Chapman–Enskog theory provides a framework in which equations of hydrodynamics for a gas can be derived from the Boltzmann equation. The technique justifies the otherwise phenomenological constitutive relations appearing in hydrodynamical descriptions such as the Navier–Stokes equations. In doing so, expressions for various transport coefficients such as thermal conductivity and viscosity are obtained in terms of molecular parameters. Thus, Chapman–Enskog theory constitutes an important step in the passage from a microscopic, particle-based description to a continuum hydrodynamical one.
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| - Chapman–Enskog theory (en)
- Método de Chapman-Enskog (es)
- Approssimazione di Chapman-Enskog (it)
- Méthode de Chapman-Enskog (fr)
- Teoria de Chapman-Enskog (pt)
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| - L'approssimazione di Chapman è il sistema più utilizzato per approssimare le equazioni di bilancio, e porta nelle forme più semplici progressivamente dalle equazioni di Eulero, alle equazioni di Navier-Stokes, alle . (it)
- A teoria ou método de Chapman-Enskog apresenta fórmulas precisas para uma mistura gasosa multicomponente em equilíbrio térmico e químico. Em gases elásticos o desvio da distribuição de Maxwell-Boltzmann no equilíbrio é pequeno e pode ser tratado como uma perturbação. Este método teve como objetivo a obtenção de equações de transporte mais gerais do que as equações de Euler. (pt)
- Chapman–Enskog theory provides a framework in which equations of hydrodynamics for a gas can be derived from the Boltzmann equation. The technique justifies the otherwise phenomenological constitutive relations appearing in hydrodynamical descriptions such as the Navier–Stokes equations. In doing so, expressions for various transport coefficients such as thermal conductivity and viscosity are obtained in terms of molecular parameters. Thus, Chapman–Enskog theory constitutes an important step in the passage from a microscopic, particle-based description to a continuum hydrodynamical one. (en)
- Al finalizar el siglo XIX se conoce la ecuación de Boltzmann que rige la dinámica del medio gaseoso a la escala microscópica y las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes para el nivel macroscópico. Pasar de una escala a la otra constituye una parte del sexto problema de Hilbert. David Hilbert, autor de las declaraciones de los principales problemas considerados al finalizar el siglo XIX plantea las bases de un método bajo la forma de un desarrollo que lleva su nombre (1912). Hará falta esperar algunos años para que Sydney Chapman y propongan simultáneamente e independientemente en 1916 y 1917 una solución a este problema. Más recientemente este método se ha extendido al caso de un gas en desequilibrio termodinámico, siendo este último aspecto un área de investigación muy activa en la (es)
- À la fin du XIXe siècle on connaît l'équation de Boltzmann qui régit la dynamique du milieu gazeux à l'échelle microscopique et les équations d'Euler et de Navier-Stokes pour le niveau macroscopique. Le passage d'une échelle à l'autre constitue une partie du sixième problème de Hilbert. David Hilbert, auteur des énoncés des problèmes jugés majeurs à la fin du XIXe siècle pose les bases d'une méthode sous forme d'un développement qui porte son nom (1912). Il faudra attendre quelques années pour que Sydney Chapman et David Enskog proposent simultanément et indépendamment en 1916 et 1917 une solution à ce problème. Plus récemment cette méthode a été étendue au cas d'un gaz en déséquilibre thermodynamique, ce dernier aspect étant aujourd'hui encore un domaine de recherche très actif. (fr)
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| - Chapman–Enskog theory provides a framework in which equations of hydrodynamics for a gas can be derived from the Boltzmann equation. The technique justifies the otherwise phenomenological constitutive relations appearing in hydrodynamical descriptions such as the Navier–Stokes equations. In doing so, expressions for various transport coefficients such as thermal conductivity and viscosity are obtained in terms of molecular parameters. Thus, Chapman–Enskog theory constitutes an important step in the passage from a microscopic, particle-based description to a continuum hydrodynamical one. The theory is named for Sydney Chapman and David Enskog, who introduced it independently in 1916 and 1917. (en)
- Al finalizar el siglo XIX se conoce la ecuación de Boltzmann que rige la dinámica del medio gaseoso a la escala microscópica y las ecuaciones de Euler y de Navier-Stokes para el nivel macroscópico. Pasar de una escala a la otra constituye una parte del sexto problema de Hilbert. David Hilbert, autor de las declaraciones de los principales problemas considerados al finalizar el siglo XIX plantea las bases de un método bajo la forma de un desarrollo que lleva su nombre (1912). Hará falta esperar algunos años para que Sydney Chapman y propongan simultáneamente e independientemente en 1916 y 1917 una solución a este problema. Más recientemente este método se ha extendido al caso de un gas en desequilibrio termodinámico, siendo este último aspecto un área de investigación muy activa en la actualidad. El método de Chapman-Enskog es un método de perturbaciones que consiste en definir la solución bajo la forma de series de funciones de distribución en función de un "pequeño parámetro" asimilable al número de Knudsen. En orden cero se encuentra la distribución de Maxwell-Boltzmann y las ecuaciones de Euler. El