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In mathematics, a cusp, sometimes called spinode in old texts, is a point on a curve where a moving point must reverse direction. A typical example is given in the figure. A cusp is thus a type of singular point of a curve. For a plane curve defined by an analytic, parametric equation For a curve defined by an implicit equation In some contexts, and in the remainder of this article, the definition of a cusp is restricted to the case of cusps of order two—that is, the case where m = 2.

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  • Cúspide (matemàtiques)
  • Hrot křivky
  • Spitze (Singularitätentheorie)
  • Cusp (singularity)
  • Kuspo (specialaĵo)
  • Point de rebroussement
  • Cuspide (matematica)
  • 尖点
  • Касп
  • Касп (математика)
  • 尖點
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  • Hrot křivky (také označovaný bod vratu nebo bod úvratu) je v geometrii takový bod křivky, kde je, neformálně řečeno, křivka špičatá – označení „bod vratu“ odpovídá tomu, že pokud by byla křivka kreslena perem, tak se pero v daném bodě zastaví a pak se vydá směrem zpět. Z formálního hlediska se jedná o jeden ze , tedy bodů, kde křivka není vyjádřitelná , ovšem má v něm v tomto případě tečnu (dokonce v určitém smyslu dvojnásobnou).
  • In der Mathematik sind Spitzen (auch Kuspen, engl.: cusps) ein Typ von Singularitäten von Kurven. Ein sich auf der Kurve bewegender Punkt müsste an der Spitze seine Richtung abrupt ändern.
  • En kuspo estas singulara punkto de kurbo. Por kurbo difinita kiel la nula aro de funkcio de du variabloj f(x, y)=0, la kuspoj sur la kurbo estas punktoj (x, y) kiuj havas samtemple ĉiujn jenajn propraĵojn: * f(x, y)=0 * * La matrico de Hessian de la duaj derivaĵoj havas nulan determinanton. Klasika ekzemplo de kuspo estas punkto (0, 0) sur kurbo x3-y2=0 Ĉi tiu kurbo povas esti esprimita parametre kiel x=t2, y=t3 Kuspoj estas ofte trovitaj en optiko kiel formo de . Ili estas ankaŭ trovataj en projekcioj de profilo de surfaco.
  • En mathématiques, on appelle point de rebroussement, ou parfois cusp, selon la terminologie anglaise, un type particulier de point singulier sur une courbe.Dans le cas d'une courbe admettant une équation , les points de rebroussement ont les propriétés : 1. * ; 2. * ; 3. * La matrice hessienne (la matrice des dérivées secondes) a un déterminant nul. L'étude de la géométrie d'une courbe, algébrique ou analytique, au voisinage d'un tel point, repose notamment sur la notion d'éclatement.
  • In analisi matematica, si dice che una funzione di variabile reale continua in un punto del dominio, ha una cuspide in se si verifica la seguente condizione ovvero i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale in sono divergenti (tendenti a ±∞) con segno opposto. Geometricamente, si può osservare come le semitangenti destra e sinistra siano verticali e formino un angolo nullo. In geometria esistono tre specie di cuspidi, a seconda della molteplicità d'intersezione tra l'unica retta tangente e la curva nel punto, che può essere uguale a 3, 5 o 7.
  • 尖點(cusp)是曲線中的一種奇點。曲線上的動點在移到尖點時會開始反向移動,右圖是一個典型的例子。給定一個以解析參數式定義的平面曲線: 尖點即為函數f及g之導數為零之點,同時方向導數在切線方向會變號(切線方向之斜率為)。尖點是局部的奇點,只牽涉到參數t的一個值,不像自交點牽涉到t的許多值。在某些時候,方向導數變號的條件會省去,此時奇點有可能看起來像一般的點。 以一個光滑隱函數定義的曲線來說, 將F以泰勒級數展開,當其最低階項可表為一次多項式的次方時,即為尖點所在處。但是並非所有擁有此性質的奇點都是尖點,由相關定理可知,若F是解析函數,則在座標線性變換後,在尖點附近可將曲線參數化成以下形式: 其中a是實數,m是正偶數,S(t)是k階的冪級數且k>m。m也是F最低階項中非零部份的階數。這些定義已被勒内·托姆及弗拉基米爾·阿諾爾德推廣至以可微函數定義的曲線,若某點鄰域存在微分同胚,將曲線映至以上定義的尖點,則該曲線有尖點。在某些時候,以及以下文章,尖點被限定為二階尖點,也就是說{{{1}}}。一個平面曲線的二階尖點可被微分同胚表為x2 – y2k+1 = 0,其中k是正整數。
  • В касп (англ. cusp — загострення) є одним з видів особливих точок кривої.
  • En matemàtiques, en la teoria de la singularitat, una cúspide és un tipus de punt singular d'una corba, on un punt en moviment de la corba ha de començar a retrocedir. Les cúspides són singularitats locals que no estan formades per l'autointersecció dels punts de la corba. Per a una corba plana definida per una equació paramètrica implícita una cúspide és un punt on la derivada de f i g és zero, i la derivada direccional, en la direcció de la tangent, canvia signe (la direcció de la tangent és la direcció del pendent ).
  • In mathematics, a cusp, sometimes called spinode in old texts, is a point on a curve where a moving point must reverse direction. A typical example is given in the figure. A cusp is thus a type of singular point of a curve. For a plane curve defined by an analytic, parametric equation For a curve defined by an implicit equation In some contexts, and in the remainder of this article, the definition of a cusp is restricted to the case of cusps of order two—that is, the case where m = 2.
  • 幾何学における尖点(せんてん、英: cusp, 古くは尖節点 (spinode))は、曲線に沿って走る動点がそこで向きを逆転するような曲線上の点である。尖点は曲線の特異点の一種ということになる。 解析的に平面曲線 において尖点は、f および g の微分係数がともに消えているような点(つまり曲線の特異点)であって、その点での接線方向への方向微分が符号を変えるものである(ここで「接線方向」とは、その近傍の各点における傾きの極限 limg′(t)⁄f′(t) を傾きとする直線の方向の意)。媒介変数 t のただ一つの値のみで決まるという意味で尖点は「局所的な特異点」である。場合によっては尖点の定義に方向微分に関する条件を問わないこともあるが、その場合は一見すると正則点のようにも見える特異点も現れ得ることに注意すべきである。 なめらかな これらの定義を、ルネ・トムおよびウラジーミル・アーノルドは、可微分函数の定める曲線に対するものへ一般化した。すなわち、曲線がある点に尖点を持つとは、全体空間で考えたその点の近傍上で微分同相写像が存在して、その曲線を上で定義された意味での尖点の上へ写すことができるときに言う。
  • Касп (англ. cusp «заострение, пик»), или точка возврата, — особая точка, в которой кривая линия разделяется на две (или более) ветви, имеющие в этой точке одинаковый направляющий вектор. То есть ветви в данной точке имеют общую касательную, и движение вдоль них из данной точки изначально происходит в одном и том же направлении.
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