The Roothaan equations are a representation of the Hartree–Fock equation in a non orthonormal basis set which can be of Gaussian-type or Slater-type. It applies to closed-shell molecules or atoms where all molecular orbitals or atomic orbitals, respectively, are doubly occupied. This is generally called Restricted Hartree–Fock theory. In contrast to the Hartree–Fock equations - which are integro-differential equations - the Roothaan–Hall equations have a matrix-form. Therefore, they can be solved using standard techniques.
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| - Roothaan-Hall-Gleichungen (de)
- Persamaan Roothaan (in)
- Equazioni di Roothaan (it)
- Équations de Roothaan (fr)
- ローターン方程式 (ja)
- Roothaan equations (en)
- Equações de Roothaan (pt)
- 罗特汉方程 (zh)
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| - ローターン方程式（ローターンほうていしき、ルーターン方程式、ロートハーン方程式、英: Roothaan equation）は、ハートリー-フォック方程式を、ガウス型やスレイター型の非直交基底で行列表示したものである。 すべての分子軌道や原子軌道が2つの電子で占められているような閉殻分子や原子で適用される。これは一般的に制限ハートリー–フォック（RHF）法と呼ばれる。 この方法はクレメンス・ローターンとが1951年にそれぞれ独立に開発し、しばしばローターン–ホール方程式と呼ばれる。ローターン方程式は、非線形であるため標準的な固有値問題ではないが、と似た形で書くことができる。 ここではフォック行列、は基底の展開係数、は基底関数の重なり行列、は軌道エネルギーの対角行列である。 直交化された基底の場合、重なり行列は恒等行列となる。 ハートリー–フォック方程式が微分方程式であるのに対し、ローターン–ホール方程式は連立方程式であるため、より簡便に計算機を使って解くことができる。 フォック行列は、電子間相互作用項を含むため、軌道の展開係数および軌道の占有数に依存する。そのためハートリー-フォック方程式同様、セルフコンシステントに解く必要がある。 (ja)
- Roothaan方程是Hartree-Fock分子轨道模型的扩展，有时也称为Hartree-Fock-Roothaan方程或简称HFR方程。与它的原型HF方程不同，HFR方程中，会将分子轨道展开成一组基函数的线性组和，这组基函数可以是原子轨道，也可以是以原子为中心的数学函数，如Slater函数，Gauss函数等。以这组基函数来求解HF方程，就可以得到Roothaan方程。Roothaan方程为HF方法在分子体系中的应用提供了一条道路。 设分子轨道可以展开为，其中为原子轨道或其他基函数，是系数.将该分子轨道代入HF方程中可得 其中的就是Fock算符。现在将上式两边左乘然后对全空间积分，可以得到常见的HFR方程 黑体的为Fock矩阵，其矩阵元为 黑体的为重叠矩阵，其矩阵元为 (zh)
- Die Roothaan-Hall-Gleichungen sind eine Variante der Hartree-Fock-Gleichungen in einer nicht-orthonormalen Basis. Sie werden im Rahmen der Quantenchemie zur Berechnung von Eigenschaften von Atomen und Molekülen benutzt. Es ist üblich, für die Aufstellung der Gleichungen Orbitale vom Gauß- oder Slater-Typ zu verwenden. Ihre Anwendung ist auf Atome mit einer geschlossenen Elektronenhülle beschränkt, das heißt, jedes Orbital ist mit zwei Elektronen vollständig besetzt. Man nennt diesen Fall auch Restricted Hartree-Fock Theorie. Hier sind (de)
- Les équations de Roothan sont une représentation des équations Hartree-Fock dans une base non orthonormale qui peut être de type gaussien ou de type Slater. Elles s'appliquent à des molécules ou atomes à orbitales fermées, c'est-à-dire dans lesquels toutes les orbitales moléculaires ou orbitales atomiques, respectivement, sont doublement occupées. Elles sont généralement appelées théorie Hartree-Fock restreinte. (fr)
- The Roothaan equations are a representation of the Hartree–Fock equation in a non orthonormal basis set which can be of Gaussian-type or Slater-type. It applies to closed-shell molecules or atoms where all molecular orbitals or atomic orbitals, respectively, are doubly occupied. This is generally called Restricted Hartree–Fock theory. In contrast to the Hartree–Fock equations - which are integro-differential equations - the Roothaan–Hall equations have a matrix-form. Therefore, they can be solved using standard techniques. (en)
- Persamaan Roothaan sering digunakan dalam perhitungan numerik untuk mendekati nilai yang diperoleh dari perhitungan menggunakan persamaan Hartree-Fock. Persamaan ini tersusun atas basis set yang tidak ortogonal satu sama lain, seperti: fungsi-fungsi dalam Gaussian atau Slater. Persamaan ini hanya berlaku untuk sistem tertutup di mana semua elektron dalam memiliki pasangan. Bentuk umum persamaan Roothaan dapat dituliskan sebagai berikut: (in)
