In representation theory, a branch of mathematics, Engel's theorem states that a finite-dimensional Lie algebra is a nilpotent Lie algebra if and only if for each , the adjoint map given by , is a nilpotent endomorphism on ; i.e., for some k. It is a consequence of the theorem, also called Engel's theorem, which says that if a Lie algebra of matrices consists of nilpotent matrices, then the matrices can all be simultaneously brought to a strictly upper triangular form. Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent as a Lie algebra, then this conclusion does not follow (i.e. the naïve replacement in Lie's theorem of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one-dimensional Lie subal
| Attributes | Values |
|---|
| rdf:type
| |
| rdfs:label
| - Satz von Engel (de)
- Engel's theorem (en)
- Théorème de Engel (fr)
- エンゲルの定理 (ja)
- Twierdzenie Engela (pl)
- Теорема Энгеля (ru)
- Теорема Енгеля (uk)
|
| rdfs:comment
| - Twierdzenie Engela – twierdzenie dające odpowiedź na pytanie, kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna. (pl)
- Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли.Названа в честь Фридриха Энгеля. (ru)
- Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр. (uk)
- In representation theory, a branch of mathematics, Engel's theorem states that a finite-dimensional Lie algebra is a nilpotent Lie algebra if and only if for each , the adjoint map given by , is a nilpotent endomorphism on ; i.e., for some k. It is a consequence of the theorem, also called Engel's theorem, which says that if a Lie algebra of matrices consists of nilpotent matrices, then the matrices can all be simultaneously brought to a strictly upper triangular form. Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent as a Lie algebra, then this conclusion does not follow (i.e. the naïve replacement in Lie's theorem of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one-dimensional Lie subal (en)
- Le théorème de Engel porte sur la structure des algèbres de Lie. Sommairement, il affirme que les deux notions de nilpotence que l'on peut définir pour une algèbre de Lie coïncident. Rappelons qu'une algèbre de Lie est dite nilpotente si la suite définie par récurrence par par et finit par arriver à 0, autrement dit s'il existe un i tel que . Rappelons également qu'un endomorphisme A d'un espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que An = 0. Le théorème de Engel s'énonce alors comme suit : (fr)
- 数学の分野である表現論において、エンゲルの定理 (Engel's theorem) はリー環論の基本的な定理の1つであり、リー環に対して冪零性の2つの概念が同一であることを主張する。定義の有用な形は、行列からなるリー環 L が冪零行列からなればすべて同時にに相似変換できるというものである。定理は数学者 (Friedrich Engel) にちなんで名づけられている。彼はその証明の概略を (Wilhelm Killing) に宛てた1890年7月20日の手紙の中で書いた 。エンゲルの生徒 K.A. Umlauf は1891年の学位論文において完全な証明を与え、 として再版されている。 ベクトル空間 V 上の線型写像 T が冪零 (nilpotent) であるとは、ある正の整数 k が存在して Tk = 0 となることをいう。例えば、対角線上及びそれより下で成分がすべて 0 であるような行列 によって与えられる任意の写像は冪零である。リー環 L の元 x が ad-nilpotent とは、 によって定義される L 上の線型写像が冪零であることをいう。V 上の線型変換全体からなるリー環 L(V) において、恒等写像 IV は ad-nilpotent である（ だから）が、写像そのものは冪零ではないことに注意しよう。 リー環 L が冪零であるとは、 (ja)
|
| dcterms:subject
| |
| Wikipage page ID
| |
| Wikipage revision ID
| |
| Link from a Wikipage to another Wikipage
| |
| Link from a Wikipage to an external page
| |
| sameAs
| |
| dbp:wikiPageUsesTemplate
| |
| has abstract
