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| - 数学の、特に公理的集合論におけるハルトークス数（ハルトークスすう、英: Hartogs number）とは、ある種の基数のことを言う。1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって、ある整列順序付けられた基数が与えられたとき、それよりも大きい最小の整列順序付けられた基数が存在することが示されたが、これには のみが用いられ、したがって選択公理は用いられなかった。 ある集合のハルトークス数を定義する上で、その集合が整列可能である必要はない。すなわち、任意の集合 X のハルトークス数は、α から X への単射が存在しないような最小の順序数 α で定義される。X が整列可能でないなら、その α が X の基数よりも「大きい」最小の整列順序付けられた基数であると言う必要はなく、「小さくも等しくもない」と言えばよい。X から α への写像はしばしばハルトークスの函数（Hartogs' function）と呼ばれる。 (ja)
- 집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.:63 (ko)
- Twierdzenie Hartogsa – twierdzenie w teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru), udowodnione w 1915 roku przez niemieckiego matematyka , mówiące, że Dla każdego zbioru istnieje liczba porządkowa o tej własności, że nie istnieje funkcja różnowartościowa Innymi słowy, twierdzenie Hartogsa mówi, że dla każdego zbioru istnieje od niego nie mniej liczny zbiór dobrze uporządkowany. (pl)
- 在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合，与之对应的哈特格斯数是不与的任何子集等势的最小序数。如果并非良序的话，我们其实不能说一定是势大于的最小良序集；但是，我们仍然可以确定的势至少不小于——或者说大于等于——的势。从到的映射，被称作哈特格斯函数（Hartogs's function）。 (zh)
- In der Mengenlehre besagt der Satz von Hartogs (nach dem deutschen Mathematiker Fritz Hartogs, 1915), dass es zu jeder Menge A wenigstens eine wohlgeordnete Menge B gibt, deren Kardinalität nicht durch die Kardinalität von A beschränkt wird. (de)
- In mathematics, specifically in axiomatic set theory, a Hartogs number is an ordinal number associated with a set. In particular, if X is any set, then the Hartogs number of X is the least ordinal α such that there is no injection from α into X. If X can be well-ordered then the cardinal number of α is a minimal cardinal greater than that of X. If X cannot be well-ordered then there cannot be an injection from X to α. However, the cardinal number of α is still a minimal cardinal not less than or equal to the cardinality of X. (If we restrict to cardinal numbers of well-orderable sets then that of α is the smallest that is not not less than or equal to that of X.) The map taking X to α is sometimes called Hartogs's function. This mapping is used to construct the aleph numbers, which are all (en)
- En matemáticas, en particular en la teoría axiomática de conjuntos, un número de Hartogs es un tipo particular de número cardinal. En 1915, Friedrich Hartogs demostró que basta con los axiomas de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se requiere el axioma de elección) para garantizar la existencia de un mínimo ordinal mayor que un cardinal bien ordenado dado. Para definir el número de Hartogs de un conjunto, en realidad no es necesario que el conjunto sea bien ordenable: (es)
- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
- Em matemática, especificamente na teoria axiomática dos conjuntos, um número de Hartogs é um tipo particular de número cardinal. Ele foi demonstrado em 1915 por Friedrich Hartogs, a partir da teoria de Zermelo-Fraenkel (sem a adição do axioma da escolha), apontando que existe um cardinal bem ordenado mínimo, maior que um cardinal bem ordenado dado. (pt)
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| - In der Mengenlehre besagt der Satz von Hartogs (nach dem deutschen Mathematiker Fritz Hartogs, 1915), dass es zu jeder Menge A wenigstens eine wohlgeordnete Menge B gibt, deren Kardinalität nicht durch die Kardinalität von A beschränkt wird. Bemerkenswert ist, dass diese Aussage bereits in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZF gilt, also ohne Verwendung des Auswahlaxioms bewiesen werden kann. Daher kann man diesen Satz verwenden, wenn man Varianten des Auswahlaxioms untersucht. Die scheinbar komplizierte Formulierung ("Kardinalität von B ist nicht kleiner oder gleich der Kardinalität von A") ist hier notwendig, weil man ohne Auswahlaxiom nicht zeigen kann, dass zwei beliebige Mengen vergleichbar sind. (de)
- In mathematics, specifically in axiomatic set theory, a Hartogs number is an ordinal number associated with a set. In particular, if X is any set, then the Hartogs number of X is the least ordinal α such that there is no injection from α into X. If X can be well-ordered then the cardinal number of α is a minimal cardinal greater than that of X. If X cannot be well-ordered then there cannot be an injection from X to α. However, the cardinal number of α is still a minimal cardinal not less than or equal to the cardinality of X. (If we restrict to cardinal numbers of well-orderable sets then that of α is the smallest that is not not less than or equal to that of X.) The map taking X to α is sometimes called Hartogs's function. This mapping is used to construct the aleph numbers, which are all the cardinal numbers of infinite well-orderable sets. The existence of the Hartogs number was proved by Friedrich Hartogs in 1915, using Zermelo–Fraenkel set theory alone (that is, without using the axiom of choice). (en)