- Le equazioni di Roothaan sono una rappresentazione dell'equazione di Hartree-Fock per una combinazione di base non ortonormale. Si applicano nella teoria Hartree-Fock ristretta, cioè al metodo di calcolo relativo a sistemi atomici o molecolari closed-shell (tutti orbitali doppiamente occupati). L'elaborazione matematica è stata sviluppata in modo indipendente da e nel 1951, per tale motivo queste equazioni sono anche chiamate equazioni di Roothaan-Hall. La forma generalizzata agli autovalori è la seguente: (it)
- As equações de Roothaan são uma representação do método de Hartree-Fock em um não ortonormal. Elas se aplicam para moléculas isoladas ou átomos onde toda orbita molecular ou orbita atômica, respectivamente, estão duplamente ocupadas. Isto é comumente chamada de teoria de Hartree-Fock restrita. Este método foi desenvolvido de forma independente pelos físicos Clemens C. J. Roothaan e George G. Hall em 1951, e é algumas vezes chamado de equações de Roothaan-Hall. As equações de Roothaan podem ser escritas da seguinte forma: (pt)
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| - Die Roothaan-Hall-Gleichungen sind eine Variante der Hartree-Fock-Gleichungen in einer nicht-orthonormalen Basis. Sie werden im Rahmen der Quantenchemie zur Berechnung von Eigenschaften von Atomen und Molekülen benutzt. Es ist üblich, für die Aufstellung der Gleichungen Orbitale vom Gauß- oder Slater-Typ zu verwenden. Ihre Anwendung ist auf Atome mit einer geschlossenen Elektronenhülle beschränkt, das heißt, jedes Orbital ist mit zwei Elektronen vollständig besetzt. Man nennt diesen Fall auch Restricted Hartree-Fock Theorie. Die Methode wurde 1951 unabhängig voneinander von Clemens C. J. Roothaan und George G. Hall entwickelt. Die Roothaan-Hall Gleichungen werden in Form eines verallgemeinerten Eigenwertproblems geschrieben: Hier sind
* F die Fock-Matrix (die auf Grund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung von C abhängt)
* C die Matrix der LCAO-Koeffizienten
* S die Überlappmatrix der nicht-orthogonalen Basisfunktionen
* die (per Konvention diagonale) Matrix der Orbitalenergien. Im Fall eines orthogonalen Basissatzes reduziert sich die Matrix S auf die Einheitsmatrix. Da die Fock-Matrix von den LCAO-Koeffizienten abhängt, erfolgt die Lösung der Roothan-Hall-Gleichungen im Allgemeinen iterativ (Self-Consistent-Field-Methode). (de)
- The Roothaan equations are a representation of the Hartree–Fock equation in a non orthonormal basis set which can be of Gaussian-type or Slater-type. It applies to closed-shell molecules or atoms where all molecular orbitals or atomic orbitals, respectively, are doubly occupied. This is generally called Restricted Hartree–Fock theory. The method was developed independently by Clemens C. J. Roothaan and George G. Hall in 1951, and is thus sometimes called the Roothaan-Hall equations. The Roothaan equations can be written in a form resembling generalized eigenvalue problem, although they are not a standard eigenvalue problem because they are nonlinear: where F is the Fock matrix (which depends on the coefficients C due to electron-electron interactions), C is a matrix of coefficients, S is the overlap matrix of the basis functions, and is the (diagonal, by convention) matrix of orbital energies. In the case of an orthonormalised basis set the overlap matrix, S, reduces to the identity matrix. These equations are essentially a special case of a Galerkin method applied to the Hartree–Fock equation using a particular basis set. In contrast to the Hartree–Fock equations - which are integro-differential equations - the Roothaan–Hall equations have a matrix-form. Therefore, they can be solved using standard techniques. (en)