| - In representation theory, a branch of mathematics, Engel's theorem states that a finite-dimensional Lie algebra is a nilpotent Lie algebra if and only if for each , the adjoint map given by , is a nilpotent endomorphism on ; i.e., for some k. It is a consequence of the theorem, also called Engel's theorem, which says that if a Lie algebra of matrices consists of nilpotent matrices, then the matrices can all be simultaneously brought to a strictly upper triangular form. Note that if we merely have a Lie algebra of matrices which is nilpotent as a Lie algebra, then this conclusion does not follow (i.e. the naïve replacement in Lie's theorem of "solvable" with "nilpotent", and "upper triangular" with "strictly upper triangular", is false; this already fails for the one-dimensional Lie subalgebra of scalar matrices). The theorem is named after the mathematician Friedrich Engel, who sketched a proof of it in a letter to Wilhelm Killing dated 20 July 1890 . Engel's student K.A. Umlauf gave a complete proof in his 1891 dissertation, reprinted as. (en)
- Le théorème de Engel porte sur la structure des algèbres de Lie. Sommairement, il affirme que les deux notions de nilpotence que l'on peut définir pour une algèbre de Lie coïncident. Rappelons qu'une algèbre de Lie est dite nilpotente si la suite définie par récurrence par par et finit par arriver à 0, autrement dit s'il existe un i tel que . Rappelons également qu'un endomorphisme A d'un espace vectoriel est dit nilpotent s'il existe un entier n tel que An = 0. Si , on note ad(x) l'endomorphisme de défini par ad(x)(y) = [x, y]. On dit que x est ad-nilpotent si ad(x) est nilpotent. Il découle facilement de la définition que si est une algèbre de Lie nilpotente, alors tout élément de est ad-nilpotent. Le théorème de Engel s'énonce alors comme suit : Théorème — Si tous les éléments d'une algèbre de Lie de dimension finie sont ad-nilpotents, alors est nilpotente. Ce théorème découle en fait du résultat de trigonalisation suivant, que certains auteurs appellent également théorème de Engel : Théorème — Soient un espace vectoriel de dimension finie et une sous-algèbre de Lie de . On suppose que tous les éléments de sont nilpotents. Alors il existe une base de V dans laquelle tous les éléments de sont des matrices triangulaires supérieures (strictes). (fr)
- 数学の分野である表現論において、エンゲルの定理 (Engel's theorem) はリー環論の基本的な定理の1つであり、リー環に対して冪零性の2つの概念が同一であることを主張する。定義の有用な形は、行列からなるリー環 L が冪零行列からなればすべて同時にに相似変換できるというものである。定理は数学者 (Friedrich Engel) にちなんで名づけられている。彼はその証明の概略を (Wilhelm Killing) に宛てた1890年7月20日の手紙の中で書いた 。エンゲルの生徒 K.A. Umlauf は1891年の学位論文において完全な証明を与え、 として再版されている。 ベクトル空間 V 上の線型写像 T が冪零 (nilpotent) であるとは、ある正の整数 k が存在して Tk = 0 となることをいう。例えば、対角線上及びそれより下で成分がすべて 0 であるような行列 によって与えられる任意の写像は冪零である。リー環 L の元 x が ad-nilpotent とは、 によって定義される L 上の線型写像が冪零であることをいう。V 上の線型変換全体からなるリー環 L(V) において、恒等写像 IV は ad-nilpotent である（ だから）が、写像そのものは冪零ではないことに注意しよう。 リー環 L が冪零であるとは、 によって再帰的に定義されるが最終的に 0 に達することをいう。 定理 (Engel)。有限次元リー環 L が冪零であることと、L のすべての元が ad-nilpotent であることは同値である。 基礎体についての仮定は全く必要ないことに注意しよう。 エンゲルの定理の証明における重要な補題は、次に述べる、それ自身有用な、有限次元ベクトル空間上の線型写像のリー環についての事実である。 L を L(V) の部分Lie環とする。すると L が冪零写像からなることと、V の部分ベクトル空間の列 であって , および なるものが存在することは同値である。したがって冪零写像からなるリー環は同時狭義上三角化可能である。 (ja)
- Twierdzenie Engela – twierdzenie dające odpowiedź na pytanie, kiedy dana algebra Liego jest nilpotentna. (pl)
- Теорема Энгеля даёт эквивалентность двух различных определений нильпотентности для алгебр Ли.Названа в честь Фридриха Энгеля. (ru)
- Теорема Енгеля — твердження в теорії алгебр Лі щодо еквівалентності різних означень нільпотентності для цих алгебр. (uk)
|
| prov:wasDerivedFrom
| |
| page length (characters) of wiki page
| |
| foaf:isPrimaryTopicOf
| |
| is Link from a Wikipage to another Wikipage
of | |
| is Wikipage redirect
of | |
| is foaf:primaryTopic
of | |
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)