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In differential geometry and algebraic geometry, the Enneper surface is a self-intersecting surface that can be described parametrically by: It was introduced by Alfred Enneper 1864 in connection with minimal surface theory. The Weierstrass–Enneper parameterization is very simple, , and the real parametric form can easily be calculated from it. The surface is conjugate to itself. Implicitization methods of algebraic geometry can be used to find out that the points in the Enneper surface given above satisfy the degree-9 polynomial equation The Jacobian, Gaussian curvature and mean curvature are

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  • Superfície d'Enneper
  • Enneper surface
  • Superficie de Enneper
  • Surface d'Enneper
  • エンネパー曲面
  • Superficie di Enneper
  • Enneper-oppervlak
  • Поверхность Эннепера
  • 恩内佩尔曲面
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  • Une surface d'Enneper est une surface minimale, paramétrisée en 1863 par le mathématicien allemand Alfred Enneper. On peut la décrire par un paramétrage cartésien : Cette surface représente un film de savon « fantôme », c’est-à-dire un équilibre instable de l’énergie potentielle. On peut imaginer une surface d'Enneper comme s'appuyant sur un contour comme celui tracé sur une balle de tennis. Sur ce contour, deux films de savon réels peuvent s'accrocher : un pour chaque moitié de la surface de la balle de tennis. La surface d'Enneper représente alors l'équilibre instable de la surface minimale entre ces deux surfaces stables.
  • Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности. Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.
  • 恩内佩尔曲面(英語:Enneper surface)是一种极小曲面,由德国数学家(Alfred Enneper)于1864年提出。恩内佩尔曲面的参数方程为 在魏尔斯特拉斯-恩内佩尔(Weierstrass–Enneper)表示中,令,便能得到恩内佩尔曲面。
  • En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per: Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la . La és molt simple, , i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa. Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9: on:
  • In differential geometry and algebraic geometry, the Enneper surface is a self-intersecting surface that can be described parametrically by: It was introduced by Alfred Enneper 1864 in connection with minimal surface theory. The Weierstrass–Enneper parameterization is very simple, , and the real parametric form can easily be calculated from it. The surface is conjugate to itself. Implicitization methods of algebraic geometry can be used to find out that the points in the Enneper surface given above satisfy the degree-9 polynomial equation The Jacobian, Gaussian curvature and mean curvature are
  • En matemáticas, en los campos de la geometría diferencial y geometría algebraica, la superficie de Enneper es una superficie que se auto-intersecciona y que puede ser descrita paramétricamente por: Fue introducida en 1864 por en conexión con la teoría de la superficie minimal.​​​​ La es muy simple, , y la forma paramétrica real se puede calcular de ella. La superficie está consigo misma. Se pueden usar métodos de implicitación de geometría algebraica para encontrar los puntos de la superficie de Enneper dados arriba que satisfagan la ecuación polinómica de grado 9:
  • 数学の分科、微分幾何学と代数幾何学におけるエンネパー曲面(エンネパーきょくめん、英: Enneper surface)とは、次の媒介変数表示で書ける、自己交差性を持つ曲面である。 この曲面は1864年、によって理論との関わりから導入された。 は非常に簡単で、 となる。実変数での媒介変数表示はこの式から容易に計算できる。この曲面は共役極小曲面(conjugate minimal surface)が自分自身と一致する(を参照)。 代数幾何の陰関数表示では、上式で与えたエンネパー曲面の各点は次の9次多項式を満たす。 双対的に、媒介変数で与えられたある点での接ベクトル空間は 、ここで と書ける。この係数は次の6次多項式を満たす。 ヤコビ行列式、ガウス曲率、はそれぞれ となる。は である。は、全曲率が であるような における完備な極小曲面はかエンネパー曲面のいずれかであることを証明した。 他の性質として、全ての双3次な(バイキュービックな, bicubical)極小は、アフィン変換による差を除けば、エンネパー曲面の一部になる。
  • In matematica, nel campo della geometria differenziale e in geometria algebrica, la superficie di Enneper è una superficie che può essere descritta in forma parametrica da: È stata introdotta da Alfred Enneper in connessione con la Teoria delle superfici minime. I metodi di implicitizzazione della geometria algebrica possono essere utilizzati per dimostrare che i punti appartenenti alla superficie di Enneper soddisfano la seguente equazione polinomiale di nono grado Dualmente, il piano tangente nel punto con parametri dati è dove:
