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| - في الرياضيات وبالتحديد في مجال النظرية الجبرية للأعداد، الحسابيات النمطية (بالإنجليزية: modular arithmetics) هي مجموعة من الطرق التي تتيح حل بعض المسائل الخاصة بالأعداد الصحيحة و من ضمنها الطبيعية. وهي ترتكز على دراسة الباقي الحاصل من القسمة الإقليدية. ترتكز الحسابيات النمطية أساسا على النظر إلى باقي قسمة الأعداد الطبيعية على عدد طبيعي معين ثابت ما، بدلا من النظر إلى هذه الأعداد ذاتها. يظهر هذا جليا في مثال حسابيات المنبه، الذي يوافق حالة n=12 : العقرب الصغير يوجد في نفس الموضع في لحظتين تفصل بينهما اثنتا عشرة ساعة، وبهذا تصير الساعة 1 كالساعة 13. (ar)
- Na rozdíl od běžné aritmetiky je modulární aritmetika definována na nějaké konečné množině ℤn. Tato množina vznikne ze ℤ tak, že jsou všechna čísla se stejným zbytkem po dělení číslem (zbytková třída) brána jako kongruentní a ztotožněna s jediným reprezentantem. Taková množina se pak nazývá množina zbytkových tříd. (cs)
- Modula aritmetiko estas sistemo de aritmetiko por entjeroj, kie nombroj "turniĝas reen" post kiam ili atingas certan valoron — la modulon. Modulan aritmetikon prezentis Carl Friedrich Gauss en lia libro Disquisitiones Arithmeticae (publikigita en 1801). Ekzemplo por modula aritmetiko estas kutima horloĝo: la aritmetiko de horoj sur la horloĝo. Se la tempo estas 7 horoj do post 8 horoj estas 15 horoj (kiel en kutima aldono). Se la tempo estas 7 horoj do post 19 horoj estas (7+19)=26 horoj (laŭ en kutima aldono), sed horloĝo uzas modulon 24, do estas 26 mod 24=2 horoj (de la sekva diurno). (eo)
- En matemática, la aritmética modular es un sistema aritmético para clases de equivalencia de números enteros llamadas clases de congruencia. La aritmética modular fue introducida en 1801 por Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones Arithmeticae. Algunas veces se le llama, sugerentemente, aritmética del reloj, ya que los números «dan la vuelta» tras alcanzar cierto valor llamado módulo. (es)
- 수론에서 모듈러 산술(영어: modular arithmetic) 또는 합동 산술(合同算術)은 정수의 합과 곱을 어떤 주어진 수의 나머지에 대하여 정의하는 방법이다. 정수환의 몫환 의 환 구조로 생각할 수 있다. (ko)
- 模算數（英語：Modular arithmetic）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。 模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到7 + 8 = 15，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一，為模12的模算數系統。依照上述的定義，12和12本身同餘，也和0同餘，因此12:00的時間也可以稱為是0:00，因為模12時，12和0同餘。 (zh)
- En matemàtiques, i més concretament en teoria de nombres algebraics, l'aritmètica modular és un conjunt de mètodes que permeten la resolució de problemes sobre els nombres enters. Aquests mètodes sorgeixen de l'estudi del residu obtingut per una divisió. La idea de base de l'aritmètica modular és de treballar no sobre els nombres mateixos, sinó sobre els residus de la seva divisió per alguna cosa. Quan es fa, per exemple, la prova del nou, s'efectua una operació d'aritmètica modular sense saber-ho: el divisor és el valor 9. (ca)
- Στα μαθηματικά, η αριθμητική υπολοίπων είναι ένα σύστημα αριθμητικής για ακέραιους αριθμούς, όπου οι αριθμοί «αναδιπλώνονται» έως την επίτευξη μιας ορισμένης τιμής — συντελεστή αναδίπλωσης (αναδιπλωτής: modulo πληθυντικός moduli). Η σύγχρονη προσέγγιση για την αριθμητική υπολοίπων αναπτύχθηκε από τον Καρλ Φρίντριχ Γκάους, στο βιβλίο του , που δημοσιεύθηκε το 1801. (el)
