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In single-variable calculus, the difference quotient is usually the name for the expression which when taken to the limit as h approaches 0 gives the derivative of the function f. The name of the expression stems from the fact that it is the quotient of the difference of values of the function by the difference of the corresponding values of its argument (the latter is (x+h)-x=h in this case). The difference quotient is a measure of the average rate of change of the function over an interval (in this case, an interval of length h). The limit of the difference quotient (i.e., the derivative) is thus the instantaneous rate of change.

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  • Differenzenquotient
  • Difference quotient
  • Rapporto incrementale
  • 差分商
  • Differentiequotiënt
  • Iloraz różnicowy
  • Coeficiente diferencial
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  • Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, wobei die erste Größe von der zweiten abhängt. In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. In der numerischen Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion (Numerische Differentiation) benutzt.
  • Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" la funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto. Dal punto di vista geometrico, esso fornisce il valore del coefficiente angolare di una retta secante passante per il dato punto e un altro punto sul grafico della funzione. Il concetto di rapporto incrementale è strettamente legato alla nozione di derivata, e può essere definito per funzioni più generali, come le funzioni a più variabili.
  • Het differentiequotiënt is de verhouding van de verandering van de ene grootheid ten opzichte van de verandering van een andere grootheid, waarvan de eerste grootheid afhankelijk is. In de analyse wordt het differentiequotiënt gebruikt om de afgeleide van een functie te definiëren. Differentiequotiënten vormen samen met het limietbegrip het theoretische fundament onder de differentiaalrekening. Bij functies wordt in plaats van differentiequotiënt ook wel gesproken van gemiddelde verandering van de functiewaarde.
  • Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.
  • Coeficiente diferencial em matemática descreve a alteração na proporção de uma grandeza em relação a alteração de outra grandeza, dependente da primeira. Em análise usa-se o coeficiente diferencial, para cálculo para definir uma função. Em análise numérica são usados para resolver equações diferenciais e para a determinação aproximada da derivada de uma função utilizada.
  • In single-variable calculus, the difference quotient is usually the name for the expression which when taken to the limit as h approaches 0 gives the derivative of the function f. The name of the expression stems from the fact that it is the quotient of the difference of values of the function by the difference of the corresponding values of its argument (the latter is (x+h)-x=h in this case). The difference quotient is a measure of the average rate of change of the function over an interval (in this case, an interval of length h). The limit of the difference quotient (i.e., the derivative) is thus the instantaneous rate of change.
  • 微分積分学における差分商(さぶんしょう、英: difference quotient; 差商)は、ふつうは函数 f に対する有限差分の商 を言い、これは h → 0 の極限で微分商となる。実際に函数値の有限差分を対応する変数の有限差分で割ったものであることにより、この名称がある。 差分商は函数 f のある区間(いまの場合、長さ h の区間)における「平均変化率」(average rate of change) を与えるものであるから、特にその極限としての微分商は「瞬間変化率」に対応すると考えることができる やや記法を変更(b := a + h)して、区間 [a, b] に対する、差分商 を考えれば、これは f の区間 [a, b] における微分係数の「平均値」を表していると考えられる。このことは、可微分函数 f に対して f の微分係数が区間内の適当な点において平均値に到達することを述べた平均値の定理によって正当化される。幾何学的には、この差分商は二点 (a, f(a)), (b, f(b)) を通る割線の傾きを測るものである。 差分商はにおける近似に用いられるが、それは同時にこの応用において批判の主題ともなっている 差分商のことを、ニュートン商(アイザック・ニュートンに由来)やフェルマーの差分商(ピエール・ド・フェルマーに由来)などとも呼ぶことがある。
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  • Der Differenzenquotient ist ein Begriff aus der Mathematik. Er beschreibt das Verhältnis der Veränderung einer Größe zu der Veränderung einer anderen, wobei die erste Größe von der zweiten abhängt. In der Analysis verwendet man Differenzenquotienten, um die Ableitung einer Funktion zu definieren. In der numerischen Mathematik werden sie zum Lösen von Differentialgleichungen und für die näherungsweise Bestimmung der Ableitung einer Funktion (Numerische Differentiation) benutzt.
