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In combinatorics, bijective proof is a proof technique that finds a bijective function (that is, a one-to-one and onto function) f : A → B between two finite sets A and B, or a size-preserving bijective function between two combinatorial classes, thus proving that they have the same number of elements, |A| = |B|. One place the technique is useful is where we wish to know the size of A, but can find no direct way of counting its elements. By establishing a bijection from A to some B solves the problem if B is more easily countable. Another useful feature of the technique is that the nature of the bijection itself often provides powerful insights into each or both of the sets.

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  • Bijective proof
  • Preuve bijective
  • Dimostrazione mediante biiezione
  • Биективное доказательство
  • 双射法
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  • In combinatorics, bijective proof is a proof technique that finds a bijective function (that is, a one-to-one and onto function) f : A → B between two finite sets A and B, or a size-preserving bijective function between two combinatorial classes, thus proving that they have the same number of elements, |A| = |B|. One place the technique is useful is where we wish to know the size of A, but can find no direct way of counting its elements. By establishing a bijection from A to some B solves the problem if B is more easily countable. Another useful feature of the technique is that the nature of the bijection itself often provides powerful insights into each or both of the sets.
  • En mathématiques, une preuve bijective (ou démonstration par bijection) est une technique de démonstration qui consiste à démontrer l'égalité de deux expressions entières en exhibant une bijection entre deux ensembles et en dénombrant chacun d'eux, pour montrer que les expressions obtenues sont égales. Autrement dit, on examine deux ensembles finis X et Y, on les dénombre et au moyen d'une bijection de X sur Y, on en déduit que les résultats des comptages sont égaux. La branche de la combinatoire qui étudie particulièrement les démonstrations bijectives s'appelle la combinatoire bijective.
  • Биективное доказательство — это техника доказательства, при которой находится биективная функция f : A → B между двумя конечными множествами A и B или сохраняющая размер биективная функция между двумя , чем доказывается одинаковость числа элементов, |A| = |B|. Место, где техника полезна — когда мы хотим знать размер A, но не можем найти прямого пути подсчёта элементов множества. В этом случае установление биекции между A и некоторым множеством B решает задачу, если число элементов множества B вычислить проще. Другое полезное свойство этой техники — природа биекции само по себе часто даёт мощную информацию о каждом из двух множеств.
  • 双射法是组合数学中的一种重要的证明方法,用来证明两个有限集合A和B的元素数目相等。证明的思路是构造一个双射映射f : A → B,于是根据双射的性质,A和B的元素数目就是相等的。这个证明是构造法证明的一种。由于双射法是给出具体的映射构造,而不是分别点算两个集合,所以不需要知道两个集合的元素个数。这种证明可以用于难以直接对两个集合或其中一个集合进行计数的情况。此外,双射法也可以用来计算一个集合(难以直接计算时),方法是将它映射到一个可以拆分或比较容易计算的集合。而作为构造性证明,双射法用到的f也许可以用来更深刻地分析集合本身的性质。
  • Una dimostrazione mediante biiezione è un genere di dimostrazione utilizzata in combinatoria che ha come scopo una uguaglianza di due espressioni enumerative che forniscono le cardinalità di due insiemi finiti X e Y consiste nella determinazione di una funzione biiettiva dalla quale si può dedurre immediatamente . Spesso la funzione β viene individuata precisando due costruzioni: una B che trasforma un qualsiasi elemento x di X in un elemento di Y con il ruolo di β(x) e una G che trasforma un qualsiasi elemento y di Y in un elemento di X e tale da fornire la funzione inversa della β. Questo modo di procedere viene adottato in molte situazioni nelle quali serve conoscere la cardinalità di un insieme X tendenzialmente "complesso" e/o "nuovo" e la esistenza della biiezione β permette di otte
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  • In combinatorics, bijective proof is a proof technique that finds a bijective function (that is, a one-to-one and onto function) f : A → B between two finite sets A and B, or a size-preserving bijective function between two combinatorial classes, thus proving that they have the same number of elements, |A| = |B|. One place the technique is useful is where we wish to know the size of A, but can find no direct way of counting its elements. By establishing a bijection from A to some B solves the problem if B is more easily countable. Another useful feature of the technique is that the nature of the bijection itself often provides powerful insights into each or both of the sets.
  • En mathématiques, une preuve bijective (ou démonstration par bijection) est une technique de démonstration qui consiste à démontrer l'égalité de deux expressions entières en exhibant une bijection entre deux ensembles et en dénombrant chacun d'eux, pour montrer que les expressions obtenues sont égales. Autrement dit, on examine deux ensembles finis X et Y, on les dénombre et au moyen d'une bijection de X sur Y, on en déduit que les résultats des comptages sont égaux. La branche de la combinatoire qui étudie particulièrement les démonstrations bijectives s'appelle la combinatoire bijective.
  • Una dimostrazione mediante biiezione è un genere di dimostrazione utilizzata in combinatoria che ha come scopo una uguaglianza di due espressioni enumerative che forniscono le cardinalità di due insiemi finiti X e Y consiste nella determinazione di una funzione biiettiva dalla quale si può dedurre immediatamente . Spesso la funzione β viene individuata precisando due costruzioni: una B che trasforma un qualsiasi elemento x di X in un elemento di Y con il ruolo di β(x) e una G che trasforma un qualsiasi elemento y di Y in un elemento di X e tale da fornire la funzione inversa della β. Questo modo di procedere viene adottato in molte situazioni nelle quali serve conoscere la cardinalità di un insieme X tendenzialmente "complesso" e/o "nuovo" e la esistenza della biiezione β permette di ottenere dalla cardinalità di un insieme più semplice e/o precedentemente conosciuto. In molti casi la conoscenza della β consente di ottenere una consapevolezza molto maggiore della struttura dei due insiemi e ad individuare un livello di astrazione superiore al quale entrambi gli insiemi si possono ricondurre con una più chiara visione dei problemi che riguardano i due insiemi. Negli ultimi decenni si sono trovate numerose dimostrazione mediante biiezione le quali hanno portato rilevanti avanzamenti per la combinatoria.
  • Биективное доказательство — это техника доказательства, при которой находится биективная функция f : A → B между двумя конечными множествами A и B или сохраняющая размер биективная функция между двумя , чем доказывается одинаковость числа элементов, |A| = |B|. Место, где техника полезна — когда мы хотим знать размер A, но не можем найти прямого пути подсчёта элементов множества. В этом случае установление биекции между A и некоторым множеством B решает задачу, если число элементов множества B вычислить проще. Другое полезное свойство этой техники — природа биекции само по себе часто даёт мощную информацию о каждом из двух множеств.
  • 双射法是组合数学中的一种重要的证明方法,用来证明两个有限集合A和B的元素数目相等。证明的思路是构造一个双射映射f : A → B,于是根据双射的性质,A和B的元素数目就是相等的。这个证明是构造法证明的一种。由于双射法是给出具体的映射构造,而不是分别点算两个集合,所以不需要知道两个集合的元素个数。这种证明可以用于难以直接对两个集合或其中一个集合进行计数的情况。此外,双射法也可以用来计算一个集合(难以直接计算时),方法是将它映射到一个可以拆分或比较容易计算的集合。而作为构造性证明,双射法用到的f也许可以用来更深刻地分析集合本身的性质。
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