  • In de differentiaalmeetkunde en de algebraïsche meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is het Enneper-oppervlak een oppervlak dat parametrisch als volgt kan worden beschreven Het Enneper-oppervlak werd in verband met zijn minimaaloppervlak theorie geïntroduceerd door Alfred Enneper. De impliciterings methoden van de algebraïsche meetkunde kunnen worden gebruikt om uit te vinden dat de punten in het hierboven gegeven Enneper-oppervlak voldoen aan de volgende vergelijking van de graad 9 Duaal is het raakvlak op het punt met gegeven parameters gelijk aan waar
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  • Enneper surface
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  • En matemàtiques, en els camps de la geometria diferencial i geometria algebraica, la superfície d'Enneper és una superfície que s'autointersecciona i que pot ser descrita paramètricament per: Va ser introduïda el 1864 per Alfred Enneper en connexió amb la teoria de la . La és molt simple, , i la forma paramètrica real es pot calcular a partir d'aquesta. La superfície està conjugada amb si mateixa. Es poden usar mètodes d'implicitació de geometria algebraica per a trobar els punts de la superfície d'Enneper que satisfacen l'equació polinòmica de grau 9: Dualment, el pla tangent en el punt amb els paràmetres donats és on: Els seus coeficients satisfan l'equació polinòmica de grau sis implícita: El jacobià, la curvatura de Gauss i la són: La curvatura total és . Osserman va demostrar que una superfície minimal completa en amb una curvatura total de és o bé el o la superfície d'Enneper. Una altra propietat n'és que totes les minimals bicúbiques, fins a una transformació afí, són trossos d'aquesta superfície. Es pot generalitzar a ordres de majors usant la parametrització de Weierstraß–Enneper per a sencers k>1. Pot ser generalitzada per a majors dimensions; es coneixen superfícies semblants a la superfície d'Enneper en fins a n igual a 7.
  • En matemáticas, en los campos de la geometría diferencial y geometría algebraica, la superficie de Enneper es una superficie que se auto-intersecciona y que puede ser descrita paramétricamente por: Fue introducida en 1864 por en conexión con la teoría de la superficie minimal.​​​​ La es muy simple, , y la forma paramétrica real se puede calcular de ella. La superficie está consigo misma. Se pueden usar métodos de implicitación de geometría algebraica para encontrar los puntos de la superficie de Enneper dados arriba que satisfagan la ecuación polinómica de grado 9: Dualmente, el plano tangente en el punto con los parámetros dados es donde: Sus coeficientes satisfacen la ecuación polinómica de grado seis implícita: El jacobiano, la curvatura de Gauss y la curvatura media son: La curvatura total es . Osserman probó que una superficie minimal completa en con una curvatura total de es o bien el catenoide o la superficie de Enneper.​ Otra propiedad es que todas las minimales bicúbicas, hasta una transformación afín, son trozos de esta superficie.​ Se puede generalizar a órdenes de simetría rotacional mayores usando la parametrización de Weierstraß–Enneper para enteros k>1.​ Puede ser generalizada para mayores dimensiones; en (hasta n 7) se conocen superficies similares a la superficie de Enneper.​
  • In differential geometry and algebraic geometry, the Enneper surface is a self-intersecting surface that can be described parametrically by: It was introduced by Alfred Enneper 1864 in connection with minimal surface theory. The Weierstrass–Enneper parameterization is very simple, , and the real parametric form can easily be calculated from it. The surface is conjugate to itself. Implicitization methods of algebraic geometry can be used to find out that the points in the Enneper surface given above satisfy the degree-9 polynomial equation Dually, the tangent plane at the point with given parameters is where Its coefficients satisfy the implicit degree-6 polynomial equation The Jacobian, Gaussian curvature and mean curvature are The total curvature is . Osserman proved that a complete minimal surface in with total curvature is either the catenoid or the Enneper surface. Another property is that all bicubical minimal Bézier surfaces are, up to an affine transformation, pieces of the surface. It can be generalized to higher order rotational symmetries by using the Weierstrass–Enneper parameterization for integer k>1. It can also be generalized to higher dimensions; Enneper-like surfaces are known to exist in for n up to 7.