- Persamaan Roothaan sering digunakan dalam perhitungan numerik untuk mendekati nilai yang diperoleh dari perhitungan menggunakan persamaan Hartree-Fock. Persamaan ini tersusun atas basis set yang tidak ortogonal satu sama lain, seperti: fungsi-fungsi dalam Gaussian atau Slater. Persamaan ini hanya berlaku untuk sistem tertutup di mana semua elektron dalam memiliki pasangan. Bentuk umum persamaan Roothaan dapat dituliskan sebagai berikut: di mana F adalah matriks Fock, C adalah koefisien, S menyatakan hubungan antar matriks yang tersusun dari basis set, dan adalah energi orbital yang disusun dalam matriks diagonal. Apabila tiap basis set terhubung secara orthonormal, S akan berbentuk matriks identitas. (in)
- Les équations de Roothan sont une représentation des équations Hartree-Fock dans une base non orthonormale qui peut être de type gaussien ou de type Slater. Elles s'appliquent à des molécules ou atomes à orbitales fermées, c'est-à-dire dans lesquels toutes les orbitales moléculaires ou orbitales atomiques, respectivement, sont doublement occupées. Elles sont généralement appelées théorie Hartree-Fock restreinte. La méthode fut développée de manière indépendante par Clemens Roothaan et George Hall en 1951, et est pour cette raison parfois appelée équations de Roothaan-Hall. Les équations de Roothaan peuvent être écrites sous la forme d'un problème aux valeurs propres généralisé : où F est la matrice de Fock, C une matrice de coefficients, S la des fonctions de base, et est la matrice (diagonale, par convention) des énergies des orbitales. Dans le cas d'une base orthonormalisée, la matrice de recouvrement S se réduit à une matrice identité. (fr)
- Le equazioni di Roothaan sono una rappresentazione dell'equazione di Hartree-Fock per una combinazione di base non ortonormale. Si applicano nella teoria Hartree-Fock ristretta, cioè al metodo di calcolo relativo a sistemi atomici o molecolari closed-shell (tutti orbitali doppiamente occupati). L'elaborazione matematica è stata sviluppata in modo indipendente da e nel 1951, per tale motivo queste equazioni sono anche chiamate equazioni di Roothaan-Hall. La forma generalizzata agli autovalori è la seguente: dove è la matrice di Fock, una matrice dei coefficienti è la matrice di sovrapposizione delle funzioni d'onda di base e è la matrice dell'energia degli orbitali (diagonale, per convenzione). Nel caso in cui il set di orbitali di base sia ortonormalizzato la matrice di sovrapposizione diviene una matrice identità. (it)
- ローターン方程式（ローターンほうていしき、ルーターン方程式、ロートハーン方程式、英: Roothaan equation）は、ハートリー-フォック方程式を、ガウス型やスレイター型の非直交基底で行列表示したものである。 すべての分子軌道や原子軌道が2つの電子で占められているような閉殻分子や原子で適用される。これは一般的に制限ハートリー–フォック（RHF）法と呼ばれる。 この方法はクレメンス・ローターンとが1951年にそれぞれ独立に開発し、しばしばローターン–ホール方程式と呼ばれる。ローターン方程式は、非線形であるため標準的な固有値問題ではないが、と似た形で書くことができる。 ここではフォック行列、は基底の展開係数、は基底関数の重なり行列、は軌道エネルギーの対角行列である。 直交化された基底の場合、重なり行列は恒等行列となる。 ハートリー–フォック方程式が微分方程式であるのに対し、ローターン–ホール方程式は連立方程式であるため、より簡便に計算機を使って解くことができる。 フォック行列は、電子間相互作用項を含むため、軌道の展開係数および軌道の占有数に依存する。そのためハートリー-フォック方程式同様、セルフコンシステントに解く必要がある。 (ja)
- As equações de Roothaan são uma representação do método de Hartree-Fock em um não ortonormal. Elas se aplicam para moléculas isoladas ou átomos onde toda orbita molecular ou orbita atômica, respectivamente, estão duplamente ocupadas. Isto é comumente chamada de teoria de Hartree-Fock restrita. Este método foi desenvolvido de forma independente pelos físicos Clemens C. J. Roothaan e George G. Hall em 1951, e é algumas vezes chamado de equações de Roothaan-Hall. As equações de Roothaan podem ser escritas da seguinte forma: onde F também é chamado de matriz de Fock (que depende dos coeficientes C por causa das interações entre elétrons), C é uma matriz de coeficientes, S é uma matriz de sobreposição da função de base e é a matriz das orbitais das energias. (pt)
- Roothaan方程是Hartree-Fock分子轨道模型的扩展，有时也称为Hartree-Fock-Roothaan方程或简称HFR方程。与它的原型HF方程不同，HFR方程中，会将分子轨道展开成一组基函数的线性组和，这组基函数可以是原子轨道，也可以是以原子为中心的数学函数，如Slater函数，Gauss函数等。以这组基函数来求解HF方程，就可以得到Roothaan方程。Roothaan方程为HF方法在分子体系中的应用提供了一条道路。 设分子轨道可以展开为，其中为原子轨道或其他基函数，是系数.将该分子轨道代入HF方程中可得 其中的就是Fock算符。现在将上式两边左乘然后对全空间积分，可以得到常见的HFR方程 黑体的为Fock矩阵，其矩阵元为 黑体的为重叠矩阵，其矩阵元为 (zh)
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