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In functional analysis, a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A, of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex-valued functions from X, together with a norm on A that makes it a Banach algebra. A function algebra is said to vanish at a point p if f(p) = 0 for all . A function algebra separates points if for each distinct pair of points , there is a function such that . For every define for . Then is a homomorphism (character) on , non-zero if does not vanish at .

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  • Banach function algebra (en)
  • バナッハ関数環 (ja)
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  • 数学の関数解析学の分野において、あるコンパクトハウスドルフ空間 X 上のバナッハ関数環（バナッハかんすうかん、英: Banach function algebra）とは、X を定義域とするすべての連続な複素数値関数からなる可換なC*-環の単位的部分環 A のことを言う。あるノルムが備えられることで、バナッハ環となる。 バナッハ関数環は、すべての に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する（vanish）と言われる。関数環は、異なる各点のペア に対して となるような関数 を含むとき、各点を分離する（separate）と言われる。 各 に対して、 を定める。このとき は 上の非ゼロな準同型である。 定理 バナッハ関数環は半単純（すなわちそのジャコブソン根基が 0 に等しい）で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は（を通じて）その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、A から複素数への環準同型で相対弱*位相が与えられるものからなる空間である。 上のノルムが 上の一様ノルム（あるいは上限ノルム）であるなら、 は一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。 (ja)
  • In functional analysis, a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A, of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex-valued functions from X, together with a norm on A that makes it a Banach algebra. A function algebra is said to vanish at a point p if f(p) = 0 for all . A function algebra separates points if for each distinct pair of points , there is a function such that . For every define for . Then is a homomorphism (character) on , non-zero if does not vanish at . (en)
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  • In functional analysis, a Banach function algebra on a compact Hausdorff space X is unital subalgebra, A, of the commutative C*-algebra C(X) of all continuous, complex-valued functions from X, together with a norm on A that makes it a Banach algebra. A function algebra is said to vanish at a point p if f(p) = 0 for all . A function algebra separates points if for each distinct pair of points , there is a function such that . For every define for . Then is a homomorphism (character) on , non-zero if does not vanish at . Theorem: A Banach function algebra is semisimple (that is its Jacobson radical is equal to zero) and each commutative unital, semisimple Banach algebra is isomorphic (via the Gelfand transform) to a Banach function algebra on its character space (the space of algebra homomorphisms from A into the complex numbers given the relative weak* topology). If the norm on is the uniform norm (or sup-norm) on , then is calleda uniform algebra. Uniform algebras are an important special case of Banach function algebras. (en)
  • 数学の関数解析学の分野において、あるコンパクトハウスドルフ空間 X 上のバナッハ関数環（バナッハかんすうかん、英: Banach function algebra）とは、X を定義域とするすべての連続な複素数値関数からなる可換なC*-環の単位的部分環 A のことを言う。あるノルムが備えられることで、バナッハ環となる。 バナッハ関数環は、すべての に対して f(p) = 0 となるようなある点 p が存在するなら、その点 p において消失する（vanish）と言われる。関数環は、異なる各点のペア に対して となるような関数 を含むとき、各点を分離する（separate）と言われる。 各 に対して、 を定める。このとき は 上の非ゼロな準同型である。 定理 バナッハ関数環は半単純（すなわちそのジャコブソン根基が 0 に等しい）で、それぞれの可換な単位的半単純バナッハ環は（を通じて）その特性空間上のあるバナッハ関数環への同型である。ここで特性空間とは、A から複素数への環準同型で相対弱*位相が与えられるものからなる空間である。 上のノルムが 上の一様ノルム（あるいは上限ノルム）であるなら、 は一様環と呼ばれる。一様環はバナッハ関数環の特別な場合として重要なものである。 (ja)
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