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The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n ∈ N, there exists a function f with domain N such that f(n) ∈ A(n) for every n ∈ N.

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  • Axiom spočetného výběru
  • Abzählbares Auswahlaxiom
  • Axiom of countable choice
  • Axioma de elección numerable
  • Axiome du choix dénombrable
  • Assioma della scelta numerabile
  • 可算選択公理
  • 가산 선택 공리
  • Аксиома счётного выбора
  • 可数选择公理
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  • Axiom spočetného výběru (zkráceně ) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.
  • The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n ∈ N, there exists a function f with domain N such that f(n) ∈ A(n) for every n ∈ N.
  • L'assioma della scelta numerabile, denotato con ACω è un assioma di teoria degli insiemi, simile all'assioma della scelta di cui è una versione più debole. Esso afferma che ogni collezione numerabile di insiemi non vuoti deve possedere una , ovvero, se A è una funzione con dominio l'insieme dei numeri naturali N tale che A(n) è un insieme non vuoto per ogni n∈N, allora esiste una funzione f con dominio N tale che f(n)∈A(n). Paul Cohen ha dimostrato che l'assioma della scelta numerabile non è dimostrabile all'interno della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel senza l'assioma della scelta.
  • 可算選択公理(英: Axiom of countable choice)とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
  • Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств можно построить последовательность их представителей при этом множества могут быть бесконечными и даже несчётными.
  • 可数选择公理,指示为,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保羅·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论()中是不可证明的。 足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是的(等价的说:有可数无限的真子集)。对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数的柯西序列的集合)。 是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了(DC),而DC足够证明。但是要严格弱于DC(而DC严格弱于AC)。
  • Das abzählbare Auswahlaxiom, auch Axiom von der abzählbaren Auswahl genannt, (von englisch axiom of countable choice, daher kurz ACω, für die Bedeutung des Symbols ω siehe Ordinalzahlen) ist eine schwache Form des Auswahlaxioms. Es besagt, dass jede abzählbare Menge nichtleerer Mengen eine Auswahlfunktion besitzt. Das Axiom der abhängigen Auswahl (DC) Impliziert das abzählbare Auswahlaxiom, die Umkehrung gilt nicht.
  • El axioma de elección numerable o axioma de elección contable, denotado ACω, es un axioma de teoría de conjuntos que afirma que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección. Esto es, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de los números naturales) tal que A(n) es un conjunto no vacío para todo n ∈ N, entonces existe una función f con dominio N tal que f(n) ∈ A(n) para todo n ∈ N.
  • L'axiome du choix dénombrable, noté ACω, est un axiome de la théorie des ensembles qui stipule que tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides doit avoir une fonction de choix, c'est-à-dire que pour toute suite (A(n)) d'ensembles non vides, il existe une fonction f définie sur N (l'ensemble des entiers naturels) telle que f(n) ∈ A(n) pour tout n ∈ N.
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  • axiom of countable choice
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  • Axiom spočetného výběru (zkráceně ) je matematické tvrzení z oblasti teorie množin, které je slabší verzí axiomu výběru.
  • Das abzählbare Auswahlaxiom, auch Axiom von der abzählbaren Auswahl genannt, (von englisch axiom of countable choice, daher kurz ACω, für die Bedeutung des Symbols ω siehe Ordinalzahlen) ist eine schwache Form des Auswahlaxioms. Es besagt, dass jede abzählbare Menge nichtleerer Mengen eine Auswahlfunktion besitzt. Das Axiom der abhängigen Auswahl (DC) Impliziert das abzählbare Auswahlaxiom, die Umkehrung gilt nicht. ZF + ACω genügt, um nachzuweisen, dass die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar ist. Ebenso genügt es, um zu zeigen, dass jede unendliche Menge Dedekind-unendlich ist. ACω ist insbesondere bei der Ausarbeitung der Analysis nützlich, wo Ergebnisse oftmals davon abhängen, aus einer abzählbaren Menge von Teilmengen der reellen Zahlen auswählen zu können. Um beispielsweise zu zeigen, dass jeder Häufungspunkt einer Folge reeller Zahlen der Grenzwert einer Teilfolge ist, wird ACω verwendet, wobei man in diesem Fall sogar mit einer noch schwächeren Variante auskäme. Für allgemeine metrische Räume ist die Aussage aber äquivalent zu ACω. Weitere Beispiele werden von Herrlich sowie Howard und Rubin (s. Referenzen) genannt.
  • The axiom of countable choice or axiom of denumerable choice, denoted ACω, is an axiom of set theory that states that every countable collection of non-empty sets must have a choice function. That is, given a function A with domain N (where N denotes the set of natural numbers) such that A(n) is a non-empty set for every n ∈ N, there exists a function f with domain N such that f(n) ∈ A(n) for every n ∈ N.
