In mathematics, particularly numerical analysis, the Bramble–Hilbert lemma, named after James H. Bramble and Stephen Hilbert, bounds the error of an approximation of a function by a polynomial of order at most in terms of derivatives of of order . Both the error of the approximation and the derivatives of are measured by norms on a bounded domain in . This is similar to classical numerical analysis, where, for example, the error of linear interpolation can be bounded using the second derivative of . However, the Bramble–Hilbert lemma applies in any number of dimensions, not just one dimension, and the approximation error and the derivatives of are measured by more general norms involving averages, not just the maximum norm.
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| - Bramble–Hilbert lemma (en)
- Lemma von Bramble-Hilbert (de)
- Lemme de Bramble-Hilbert (fr)
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| - In mathematics, particularly numerical analysis, the Bramble–Hilbert lemma, named after James H. Bramble and Stephen Hilbert, bounds the error of an approximation of a function by a polynomial of order at most in terms of derivatives of of order . Both the error of the approximation and the derivatives of are measured by norms on a bounded domain in . This is similar to classical numerical analysis, where, for example, the error of linear interpolation can be bounded using the second derivative of . However, the Bramble–Hilbert lemma applies in any number of dimensions, not just one dimension, and the approximation error and the derivatives of are measured by more general norms involving averages, not just the maximum norm. (en)
- In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach und , den Fehler bei Approximation einer Funktion durch ein Polynom der maximalen Ordnung mit Hilfe der Ableitungen -ter Ordnung von ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von werden durch -Normen auf einem beschränkten Gebiet im gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von bei linearer Interpolation von . Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten -Normen. (de)
- En mathématiques, et en particulier en analyse numérique, le lemme de Bramble-Hilbert, qui porte les noms de James H. Bramble et Stephen Hilbert, donne une borne à l'erreur d'une approximation d'une fonction par un polynôme d'ordre au plus en fonction des dérivées de d'ordre . L'erreur de l'approximation et les dérivées de sont mesurées par des normes sur un domaine borné dans . Le lemme est proche d'un résultat classique en analyse numérique, qui indique, par exemple, que l'erreur d'une interpolation linéaire peut être bornée en utilisant la dérivée seconde de . Cependant, le lemme de Bramble-Hilbert s'applique pour un nombre quelconque de dimensions, et pas uniquement pour une dimension, et l'erreur d'approximation et les dérivées de sont mesurées par des normes plus générales uti (fr)
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| - In der Mathematik, besonders in der numerischen Analysis, schätzt das Bramble-Hilbert-Lemma, benannt nach und , den Fehler bei Approximation einer Funktion durch ein Polynom der maximalen Ordnung mit Hilfe der Ableitungen -ter Ordnung von ab. Sowohl der Approximationsfehler als auch die Ableitungen von werden durch -Normen auf einem beschränkten Gebiet im gemessen. In der klassischen numerischen Analysis entspricht dies einer Fehlerschranke mit Hilfe der zweiten Ableitungen von bei linearer Interpolation von . Jedoch gilt das Bramble-Hilbert-Lemma auch in höheren Dimensionen, und der Approximationsfehler und die Ableitungen von können dabei durch allgemeinere Normen gemessen werden, nämlich nicht nur in der Maximumnorm, sondern auch in gemittelten -Normen. Zusätzliche Regularitätsannahmen an den Rand des Gebiets sind für das Lemma von Bramble-Hilbert erforderlich. Lipschitz-Stetigkeit des Randes ist hierfür ausreichend, insbesondere gilt das Lemma für konvexe Gebiete und -Gebiete. Die Hauptanwendung des Lemmas von Bramble-Hilbert ist der Nachweis von Fehlerschranken mit Hilfe der Ableitungen bis zur -ten Ordnung für den Fehler bei Approximation durch einen Operator, der Polynome der Ordnung höchstens erhält. Das ist ein wesentlicher Schritt beim Nachweis von Fehlerschätzungen für die Finite-Elemente-Methode. Das Lemma von Bramble-Hilbert wird dort auf dem Gebiet angewandt, das aus einem Element besteht. (de)
- In mathematics, particularly numerical analysis, the Bramble–Hilbert lemma, named after James H. Bramble and Stephen Hilbert, bounds the error of an approximation of a function by a polynomial of order at most in terms of derivatives of of order . Both the error of the approximation and the derivatives of are measured by norms on a bounded domain in . This is similar to classical numerical analysis, where, for example, the error of linear interpolation can be bounded using the second derivative of . However, the Bramble–Hilbert lemma applies in any number of dimensions, not just one dimension, and the approximation error and the derivatives of are measured by more general norms involving averages, not just the maximum norm. Additional assumptions on the domain are needed for the Bramble–Hilbert lemma to hold. Essentially, the boundary of the domain must be "reasonable". For example, domains that have a spike or a slit with zero angle at the tip are excluded. Lipschitz domains are reasonable enough, which includes convex domains and domains with continuously differentiable boundary. The main use of the Bramble–Hilbert lemma is to prove bounds on the error of interpolation of function by an operator that preserves polynomials of order up to , in terms of the derivatives of of order . This is an essential step in error estimates for the finite element method. The Bramble–Hilbert lemma is applied there on the domain consisting of one element (or, in some superconvergence results, a small number of elements). (en)
- En mathématiques, et en particulier en analyse numérique, le lemme de Bramble-Hilbert, qui porte les noms de James H. Bramble et Stephen Hilbert, donne une borne à l'erreur d'une approximation d'une fonction par un polynôme d'ordre au plus en fonction des dérivées de d'ordre . L'erreur de l'approximation et les dérivées de sont mesurées par des normes sur un domaine borné dans . Le lemme est proche d'un résultat classique en analyse numérique, qui indique, par exemple, que l'erreur d'une interpolation linéaire peut être bornée en utilisant la dérivée seconde de . Cependant, le lemme de Bramble-Hilbert s'applique pour un nombre quelconque de dimensions, et pas uniquement pour une dimension, et l'erreur d'approximation et les dérivées de sont mesurées par des normes plus générales utilisant des moyennes, et non juste la norme de la convergence uniforme. Des hypothèse supplémentaires sur le domaine sont nécessaires pour la validité du lemme de Bramble-Hilbert. Principalement, la frontière du domaine doit être "raisonnable". Par exemple, les domaines qui ont une pointe ou une fente avec un angle nul sont exclus. Les domaines lipschitziens sont suffisamment raisonnables. Ils comprennent les domaines convexes et les domaines avec une frontière continûment différentiable. Le lemme de Bramble-Hilbert est principalement utilisé pour trouver des bornes de l'erreur d'interpolation de fonction par un opérateur qui préserve les polynômes d'ordre au plus , en fonction des dérivées de d'ordre . C'est une étape essentielle dans l'estimation des erreurs de la méthode des éléments finis. Le lemme de Bramble-Hilbert est appliqué alors sur le domaine formé d'un seul élément. (fr)
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