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In mathematics, a contraction mapping, or contraction or contractor, on a metric space (M, d) is a function f from M to itself, with the property that there is some nonnegative real number such that for all x and y in M, The smallest such value of k is called the Lipschitz constant of f. Contractive maps are sometimes called Lipschitzian maps. If the above condition is instead satisfied fork ≤ 1, then the mapping is said to be a non-expansive map. for all x and y in M. Contraction mappings play an important role in dynamic programming problems.

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  • Aplicació contractiva
  • Kontrakce (matematika)
  • Kontraktion (Mathematik)
  • Contraction mapping
  • Contracción (espacio métrico)
  • Application contractante
  • Contrazione (matematica)
  • 収縮写像
  • 축약사상
  • Kontrakcja (matematyka)
  • Сжимающее отображение
  • Kontraktionsavbildning
  • Стискуюче відображення
  • 压缩映射
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  • Pokud a jsou metrické prostory a pro zobrazení existuje číslo takové, že pro všechny , pak zobrazení nazveme kontrakcí.
  • En mathématiques et plus particulièrement en analyse, une application contractante, ou contraction, est une application qui « rapproche les images » ou, plus précisément, une application k-lipschitzienne avec k < 1. Le théorème de point fixe le plus simple et le plus utilisé concerne les applications contractantes.
  • In matematica, una contrazione o applicazione di contrazione è una funzione da uno spazio metrico in sé stesso tale che la distanza tra l'immagine di due elementi qualsiasi dello spazio sia inferiore alla distanza degli elementi stessi.
  • 収縮写像(英: Contraction mapping)とは、距離空間 (M,d) における M からM への関数 f であり、M における全ての x と y について以下の条件を満たす の実数が存在する: より一般化に、収縮写像の考え方は2つの距離空間の間の写像と定義することもできる。つまり、2つの距離空間 (M,d) と (N,g) があるとき、 という写像が考えられ、M のあらゆる x と y について となるような定数 k が存在する。このような写像をリプシッツ関数という。そのような k の最小値を f のリプシッツ定数(Lipschitz constant)という。上記条件が で満足される場合、その写像は「非拡大的(non-expansive)」である。 全ての収縮写像はリプシッツ連続であり、一様連続である。 収縮写像には高々1つの不動点が存在する。バナッハの不動点定理によれば、空でない完備距離空間における収縮写像には唯一の不動点があり、M 内の任意の x について反復関数列 x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... はその不動点に収束する。この性質は収縮写像がよく使われる反復関数系で利用される。バナッハの不動点定理は常微分方程式に解があることを証明する場合にも使われる(ピカールの逐次近似法)。
  • 수학에서 축약사상(縮約寫像) 또는 축소사상(縮小寫像, 영어: contraction mapping)은 거리 공간 사이에 정의된, 두 점 사이의 거리를 일정 비율 이하로 축소시키는 함수이다. .
  • Kontrakcja lub odwzorowanie zwężające – przekształcenie z przestrzeni metrycznej w przestrzeń metryczną dla którego istnieje stała rzeczywista taka, że dla dowolnych zachodzi nierówność Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.
  • Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками не менее чем в раз. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.
  • Kontraktionsavbildning, inom matematiken en avbildning där avståndet mellan två punkter före avbildningen är större än avståndet mellan dem efter avbildningen. Avbildningarna aktualiserades i slutet av 1980-talet, speciellt i form av itererande funktionssystem, eftersom de kan representera bilder med naturliga utseenden.
  • 度量空间(M,d)上的压缩映射,或压缩,是一个从M到它本身的函数f,存在某个实数,使得对于所有M内的x和y,都有: 满足以上条件的最小的k称为f的利普希茨常数。压缩映射有时称为利普希茨映射。如果以上的条件对于所有的都满足,则该映射称为非膨胀的。 更一般地,压缩映射的想法可以定义于两个度量空间之间的映射。如果(M,d)和(N,d')是两个度量空间,则我们寻找常数k,使得对于所有M内的x和y。 每一个压缩映射都是利普希茨连续的,因此是一致连续的。 一个压缩映射最多有一个不动点。另外,巴拿赫不动点定理说明,非空的完备度量空间上的每一个压缩映射都有唯一的不动点,且对于M内的任何x,迭代函数序列x,f (x),f (f (x)),f (f (f (x))),……收敛于不动点。这个概念在迭代函数系统中是非常有用的,其中通常要利用压缩映射。巴拿赫不动点定理也用来证明常微分方程的解的存在,以及证明反函数定理。
  • Dins l'anàlisi matemàtica, una contracció, funció o aplicació contractiva entre dos espais mètrics (X, dX) i (Y, dY) és una funció o aplicació f de X en Y, per a la qual hi ha un nombre real positiu k inferior a 1 tal que, per qualssevol elements u i v de X, dY(f(u), f(v)) ≤ k dX(u, v). És a dir, les funcions contractives són les funcions lipschitzianes la constant de Lipschitz de les quals és menor que 1. Tota aplicació contractiva és una funció de Lipschitz i, per tant, uniformement contínua (per a una funció contínua Lipschitz, la constant k ja no ha de ser necessàriament més petita que 1).