  • L'axiome du choix dénombrable, noté ACω, est un axiome de la théorie des ensembles qui stipule que tout ensemble dénombrable d'ensembles non vides doit avoir une fonction de choix, c'est-à-dire que pour toute suite (A(n)) d'ensembles non vides, il existe une fonction f définie sur N (l'ensemble des entiers naturels) telle que f(n) ∈ A(n) pour tout n ∈ N. L'axiome du choix dénombrable (ACω) est strictement plus faible que l'axiome du choix dépendant (DC), qui à son tour est plus faible que l'axiome du choix (AC). Paul Cohen a montré que ACω n'est pas démontrable dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZF) sans l'axiome du choix. ACω est vrai dans le (en). ZF + ACω suffit pour prouver que la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. Elle suffit également pour prouver que tout ensemble infini est un (en) (de manière équivalente : possède un sous-ensemble infini dénombrable). ACω est particulièrement utile pour le développement de l'analyse, où de nombreux résultats dépendent de l'existence d'une fonction de choix pour une famille dénombrable d'ensembles de nombres réels. Par exemple, afin de prouver que tout point d'accumulation x d'un ensemble S⊆R est la limite d'une suite d'éléments de S\{x}, on a besoin (d'une forme faible) de l'axiome du choix dénombrable. Lorsqu'il est formulé pour les points d'accumulation d'espaces métriques arbitraires, l'énoncé devient équivalent à ACω.
  • El axioma de elección numerable o axioma de elección contable, denotado ACω, es un axioma de teoría de conjuntos que afirma que toda colección numerable de conjuntos no vacíos debe tener una función de elección. Esto es, dada una función A con dominio N (donde N denota el conjunto de los números naturales) tal que A(n) es un conjunto no vacío para todo n ∈ N, entonces existe una función f con dominio N tal que f(n) ∈ A(n) para todo n ∈ N. El axioma de elección numerable (ACω) es estrictamente más débil que el axioma de elección dependiente (DC), que a su vez es más débil que el axioma de elección (AC). Paul Cohen demostró que el ACω, no se puede probar en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección . ACω se cumple en el modelo de Solovay. ZF + ACω es suficiente para probar que la unión de una cantidad numerable de conjuntos numerables es numerable. También es suficiente para probar que todo conjunto infinito es infinito-Dedekind (equivalentemente, que tiene un subconjunto infinito numerable). ACω es particularmente útil para el desarrollo del análisis, donde muchos resultados dependen de tener una función de elección para una colección numerable de conjuntos de números reales. Por ejemplo, para probar que todo punto de acumulación x de un conjunto S ⊆ R es el límite de una sucesión de elementos de S \ {x}, se necesita una forma débil del axioma de elección numerable. Al formularse para puntos de acumulación de espacios métricos arbitrarios, esta afirmación es equivalente al ACω. Se pueden encontrar otras afirmaciones equivalentes a ACω en los trabajos de y . Un error habitual es pensar que la elección numerable tiene una naturaleza inductiva y se puede por tanto probar como un teorema (en ZF, o incluso en sistemas más débiles) por inducción. Sin embargo, no es el caso; este error es el resultado de confundir elección numerable con elección finita para un conjunto finito de tamaño n (para n arbitrario), y es este último resultado (que es un teorema elemental en combinatoria) el que se puede probar por inducción. Sin embargo, se puede probar que algunos conjuntos infinitos numerables de conjuntos no vacíos tienen una función de elección en ZF sin ninguna forma del axioma de elección. Estos incluyen Vω− {Ø} y el conjunto de intervalos abiertos propios y acotados de números naturales con extremos racionales.
  • L'assioma della scelta numerabile, denotato con ACω è un assioma di teoria degli insiemi, simile all'assioma della scelta di cui è una versione più debole. Esso afferma che ogni collezione numerabile di insiemi non vuoti deve possedere una , ovvero, se A è una funzione con dominio l'insieme dei numeri naturali N tale che A(n) è un insieme non vuoto per ogni n∈N, allora esiste una funzione f con dominio N tale che f(n)∈A(n). Paul Cohen ha dimostrato che l'assioma della scelta numerabile non è dimostrabile all'interno della teoria degli insiemi di Zermelo - Fraenkel senza l'assioma della scelta.
  • 可算選択公理(英: Axiom of countable choice)とは、公理的集合論における公理のひとつで、空でない集合からなる可算な集合族があったときに、それぞれの集合から一つずつ元を選び出して新しい集合を作ることができるという公理である。ACωとも表記される。名前の通り、選択公理を可算集合族に限定したものになっている。
  • Аксиома счётного выбора — аксиома теории множеств, обычно обозначаемая Аксиома утверждает, что для любого счётного семейства непустых множеств существует «функция выбора», извлекающая из каждого множества один и только один его элемент. Другими словами, для последовательности непустых множеств можно построить последовательность их представителей при этом множества могут быть бесконечными и даже несчётными.
  • 可数选择公理,指示为,是公理化集合论的类似于选择公理的一个公理。它声称非空集合的任何可数搜集都一定有选择函数。保羅·寇恩证明了ACω在Zermelo-Fraenkel集合论()中是不可证明的。 足够证明可数多可数集合的并集是可数的。它还足够证明所有无限集合都是的(等价的说:有可数无限的真子集)。对于开发数学分析特别有用,这里的很多结果依赖于实数的可数集合有选择函数(考虑为有理数的柯西序列的集合)。 是弱形式的选择公理(AC),它声称非空集合的“所有”搜集一定有一个选择函数。AC明确的蕴涵了(DC),而DC足够证明。但是要严格弱于DC(而DC严格弱于AC)。
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