  • In single-variable calculus, the difference quotient is usually the name for the expression which when taken to the limit as h approaches 0 gives the derivative of the function f. The name of the expression stems from the fact that it is the quotient of the difference of values of the function by the difference of the corresponding values of its argument (the latter is (x+h)-x=h in this case). The difference quotient is a measure of the average rate of change of the function over an interval (in this case, an interval of length h). The limit of the difference quotient (i.e., the derivative) is thus the instantaneous rate of change. By a slight change in notation (and viewpoint), for an interval [a, b], the difference quotient is called the mean (or average) value of the derivative of f over the interval [a, b]. This name is justified by the mean value theorem, which states that for a differentiable function f, its derivative f′ reaches its mean value at some point in the interval. Geometrically, this difference quotient measures the slope of the secant line passing through the points with coordinates (a, f(a)) and (b, f(b)). Difference quotients are used as approximations in numerical differentiation, but they have also been subject of criticism in this application. The difference quotient is sometimes also called the Newton quotient (after Isaac Newton) or Fermat's difference quotient (after Pierre de Fermat).
  • Il rapporto incrementale di una funzione reale di variabile reale è un numero che, intuitivamente, misura "quanto velocemente" la funzione cresce o decresce al variare della coordinata indipendente attorno a un dato punto. Dal punto di vista geometrico, esso fornisce il valore del coefficiente angolare di una retta secante passante per il dato punto e un altro punto sul grafico della funzione. Il concetto di rapporto incrementale è strettamente legato alla nozione di derivata, e può essere definito per funzioni più generali, come le funzioni a più variabili.
  • 微分積分学における差分商(さぶんしょう、英: difference quotient; 差商)は、ふつうは函数 f に対する有限差分の商 を言い、これは h → 0 の極限で微分商となる。実際に函数値の有限差分を対応する変数の有限差分で割ったものであることにより、この名称がある。 差分商は函数 f のある区間(いまの場合、長さ h の区間)における「平均変化率」(average rate of change) を与えるものであるから、特にその極限としての微分商は「瞬間変化率」に対応すると考えることができる やや記法を変更(b := a + h)して、区間 [a, b] に対する、差分商 を考えれば、これは f の区間 [a, b] における微分係数の「平均値」を表していると考えられる。このことは、可微分函数 f に対して f の微分係数が区間内の適当な点において平均値に到達することを述べた平均値の定理によって正当化される。幾何学的には、この差分商は二点 (a, f(a)), (b, f(b)) を通る割線の傾きを測るものである。 差分商はにおける近似に用いられるが、それは同時にこの応用において批判の主題ともなっている 差分商のことを、ニュートン商(アイザック・ニュートンに由来)やフェルマーの差分商(ピエール・ド・フェルマーに由来)などとも呼ぶことがある。 有限差分をとる操作を反復適用して得られるを用いれば、高階差分商あるいは(分点が等間隔の場合の)高階差商を考えることができる。
  • Het differentiequotiënt is de verhouding van de verandering van de ene grootheid ten opzichte van de verandering van een andere grootheid, waarvan de eerste grootheid afhankelijk is. In de analyse wordt het differentiequotiënt gebruikt om de afgeleide van een functie te definiëren. Differentiequotiënten vormen samen met het limietbegrip het theoretische fundament onder de differentiaalrekening. Bij functies wordt in plaats van differentiequotiënt ook wel gesproken van gemiddelde verandering van de functiewaarde.
  • Iloraz różnicowy – wielkość opisująca przyrost funkcji na danym przedziale.
  • Coeficiente diferencial em matemática descreve a alteração na proporção de uma grandeza em relação a alteração de outra grandeza, dependente da primeira. Em análise usa-se o coeficiente diferencial, para cálculo para definir uma função. Em análise numérica são usados para resolver equações diferenciais e para a determinação aproximada da derivada de uma função utilizada.
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