orden uno permite conocer la expresión de los flujos de calor y de cantidad de movimiento y aquella de los coeficientes de transporte (los coeficientes de difusión por gradientes de concentración, de presión y de temperatura, las viscosidades dinámica, volumétricas, y la conductividad). De los potenciales de interacción molecular. Este enfoque permite encontrar las ecuaciones de Navier-Stokes y para justificar la difusión por gradientes térmico, desconocida en el tiempo en el que están publicados los trabajos de Chapman y de Enskog. Este método permite calcular todos estos coeficientes a partir del conocimiento de uno de ellos mediante la reconstitución a una medida (generalmente la viscosidad) de un potencial de interacción como el potencial de Lennard-Jones. ha propuesto un enfoque alternativo que consiste en buscar la solución por los métodos de momentos de la función de distribución (1949). La ecuación de Boltzmann está multiplicada por ( es la velocidad microscópica de la ecuación de Boltzmann y el producto tensorial, e integrado en velocidad. En este tipo de método, el término n de la expansión queda en función del término (n+1), por lo que debemos hacer una hipótesis para "cerrar" el sistema. Grad asume la solución expresada por una serie truncada de polinomios de Hermite. David Levermore ha propuesto más recientemente (1996) un cierre que usa una propiedad general: la solución maximiza la entropía del sistema de fermiones que son las partículas del medio que él estudió. De los códigos de cálculo basado en estos métodos están quedado en la propiedad del laboratorio porque no aportando una ganancia notable en términos de propiedad de validez (en términos de número de Knudsen) por informe a los códigos estándares que resuelven las ecuaciones de Navier-Stokes, los cuales han hecho el objeto de desarrollos considerables. (es)
- À la fin du XIXe siècle on connaît l'équation de Boltzmann qui régit la dynamique du milieu gazeux à l'échelle microscopique et les équations d'Euler et de Navier-Stokes pour le niveau macroscopique. Le passage d'une échelle à l'autre constitue une partie du sixième problème de Hilbert. David Hilbert, auteur des énoncés des problèmes jugés majeurs à la fin du XIXe siècle pose les bases d'une méthode sous forme d'un développement qui porte son nom (1912). Il faudra attendre quelques années pour que Sydney Chapman et David Enskog proposent simultanément et indépendamment en 1916 et 1917 une solution à ce problème. Plus récemment cette méthode a été étendue au cas d'un gaz en déséquilibre thermodynamique, ce dernier aspect étant aujourd'hui encore un domaine de recherche très actif. La méthode de Chapman-Enskog est une méthode de perturbation consistant à définir la solution sous forme de série de fonctions de distribution en fonction d'un « petit paramètre » assimilable au nombre de Knudsen. À l'ordre zéro on retrouve la distribution de Maxwell-Boltzmann et les équations d'Euler. L'ordre un permet de connaître l'expression des flux de chaleur et de quantité de mouvement et celle des coefficients de transport (les coefficients de diffusion par gradients de concentration, de pression et de température, les viscosités dynamique et volumique, la conductivité) à partir des potentiels d'interaction moléculaires. Cette approche permet de retrouver les équations de Navier-Stokes et de justifier la diffusion par gradient thermique, inconnue à l'époque où sont publiés les travaux de Chapman et d'Enskog. Cette méthode permettra par la suite de calculer tous ces coefficients à partir de la connaissance de l'un d'entre eux en reconstituant à partir d'une mesure (généralement la viscosité) un potentiel d'interaction tel que le potentiel de Lennard-Jones. Harold Grad a proposé une approche alternative consistant à chercher la solution par la méthode des moments de la fonction de distribution (1949). L'équation de Boltzmann est multipliée par ( est la vitesse microscopique de l'équation de Boltzmann et le produit tensoriel) et intégrée en vitesse. Dans ce type de méthode l'équation portant sur le ne moment fait apparaître le (n+1)e. Il faut donc faire une hypothèse pour « fermer » le système. Grad suppose la solution exprimée par une série tronquée de polynômes d'Hermite. David Levermore a plus récemment (1996) proposé une fermeture qui fait appel à une propriété générale : la solution maximise l'entropie du système de fermions que sont les particules du milieu. Des codes de calcul basés sur ces méthodes sont restés dans le domaine du laboratoire car n'apportant pas un gain notable en termes de domaine de validité (en termes de nombre de Knudsen) par rapport aux codes standard résolvant les équations de Navier-Stokes, lesquels ont fait l'objet de développements considérables. La méthode de Chapman-Enskog a été étendue à l'équation de Boltzmann-Chernikov en relativité générale pour les applications en cosmologie. (fr)
- L'approssimazione di Chapman è il sistema più utilizzato per approssimare le equazioni di bilancio, e porta nelle forme più semplici progressivamente dalle equazioni di Eulero, alle equazioni di Navier-Stokes, alle . (it)
- A teoria ou método de Chapman-Enskog apresenta fórmulas precisas para uma mistura gasosa multicomponente em equilíbrio térmico e químico. Em gases elásticos o desvio da distribuição de Maxwell-Boltzmann no equilíbrio é pequeno e pode ser tratado como uma perturbação. Este método teve como objetivo a obtenção de equações de transporte mais gerais do que as equações de Euler. (pt)
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