bewezen (Moore 1982:168), stelt dat in enige partieel geordende verzameling, elke volledig geordende deelverzameling in een maximaal volledig geordende deelverzameling ligt besloten. (nl)
- Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym - twierdzenie w teorii mnogości ZFC mówiące, że każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera łańcuch maksymalny w sensie inkluzji (to znaczy taki łańcuch, który nie jest zawarty w sposób właściwy w żadnym innym łańcuchu). (pl)
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| - Der Maximalkettensatz, auch als Maximalitätsprinzip von Hausdorff bezeichnet, englisch Hausdorff's maximal principle, ist ein grundlegendes Prinzip sowohl der Mengenlehre als auch der Ordnungstheorie. Felix Hausdorff veröffentlichte sein Maximalitätsprinzip im Jahre 1914 in seinem bedeutenden Werk Grundzüge der Mengenlehre. Der Maximalkettensatz ist engstens verbunden mit dem Lemma von Zorn und zu diesem und damit auch (im Rahmen der Mengenlehre auf Grundlage der Zermelo-Fraenkel-Axiome) zum Auswahlaxiom logisch äquivalent. (de)
- El principio maximal de Hausdorff es una consecuencia del axioma de elección, fue publicado por primera vez en un artículo en alemán de 1909, que no causó gran conmoción en su momento, sino hasta 1935 cuando Max Zorn lo publicó nuevamente. En un conjunto parcialmente ordenado cualquier subconjunto totalmente ordenado esta contenido en un subconjunto maximal (respecto a la propiedad de ser totalmente ordenado) Una de las aplicaciones más interesantes sobre esta equivalencia del axioma de elección al álgebra lineal es el siguiente enunciado: Todo espacio vectorial tiene al menos una base. El cual no se puede demostrar sin el principio maximal, aunque para espacios vectoriales de dimensión finita (como ) no es necesario. (es)
- In mathematics, the Hausdorff maximal principle is an alternate and earlier formulation of Zorn's lemma proved by Felix Hausdorff in 1914 (Moore 1982:168). It states that in any partially ordered set, every totally ordered subset is contained in a maximal totally ordered subset. The Hausdorff maximal principle is one of many statements equivalent to the axiom of choice over ZF (Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice). The principle is also called the Hausdorff maximality theorem or the Kuratowski lemma (Kelley 1955:33). (en)
- En mathématiques, le principe de maximalité de Hausdorff est une formulation différente du lemme de Zorn précédant celui-ci et prouvée par Felix Hausdorff en 1914 (Moore 1982:168). Il indique que, dans tout ensemble partiellement ordonné, tout sous-ensemble totalement ordonné est contenu dans un sous-ensemble maximal totalement ordonné. Le principe de maximalité de Hausdorff est l'un des nombreux énoncés équivalents à l'axiome du choix sur ZF (théorie des ensembles de Zermelo–Fraenkel sans l'axiome du choix). Ce principe est aussi appelé le théorème de maximalité de Hausdorff ou le lemme de Kuratowski (Kelley 1955:33). (fr)
- Il principio di massimalità di Hausdorff, elaborato dal matematico Felix Hausdorff, afferma che un insieme non-vuoto totalmente ordinato, che è sottoinsieme di un insieme parzialmente ordinato , è contenuto in un sottoinsieme (dello stesso ) massimale totalmente ordinato. Infatti, in generale, supponiamo di avere un insieme non vuoto e che sia sottoinsieme di un altro insieme . Una relazione su definisce una relazione anche su . Inoltre, se la relazione è caratterizzata da qualunque delle proprietà riflessiva, simmetrica, non-simmetrica e transitiva, la relazione su è caratterizzata dalle stesse proprietà. In particolare, se la relazione è di ordinamento parziale, anche sarà ordinato parzialmente. Ma potrebbe essere totalmente ordinato, mentre A per ipotesi non lo è. (it)
- In de ordetheorie, een deelgebied van de wiskunde, is het maximaal-principe van Hausdorff een alternatieve en eerdere formulering van het lemma van Zorn. Het principe, dat in 1914 door Felix Hausdorff werd bewezen (Moore 1982:168), stelt dat in enige partieel geordende verzameling, elke volledig geordende deelverzameling in een maximaal volledig geordende deelverzameling ligt besloten. Het maximaal-beginsel van Hausdorff is een van de vele stellingen die equivalent (gelijkwaardig) zijn aan het keuzeaxioma over de Zermelo-Fraenkel-verzamelingenleer. Het principe wordt ook wel het maximaliteitsstelling van Hausdorff of het lemma van Kuratowski genoemd (Kelley 1955:33). (nl)
- O princípio maximal de Hausdorff, em matemática, é uma forma alternativa e anterior ao Lema de Zorn demonstrada pelo matemático alemão Felix Hausdorff em 1914. Ele estabelece que em qualquer conjunto parcialmente ordenado, todo subconjunto totalmente ordenado está contido em um subconjunto totalmente ordenado maximal. O princípio maximal de Hausdorff é uma das afirmações equivalentes ao axioma da escolha sobre o ZF (Axiomas de Zermelo-Fraenkel sem o axioma da escolha). Ele também é conhecido como lema de Kuratowski. (pt)
- Twierdzenie Hausdorffa o łańcuchu maksymalnym - twierdzenie w teorii mnogości ZFC mówiące, że każdy niepusty zbiór częściowo uporządkowany zawiera łańcuch maksymalny w sensie inkluzji (to znaczy taki łańcuch, który nie jest zawarty w sposób właściwy w żadnym innym łańcuchu). Twierdzenie udowodnione niezależnie przez takich matematyków jak Kazimierz Kuratowski, Robert Lee Moore czy Max Zorn, a jego nazwa pochodzi od nazwiska matematyka, Felixa Hausdorffa. Twierdzenia Hausdorffa używa się często do dowodu lematu Kuratowskiego-Zorna. Jest ono z nim także równoważne w tym sensie, że na gruncie teorii Zermelo-Fraenkla można udowodnić Twierdzenie Hausdorffa korzystając z lematu Kuratowskiego-Zorna i vice versa (w szczególności więc, jest ono równoważne z aksjomatem wyboru). (pl)
- Принцип максимума Хаусдорфа (англ. Hausdorff maximal principle), также называемый теоремой Хаусдорфа о максимуме (англ. Hausdorff maximality theorem), утверждает: В любом частично упорядоченном множестве существует максимальное линейно упорядоченное подмножество. Принцип максимума Хаусдорфа был сформулирован и доказан Феликсом Хаусдорфом в 1914 году, и является альтернативной и более ранней формулировкой леммы Цорна. Как и указанная лемма, принцип максимума Хаусдорфа эквивалентен аксиоме выбора. (ru)
- Принцип максимуму Гаусдорфа — є альтернативним та більш раннім формулюванням леми Цорна. Як і лема Цорна він еквівалентний аксіомі вибору. Сформульований та доведений Феліксом Гаусдорфом в 1914 році. В довільній частково впорядкованій множині існує максимальна лінійно впорядкована множина. (uk)
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