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| - Bernoulliho čísla je nekonečná posloupnost racionálních čísel kterou popsal v roce 1631 jako nástroj pro usnadnění počítání sum určitých mocnin po sobě jdoucích přirozených čísel. Toto použití a některé jejich vlastnosti podrobně popsal Jacob Bernoulli v knize (vydané po smrti autora v roce 1713). Uvádí tam mimo jiné, že použitím Faulhaberova vzorce (viz níže) dokáže spočítat součet: „za půl čtvrthodiny”. Bernoulliho čísla našla použití v matematické analýze (při rozvoji funkcí v Taylorovu řadu) a v teorii čísel. (cs)
- Οι αριθμοί Μπερνούλι, 1, ± 1⁄2, 1⁄6, 0, - 1⁄30 , ... είναι μια ακολουθία ρητών αριθμών που εμφανίζονται στα μαθηματικά σε διαφορετικά θέματα: στους συντελεστές επέκτασης των τριγωνομετρικών, υπερβολικών και άλλων συναρτήσεων, στην συνάρτηση Όιλερ-Μακλόριν και στη θεωρία αριθμών σε σχέση με τη συνάρτηση Ζήτα Ρήμαν . Η ονομασία αυτών των αριθμών μετά την ανακάλυψή τους από τον μαθηματικό Γιάκομπ Μπερνούλι εισήχθη από τον Αβραάμ ντε Μουάβρ. (el)
- Die Bernoulli-Zahlen oder Bernoullischen Zahlen, 1, ±1⁄2, 1⁄6, 0, −1⁄30, … sind eine Folge rationaler Zahlen, die in der Mathematik in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: in den Entwicklungskoeffizienten trigonometrischer, hyperbolischer und anderer Funktionen, in der Euler-Maclaurin-Formel und in der Zahlentheorie in Zusammenhang mit der Riemannschen Zetafunktion. Die Benennung dieser Zahlen nach ihrem Entdecker Jakob I Bernoulli wurde von Abraham de Moivre eingeführt. (de)
- En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números. Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann. (es)
- Matematikan, Bernouilliren zenbakiak zenbaki arrazionalak dira eta sekuentzia bat osatzen dutenak. Zenbakien teoriarekin lotura handia dute. Bernuilliren lehen zortzi zenbakiak hauek dira: B0 = 1, B1 = ±1⁄2, B2 = 1⁄6, B3 = 0, B4 = −1⁄30, B5 = 0, B6 = 1⁄42, B7 = 0, B8 = −1⁄30. XVIII. mendeko hasieran Ada Lovelacek erabili zuen Charles Babbageren makina analitikoa Bernouilliren zenbakizko sekuentzia bat automatikoki sortzeko. Horregatik esaten da Ada Lovelace izan zela historiako lehen programatzailea. (eu)
- In matematica, i numeri di Bernoulli costituiscono una successione di numeri razionali che gioca un ruolo importante in vari problemi. Accanto a essi conviene prendere in considerazione i polinomi di Bernoulli che si possono considerare una loro generalizzazione. (it)
- ベルヌーイ数 (ベルヌーイすう、英: Bernoulli number、まれに関・ベルヌーイ数とも) は数論における基本的な係数を与える数列の1つ。関数 x/ex − 1 のマクローリン展開 (テイラー展開) の展開係数として定義される: ベルヌーイ数を最初に取り扱ったのは関孝和であるが、ほぼ同時期に、関とは独立してスイスの数学者ヤコブ・ベルヌーイが発見したことからこの名がついている。関による発見は、死後の1712年に出版された『括要算法』に記述されており、またベルヌーイによる発見は、死後の1713年に出版された著書『Ars Conjectandi (推測術)』 に記載されている。 ベルヌーイ数は、べき乗和の展開係数にとどまらず、級数展開の係数や剰余項、リーマンゼータ関数においても登場する。また、ベルヌーイ数はすべてが有理数である。 (ja)
- 수론에서 베르누이 수(Bernoulli數, 영어: Bernoulli numbers)는 거듭제곱수(Exponentiation)의 합, 삼각함수(trigonometric functions 또는 circular functions)의 멱급수(power series)의 다양한 공식에 등장하는 유리수 수열이다. 정수론과 깊은 관계가 있는 실수열로, 야코프 베르누이에 의해 발견되고 그의 이름에서 명명됐다. 이와는 별개로 동시대에 세키 다카카즈도 발견했다. (ko)
- Na matemática, os números de Bernoulli são sequências de números racionais com profundas conexões na teoria dos números.São definidos como os coeficientes da Expansão de Taylor : (pt)
- Bernoullitalen är en sekvens av rationella tal som ofta förekommer inom matematiken, främst inom talteori. De betecknas Bn och är för n = 0, 1, 2, ... lika med 1, -1/2, 1/6, 0, -1/30, 0, 1/42, 0, -1/30, 0, 5/66, 0, -691/2730, ... där täljarna och nämnarna ges av respektive i OEIS. Bortsett från att talen är noll för udda n större än två saknas ett enkelt uttryck för det n:te Bernoullitalet. (sv)
- Числа Бернуллі — послідовність раціональних чисел знайдена Якобом Бернуллі в зв'язку з обчисленням суми однакових степенів натуральних чисел: , де — Біноміальний коефіцієнт. (uk)
- 數學上，白努利數 Bn 是一個與數論有密切關聯的有理數序列。前幾項被發現的白努利數分別為： B0 = 1, B±1 = ± 1/2, B2 = 1/6, B3 = 0, B4 = − 1/30, B5 = 0, B6 = 1/42, B7 = 0, B8 = − 1/30. 上標 ± 在本文中用來區別兩種不同的白努利數定義，而這兩種定義只有在n = 1 時有所不同：
* B−n 表示第一白努利數 (A027641 / A027642)，由美國國家標準技術研究所 (NIST)制定，在這標準下 B−1 = − 1/2.
