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In Euclidean and projective geometry, just as two (distinct) points determine a line (a degree-1 plane curve), five points determine a conic (a degree-2 plane curve). There are additional subtleties for conics that do not exist for lines, and thus the statement and its proof for conics are both more technical than for lines.

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  • Five points determine a conic
  • Cinco puntos determinan una cónica
  • Théorème des cinq points
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  • En las geometrías euclídea y proyectiva, al igual que dos puntos (distintos) determinan una recta (una curva plana de grado 1), cinco puntos determinan una cónica (una curva plana de grado 2). Existen sutilezas adicionales para las cónicas que no se dan para las rectas, y por lo tanto, las definiciones y la prueba de las condiciones necesarias son más complicadas.
  • En géométrie, le théorème des cinq points est un énoncé sur les coniques du plan, démontré initialement par Blaise Pascal. Il assure que par cinq points trois à trois non alignés passe une unique conique propre. Ce théorème admet des versions dégénérées, par exemple, avec quatre conditions d'incidence et une de tangence : il existe une unique conique propre passant par quatre points trois à trois non alignés, et tangente en l'un de ces points à une droite prescrite ne contenant aucun des trois autres points ; ou encore, avec trois conditions d'incidence et deux de tangence : il existe une unique conique propre passant par trois points non alignés prescrits, et tangente en chacun des deux premiers points à une droite prescrite qui ne contient qu'un seul des trois points.
  • In Euclidean and projective geometry, just as two (distinct) points determine a line (a degree-1 plane curve), five points determine a conic (a degree-2 plane curve). There are additional subtleties for conics that do not exist for lines, and thus the statement and its proof for conics are both more technical than for lines.
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  • En las geometrías euclídea y proyectiva, al igual que dos puntos (distintos) determinan una recta (una curva plana de grado 1), cinco puntos determinan una cónica (una curva plana de grado 2). Existen sutilezas adicionales para las cónicas que no se dan para las rectas, y por lo tanto, las definiciones y la prueba de las condiciones necesarias son más complicadas. Formalmente, dados cinco puntos del plano en una posición lineal general (lo que significa que no hay tres puntos colineales), existe una cónica única que los atraviesa, que no será degenerada. Esto es cierto tanto para el plano euclídeo como para cualquier plano proyectivo de Pappus. De hecho, dados cinco puntos, existe una cónica que los atraviesa, pero si tres de los puntos son colineales, la cónica será degenerada (reducible, porque contiene una recta) y puede no ser única (véase sección cónica degenerada).
  • En géométrie, le théorème des cinq points est un énoncé sur les coniques du plan, démontré initialement par Blaise Pascal. Il assure que par cinq points trois à trois non alignés passe une unique conique propre. Ce théorème admet des versions dégénérées, par exemple, avec quatre conditions d'incidence et une de tangence : il existe une unique conique propre passant par quatre points trois à trois non alignés, et tangente en l'un de ces points à une droite prescrite ne contenant aucun des trois autres points ; ou encore, avec trois conditions d'incidence et deux de tangence : il existe une unique conique propre passant par trois points non alignés prescrits, et tangente en chacun des deux premiers points à une droite prescrite qui ne contient qu'un seul des trois points. Le logiciel de géométrie dynamique GeoGebra permet de tracer la conique déterminée par cinq points non trois à trois alignés donnés ; le logo du logiciel est d'ailleurs une illustration de ce théorème.
  • In Euclidean and projective geometry, just as two (distinct) points determine a line (a degree-1 plane curve), five points determine a conic (a degree-2 plane curve). There are additional subtleties for conics that do not exist for lines, and thus the statement and its proof for conics are both more technical than for lines. Formally, given any five points in the plane in general linear position, meaning no three collinear, there is a unique conic passing through them, which will be non-degenerate; this is true over both the Euclidean plane and any pappian projective plane. Indeed, given any five points there is a conic passing through them, but if three of the points are collinear the conic will be degenerate (reducible, because it contains a line), and may not be unique; see further discussion.
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