In mathematics, the Abel–Plana formula is a summation formula discovered independently by Niels Henrik Abel and Giovanni Antonio Amedeo Plana. It states that It holds for functions f that are holomorphic in the region Re(z) ≥ 0, and satisfy a suitable growth condition in this region; for example it is enough to assume that |f| is bounded by C/|z|1+ε in this region for some constants C, ε > 0, though the formula also holds under much weaker bounds. . An example is provided by the Hurwitz zeta function, which holds for all , s ≠ 1.
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| - Abel-Plana-Summenformel (de)
- Abel–Plana formula (en)
- Fórmula de Abel-Plana (es)
- Abel-Planaren formula (eu)
- Formula di Abel-Plana (it)
- アベル・プラナの和公式 (ja)
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| - Die Abel-Plana-Summenformel ist eine Summenformel, die unabhängig voneinander von Niels Henrik Abel (1823) und Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820) entdeckt wurde. Sie besagt, dass ist.Sie gilt für Funktionen f, die in der Halbebene holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wächst; z. B. genügt die Annahme in diesem Gebiet für geeignete Konstanten C, ε > 0. hat sogar nachgewiesen, dass die Formel unter viel schwächeren Bedingungen gültig ist. Als Beispiel kann man die Hurwitzsche Zeta-Funktion einsetzen: Für alternierende Summen gab Abel noch folgende Variante an: (de)
- 数学において、アベル・プラナの和公式（英: Abel–Plana summation formula）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。 但し、がにおいて正則であり、について一様に であることを条件とする。更に であれば となる。 (ja)
- In mathematics, the Abel–Plana formula is a summation formula discovered independently by Niels Henrik Abel and Giovanni Antonio Amedeo Plana. It states that It holds for functions f that are holomorphic in the region Re(z) ≥ 0, and satisfy a suitable growth condition in this region; for example it is enough to assume that |f| is bounded by C/|z|1+ε in this region for some constants C, ε > 0, though the formula also holds under much weaker bounds. . An example is provided by the Hurwitz zeta function, which holds for all , s ≠ 1. (en)
- En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto: Esta fórmula es válida para funciones que sean holomorfas en la región del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que está acotada por en esta región para alguna constante , aunque la fórmula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. . (es)
- Matematikan, Abel-Planaren formula Abelek (1823) eta (1820) formula bereizia da, eta zenbait integralen arabera serie baten emaitza adierazten du. Zehazki: Formula hori baliagarria da plano konplexuko eskualdean diren eta eskualde horretan hazkunde-baldintza egokia betetzen duten funtzioetarako. Adibidez, nahikoa da onartzea eskualde horretan konstante baterako mugatuta dagoela, nahiz eta formulak balio izaten jarraitzen duen kota ez hain zorrotzetarako. .Adibidez, honela adieraz daiteke Hurwitzen zeta funtzioarekiko: formula baliagarria. Kasu partikularrean, dugu, eta honela idatz daiteke: (eu)
- In matematica, la formula di Abel-Plana è un tipo di sommatoria scoperta per vie indipendenti da Niels Henrik Abel nel 1823, e da Giovanni Antonio Amedeo Plana nel 1820. La formula è la seguente: Essa vale per una funzione f che è olomorfa nella regione Re(z) ≥ 0, e che soddisfa una opportuna condizione di crescita nella stessa regione; ad esempio, è sufficiente assumere che |f(z)| è limitata da C/|z|1+ε in questa regione per alcune costanti C, ε > 0, sebbene la formula continui a valere anche con limiti molto meno ristretti . Un esempio è fornito dalla Funzione zeta di Hurwitz: , (it)
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| - Die Abel-Plana-Summenformel ist eine Summenformel, die unabhängig voneinander von Niels Henrik Abel (1823) und Giovanni Antonio Amedeo Plana (1820) entdeckt wurde. Sie besagt, dass ist.Sie gilt für Funktionen f, die in der Halbebene holomorph sind und deren Betrag in geeigneter Weise wächst; z. B. genügt die Annahme in diesem Gebiet für geeignete Konstanten C, ε > 0. hat sogar nachgewiesen, dass die Formel unter viel schwächeren Bedingungen gültig ist. Als Beispiel kann man die Hurwitzsche Zeta-Funktion einsetzen: Für alternierende Summen gab Abel noch folgende Variante an: (de)
- In mathematics, the Abel–Plana formula is a summation formula discovered independently by Niels Henrik Abel and Giovanni Antonio Amedeo Plana. It states that It holds for functions f that are holomorphic in the region Re(z) ≥ 0, and satisfy a suitable growth condition in this region; for example it is enough to assume that |f| is bounded by C/|z|1+ε in this region for some constants C, ε > 0, though the formula also holds under much weaker bounds. . An example is provided by the Hurwitz zeta function, which holds for all , s ≠ 1. Abel also gave the following variation for alternating sums: (en)
- Matematikan, Abel-Planaren formula Abelek (1823) eta (1820) formula bereizia da, eta zenbait integralen arabera serie baten emaitza adierazten du. Zehazki: Formula hori baliagarria da plano konplexuko eskualdean diren eta eskualde horretan hazkunde-baldintza egokia betetzen duten funtzioetarako. Adibidez, nahikoa da onartzea eskualde horretan konstante baterako mugatuta dagoela, nahiz eta formulak balio izaten jarraitzen duen kota ez hain zorrotzetarako. .Adibidez, honela adieraz daiteke Hurwitzen zeta funtzioarekiko: formula baliagarria. Kasu partikularrean, dugu, eta honela idatz daiteke: formula horrek ere balio du bada. Abelek, halaber, formula hau garatu zuen serie txandakatuetarako: (eu)
- En matemáticas, la Fórmula de Abel-Plana es una fórmula descubierta independiente por Abel (1823) y Plana (1820) en la que se expresa resultado de una serie en función de ciertas integrales. En concreto: Esta fórmula es válida para funciones que sean holomorfas en la región del plano complejo que satisfagan una condición de crecimiento adecuado en esta región. Por ejemplo, es condición suficiente asumir que está acotada por en esta región para alguna constante , aunque la fórmula sigue siendo válida para cotas mucho menos estrictas. . Por ejemplo, se puede expresar a la función zeta de Hurwitz como fórmula válida . En el caso particular tenemos la función zeta de Riemann, que se puede escribir como: fórmula también válida . Abel también desarrolló la siguiente fórmula para series alternantes: (es)
- 数学において、アベル・プラナの和公式（英: Abel–Plana summation formula）は留数の性質を巧みに用いて級数の和を与える公式である。 但し、がにおいて正則であり、について一様に であることを条件とする。更に であれば となる。 (ja)
- In matematica, la formula di Abel-Plana è un tipo di sommatoria scoperta per vie indipendenti da Niels Henrik Abel nel 1823, e da Giovanni Antonio Amedeo Plana nel 1820. La formula è la seguente: Essa vale per una funzione f che è olomorfa nella regione Re(z) ≥ 0, e che soddisfa una opportuna condizione di crescita nella stessa regione; ad esempio, è sufficiente assumere che |f(z)| è limitata da C/|z|1+ε in questa regione per alcune costanti C, ε > 0, sebbene la formula continui a valere anche con limiti molto meno ristretti . Un esempio è fornito dalla Funzione zeta di Hurwitz: , valida per . Per , otteniamo la funzione zeta di Riemann, che possiamo scrivere nel modo seguente: valida anch'essa .Abel elaborò questa variante per somme alternate: Una somma alternata converge se e solo se converge la sequenza di somme parziali interna associata. (it)
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