- En matemáticas, en particular en la teoría axiomática de conjuntos, un número de Hartogs es un tipo particular de número cardinal. En 1915, Friedrich Hartogs demostró que basta con los axiomas de Zermelo-Fraenkel (es decir, no se requiere el axioma de elección) para garantizar la existencia de un mínimo ordinal mayor que un cardinal bien ordenado dado. Para definir el número de Hartogs de un conjunto, en realidad no es necesario que el conjunto sea bien ordenable: En el caso particular de que X sea bien ordenable, ℵ(X) = ℵn+1, donde ℵn es el cardinal de X. Si X no puede ser bien ordenado, entonces ℵ(X) no es necesariamente un cardinal mayor que el cardinal de X, pero sigue siendo el mínimo cardinal que no es menor o igual a la cardinalidad de X. (es)
- En théorie des ensembles, l'ordinal de Hartogs d'un ensemble A désigne le plus petit ordinal qui ne s'injecte pas dans A. Son existence utilise le remplacement et se démontre sans l'axiome du choix, contrairement au théorème de Zermelo qui revient à l'existence d'un ordinal en bijection avec A, et équivaut, lui, à l'axiome du choix. L'ordinal de Hartogs étant nécessairement un ordinal initial, ou cardinal, on parle également de cardinal de Hartogs. En présence de l'axiome du choix, le cardinal de Hartogs de A est le plus petit cardinal strictement supérieur au cardinal de A, au sens où il s'injecte dans tout ensemble qui ne s'injecte pas dans A. Le théorème de Hartogs sous sa forme originale énonce que l'on peut associer à tout ensemble A un ensemble bien ordonné qui ne s'injecte pas dans A. Il particularise à l'ensemble A la construction qui mène au paradoxe de Burali-Forti. Cette version ne nécessite pas le schéma d'axiomes de remplacement, et se démontre donc dans la théorie de Zermelo sans axiome du choix. Hartogs en déduit que la comparabilité cardinale (étant donné deux ensembles, il existe une injection de l'un dans l'autre) entraîne l'axiome du choix, et donc est équivalente à ce dernier. (fr)
- 数学の、特に公理的集合論におけるハルトークス数（ハルトークスすう、英: Hartogs number）とは、ある種の基数のことを言う。1915年にフリードリヒ・ハルトークスによって、ある整列順序付けられた基数が与えられたとき、それよりも大きい最小の整列順序付けられた基数が存在することが示されたが、これには のみが用いられ、したがって選択公理は用いられなかった。 ある集合のハルトークス数を定義する上で、その集合が整列可能である必要はない。すなわち、任意の集合 X のハルトークス数は、α から X への単射が存在しないような最小の順序数 α で定義される。X が整列可能でないなら、その α が X の基数よりも「大きい」最小の整列順序付けられた基数であると言う必要はなく、「小さくも等しくもない」と言えばよい。X から α への写像はしばしばハルトークスの函数（Hartogs' function）と呼ばれる。 (ja)
- 집합론에서 하르톡스 수(Hartogs數, 영어: Hartogs number)는 주어진 집합의 어떤 부분 집합과도 크기가 같지 않은 최소의 순서수이다.:63 (ko)
- Em matemática, especificamente na teoria axiomática dos conjuntos, um número de Hartogs é um tipo particular de número cardinal. Ele foi demonstrado em 1915 por Friedrich Hartogs, a partir da teoria de Zermelo-Fraenkel (sem a adição do axioma da escolha), apontando que existe um cardinal bem ordenado mínimo, maior que um cardinal bem ordenado dado. Para definir o número de Hartogs de um conjunto, este de fato não precisa ser necessariamente bem ordenado: Se X é um conjunto qualquer, então o número de Hartogs de X é o menor ordinal α tal que não existe uma injetora de α em X. Se X não pode ser bem ordenado, então não podemos mais dizer que este α é o menor cardinal bem ordenado maior que a cardinalidade de X, porém, este continua a ser o menor cardinal bem ordenado não menor ou igual a cardinalidade de X. O mapeamento de X para α é as vezes chamado de Função de Hartogs. (pt)
- Twierdzenie Hartogsa – twierdzenie w teorii mnogości ZF (bez aksjomatu wyboru), udowodnione w 1915 roku przez niemieckiego matematyka , mówiące, że Dla każdego zbioru istnieje liczba porządkowa o tej własności, że nie istnieje funkcja różnowartościowa Innymi słowy, twierdzenie Hartogsa mówi, że dla każdego zbioru istnieje od niego nie mniej liczny zbiór dobrze uporządkowany. (pl)
- 在数学特别是公理化集合论中，哈特格斯数（Hartogs number）是一类特殊的基数。它由（Friedrich Hartogs）在1915年从策梅洛-弗兰克尔集合论中单独导出（没有使用选择公理），用于证明对任意给定的良序集，至少有一个良序集的基数大于它。 然而，要构造哈特格斯数其实并不需要从良序集出发：对任意集合，与之对应的哈特格斯数是不与的任何子集等势的最小序数。如果并非良序的话，我们其实不能说一定是势大于的最小良序集；但是，我们仍然可以确定的势至少不小于——或者说大于等于——的势。从到的映射，被称作哈特格斯函数（Hartogs's function）。 (zh)
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