  • Eine Kontraktion ist in der Analysis und verwandten Gebieten der Mathematik eine Abbildung einer Menge in sich selbst, die die Abstände zwischen zwei beliebigen Punkten von mindestens so stark verringert wie eine zentrische Streckung mit einem festen Streckungsfaktor , also die Menge bei mehrfacher Anwendung „in sich zusammenzieht“ (kontrahiert). Anschaulich erscheint klar, dass durch fortgesetzte Anwendung einer solchen Kontraktion die Ausgangsmenge nach und nach auf eine „beliebig kleine“ Teilmenge abgebildet wird und sich schließlich (könnte man nur unendlich oft abbilden) auf einen Punkt zusammenzieht. Dass diese intuitive Vermutung in sehr allgemeinen Fällen in einem präzisierten Sinn zutrifft, lässt sich mathematisch beweisen. Sätze, die Aussagen machen über die Existenz des „Gren
  • In mathematics, a contraction mapping, or contraction or contractor, on a metric space (M, d) is a function f from M to itself, with the property that there is some nonnegative real number such that for all x and y in M, The smallest such value of k is called the Lipschitz constant of f. Contractive maps are sometimes called Lipschitzian maps. If the above condition is instead satisfied fork ≤ 1, then the mapping is said to be a non-expansive map. for all x and y in M. Contraction mappings play an important role in dynamic programming problems.
  • En matemática, una contracción o aplicación contractiva de un espacio métrico es una aplicación matemática f de un espacio métrico (M, d) en sí mismo () con la propiedad de que existe un número real y no negativo tal que para todo x e y en M:
  • Стискальним відображенням у метричному просторі називається відображення яке, умовно кажучи, зменшує відстані між точками. Нехай — підмножина метричного простору і на F визначено відображення . Воно називається стискуючим на F, якщо для . Довільне стискуюче відображення є відображенням Ліпшиця і, як наслідок, рівномірно неперервним відображенням.
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  • Dins l'anàlisi matemàtica, una contracció, funció o aplicació contractiva entre dos espais mètrics (X, dX) i (Y, dY) és una funció o aplicació f de X en Y, per a la qual hi ha un nombre real positiu k inferior a 1 tal que, per qualssevol elements u i v de X, dY(f(u), f(v)) ≤ k dX(u, v). És a dir, les funcions contractives són les funcions lipschitzianes la constant de Lipschitz de les quals és menor que 1. El valor més petit de k pel qual es compleix la condició anterior s'anomena constant de Lipschitz de f. Si la condició anterior se satisfà per k ≤ 1 (notem que k pot ser igual a 1), llavors hom diu que l'aplicació és . Tota aplicació contractiva és una funció de Lipschitz i, per tant, uniformement contínua (per a una funció contínua Lipschitz, la constant k ja no ha de ser necessàriament més petita que 1). Una aplicació contractiva té, com a màxim, un punt fix. Addicionalment, el teorema del punt fix de Banach afirma que tota aplicació contractiva sobre un espai mètric complet no buit té un únic punt fix, i que per a qualsevol x de M, la successió de x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... convergeix al punt fix. Aquest concepte és força útil a l'hora de demostrar l'existència de solucions d'equacions diferencials ordinàries, i s'utilitza en una demostració del teorema de la funció inversa.
  • Pokud a jsou metrické prostory a pro zobrazení existuje číslo takové, že pro všechny , pak zobrazení nazveme kontrakcí.
  • In mathematics, a contraction mapping, or contraction or contractor, on a metric space (M, d) is a function f from M to itself, with the property that there is some nonnegative real number such that for all x and y in M, The smallest such value of k is called the Lipschitz constant of f. Contractive maps are sometimes called Lipschitzian maps. If the above condition is instead satisfied fork ≤ 1, then the mapping is said to be a non-expansive map. More generally, the idea of a contractive mapping can be defined for maps between metric spaces. Thus, if (M, d) and (N, d') are two metric spaces, then is a contractive mapping if there is a constant such that for all x and y in M. Every contraction mapping is Lipschitz continuous and hence uniformly continuous (for a Lipschitz continuous function, the constant k is no longer necessarily less than 1). A contraction mapping has at most one fixed point. Moreover, the Banach fixed-point theorem states that every contraction mapping on a non-empty complete metric space has a unique fixed point, and that for any x in M the iterated function sequence x, f (x), f (f (x)), f (f (f (x))), ... converges to the fixed point. This concept is very useful for iterated function systems where contraction mappings are often used. Banach's fixed-point theorem is also applied in proving the existence of solutions of ordinary differential equations, and is used in one proof of the inverse function theorem. Contraction mappings play an important role in dynamic programming problems.
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