* B+n 表示第二白努利數 (A164555 / A027642)，又被稱為是「原始的白努利數」 ，在這標準下 B+1 = + 1/2. 由於對於所有大於1的奇數 n白努利數 Bn = 0 ，且許多公式中僅使用偶數項的白努利數，一些作者可能會用"Bn"來代表 B2n，不過在本文中不會使用如此的簡寫。 (zh)
- في الرياضيات، أعداد بيرنولي Bn هي متسلسلة من الأعداد الكسرية ذات العلاقة الوثيقة بنظرية الأعداد. أعداد برنولي الأولى تأتي فيما يلي: B0 = 1, B1 = ±1⁄2, B2 = 1⁄6, B3 = 0, B4 = −1⁄30, B5 = 0, B6 = 1⁄42, B7 = 0, B8 = −1⁄30. عندما يستعمل اصطلاح B1=−1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الأولى، وعندما يستعمل اصطلاح B1=+1⁄2، تعرف المتتالية باسم أعداد برنولي الثانية. باستثناء هذا الفرق، فإن أعداد برنولي الأولي والثانية متساوية. بما أن Bn=0 مهما كان n فرديا وأكبر قطعا من الواحد. وبما أن هناك عدة صيغ تحتوي على أعداد برنولي عندما يكون n زوجيا، يفضل بعض الكتاب كتابة Bn بدلا من B2n. (ar)
- En matemàtiques, els Nombres de Bernoulli, denotats normalment per (o bé per diferenciar-los dels ), són una seqüència de nombres racionals amb connexions profundes amb la teoria de nombres. Els valors dels primers nombres de Bernoulli es mostren a la taula de la dreta. Els nombres de Bernoulli apareixen a l'expansió en sèrie de Taylor de les funcions tangent i tangent hiperbòlica, en les fórmules per la suma de potències dels primers nombres naturals, a la i a l'expressió de certs valors de la funció zeta de Riemann. (ca)
- In mathematics, the Bernoulli numbers Bn are a sequence of rational numbers which occur frequently in analysis. The Bernoulli numbers appear in (and can be defined by) the Taylor series expansions of the tangent and hyperbolic tangent functions, in Faulhaber's formula for the sum of m-th powers of the first n positive integers, in the Euler–Maclaurin formula, and in expressions for certain values of the Riemann zeta function. (en)
- En mathématiques, les nombres de Bernoulli, notés Bn (ou parfois bn pour ne pas les confondre avec les polynômes de Bernoulli ou avec les nombres de Bell), constituent une suite de nombres rationnels. Ces nombres ont d'abord été étudiés par Jacques Bernoulli (ce qui a conduit Abraham de Moivre à leur donner le nom que nous connaissons aujourd'hui) en cherchant des formules pour exprimer les sommes du type Pour des valeurs entières de m, cette somme s'écrit comme un polynôme de la variable n dont les premiers termes sont : Les premiers nombres de Bernoulli sont donnés par la table suivante : , (fr)
- In de wiskunde zijn bernoulli-getallen rationale getallen, die een belangrijke rol in de getaltheorie spelen. Het bernoulli-getal is gedefinieerd als de coëfficiënt in de reeksontwikkeling: Dit betekent dat: De eerste veertien bernoulli-getallen zijn: (nl)
- Liczby Bernoulliego to nieskończony ciąg liczb wymiernych oznaczanych jako gdzie jest numerem porządkowym liczby, wprowadzony w roku 1631 przez w celu ułatwienia obliczania sum ustalonych potęg kolejnych liczb naturalnych. Takie ich zastosowania i niektóre ich własności opisał szczegółowo Jakob Bernoulli w książce Ars Conjectandi (wydanej po śmierci autora w roku 1713). Stwierdza tam między innymi, że potrafi, wykorzystując wzór Faulhabera (patrz niżej) obliczyć sumę: „w pół kwadransa”. (pl)
- Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел , впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень: где — биномиальный коэффициент. (ru)
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