  • Une surface d'Enneper est une surface minimale, paramétrisée en 1863 par le mathématicien allemand Alfred Enneper. On peut la décrire par un paramétrage cartésien : Cette surface représente un film de savon « fantôme », c’est-à-dire un équilibre instable de l’énergie potentielle. On peut imaginer une surface d'Enneper comme s'appuyant sur un contour comme celui tracé sur une balle de tennis. Sur ce contour, deux films de savon réels peuvent s'accrocher : un pour chaque moitié de la surface de la balle de tennis. La surface d'Enneper représente alors l'équilibre instable de la surface minimale entre ces deux surfaces stables.
  • In matematica, nel campo della geometria differenziale e in geometria algebrica, la superficie di Enneper è una superficie che può essere descritta in forma parametrica da: È stata introdotta da Alfred Enneper in connessione con la Teoria delle superfici minime. I metodi di implicitizzazione della geometria algebrica possono essere utilizzati per dimostrare che i punti appartenenti alla superficie di Enneper soddisfano la seguente equazione polinomiale di nono grado Dualmente, il piano tangente nel punto con parametri dati è dove: I suoi coefficienti soddisfano l'equazione polinomiale implicita di 6º grado:Lo jacobiano, la Curvatura gaussiana e la Curvatura media sono date da: La curvatura totale è . Osserman dimostrò che una superficie minima completa in con curvatura totale è una catenoide oppure una superficie di Enneper. Un'altra proprietà è che tutte le superfici di Bézier bicubiche minimali sono, a meno di trasformazioni affini, pezzi della superficie di Enneper. Usando la parametrizzazione di Weierstrass-Enneper , per un intero , si può generalizzare la superficie di Enneper ad ordini maggiori di simmetrie rotazionali. Inoltre, si può generalizzare la superficie in dimensioni maggiori. Si è dimostrata l'esistenza di superfici di Enneper in for per .
  • 数学の分科、微分幾何学と代数幾何学におけるエンネパー曲面(エンネパーきょくめん、英: Enneper surface)とは、次の媒介変数表示で書ける、自己交差性を持つ曲面である。 この曲面は1864年、によって理論との関わりから導入された。 は非常に簡単で、 となる。実変数での媒介変数表示はこの式から容易に計算できる。この曲面は共役極小曲面(conjugate minimal surface)が自分自身と一致する(を参照)。 代数幾何の陰関数表示では、上式で与えたエンネパー曲面の各点は次の9次多項式を満たす。 双対的に、媒介変数で与えられたある点での接ベクトル空間は 、ここで と書ける。この係数は次の6次多項式を満たす。 ヤコビ行列式、ガウス曲率、はそれぞれ となる。は である。は、全曲率が であるような における完備な極小曲面はかエンネパー曲面のいずれかであることを証明した。 他の性質として、全ての双3次な(バイキュービックな, bicubical)極小は、アフィン変換による差を除けば、エンネパー曲面の一部になる。 エンネパー曲面は、ワイエルシュトラス–エンネパーの媒介変数表示で (k>1 は整数)とすることでより高次の対称式による曲面へと一般化することができる。一方、より高次の空間へと一般化することもできる。7までのnについて空間 におけるエンネパー様(Enneper-like)超曲面の存在が知られている。
  • In de differentiaalmeetkunde en de algebraïsche meetkunde, deelgebieden van de wiskunde, is het Enneper-oppervlak een oppervlak dat parametrisch als volgt kan worden beschreven Het Enneper-oppervlak werd in verband met zijn minimaaloppervlak theorie geïntroduceerd door Alfred Enneper. De impliciterings methoden van de algebraïsche meetkunde kunnen worden gebruikt om uit te vinden dat de punten in het hierboven gegeven Enneper-oppervlak voldoen aan de volgende vergelijking van de graad 9 Duaal is het raakvlak op het punt met gegeven parameters gelijk aan waar Haar coëfficiënten voldoen aan de impliciete vergelijking Het Enneper-oppervlak is een minimaaloppervlak. De Jacobiaan, de Gaussiaanse kromming en de gemiddelde kromming zijn
  • Поверхность Эннепера — определённый тип самопересекающейся минимальной поверхности. Рассматривалась Альфредом Эннепером в 1864 году.
  • 恩内佩尔曲面(英語:Enneper surface)是一种极小曲面,由德国数学家(Alfred Enneper)于1864年提出。恩内佩尔曲面的参数方程为 在魏尔斯特拉斯-恩内佩尔(Weierstrass–Enneper)表示中,令,便能得到恩内佩尔曲面。
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