- Aritmetika modularra, matematikaren esparruan, zenbaki osoko kongruentzia klaseetarako sistema aritmetikoa da. 1801ean Carl Friendrich Gaussek garatu zuen eta Disquisitiones Arithmeticae izeneko liburuan argitara eman zuen. (eu)
- In mathematics, modular arithmetic is a system of arithmetic for integers, where numbers "wrap around" when reaching a certain value, called the modulus. The modern approach to modular arithmetic was developed by Carl Friedrich Gauss in his book Disquisitiones Arithmeticae, published in 1801. (en)
- Dalam matematika dan khususnya pada teori bilangan aljabar, aritmetika modular adalah metode aritmetika untuk menyelesaikan permasalahan mengenai bilangan bulat. Ide dasar dari aritmetika modular adalah bekerja dengan sisa hasil pembagian bilangan, bukan dengan bilangan itu sendiri. Salah satu contoh dari aritmetika modular ada pada sistem 12-jam, di mana hari dibagi menjadi dua periode 12-jam. Jika sekarang jarum jam menunjukan pukul 7:00, maka 8 jam kemudian akan menunjukan pukul 3:00. Penambahan sederhana akan menghasilkan 7 + 8 = 15. Namun karena jam "berulang" setiap 12 jam, angka 15 "sama dengan" angka 3; ini adalah contoh aritmetika modulo 12. (in)
- En mathématiques et plus précisément en théorie algébrique des nombres, l’arithmétique modulaire est un ensemble de méthodes permettant la résolution de problèmes sur les nombres entiers. Ces méthodes dérivent de l’étude du reste obtenu par une division euclidienne. L'idée de base de l'arithmétique modulaire est de travailler non sur les nombres eux-mêmes, mais sur les restes de leur division par quelque chose. Quand on fait par exemple une preuve par neuf à l'école primaire, on effectue un peu d'arithmétique modulaire sans le savoir : le diviseur est alors le nombre 9. (fr)
- 数学、特に初等代数的整数論における合同算術（ごうどうさんじゅつ、英: modular arithmetic; モジュラ計算）は、（剰余を持つ除法の意味で））自然数あるいは整数をある特定の自然数で割ったときの剰余に注目して、自然数あるいは整数に関する問題を解決する一連の方法の総称である。合同算術の起源は、一般にはガウスが著作『Disquisitiones Arithmeticae』を出版する1801年にまで遡れるものとされる。ガウスによる合同を用いたこの新しい手法は、有名な平方剰余の相互法則を明らかにし、より抽象的な観点からウィルソンの定理などの定理の記述の簡素化に一役を買った。ガウスの研究は自然数を扱う整数論のみならず、代数学や幾何学といった数学のほかの主要な分野にまで影響を与えるものであった。 この手法の基本は、「数それ自体」ではなくそれを別な数で割った（商がいくらになるかということは無視して）「剰余だけ」を考えるということにある。こういった考え方は何か特殊で高尚なものというようなものではなく、実際に日常生活においても時刻や角度といったものの計算や単位の換算などで、ちょっとした合同算術が特別な知識無くあるいは無意識に行われているのである。 (ja)
- L'aritmetica modulare (a volte detta aritmetica dell'orologio poiché su questo principio si basa il calcolo delle ore a cicli di 12 o 24) rappresenta un importante ramo della matematica. Trova applicazioni nella crittografia, nella teoria dei numeri (in particolare nella ricerca dei numeri primi) ed è alla base di molte delle più comuni operazioni aritmetiche e algebriche. L'aritmetica modulare e la notazione usuale delle congruenze vennero formalmente introdotte da Carl Friedrich Gauss nel suo trattato Disquisitiones Arithmeticae, pubblicato nel 1801. (it)
- Modulair rekenen, of rekenen modulo een getal, is een vorm van geheeltallig rekenen met een getal dat als bovengrens fungeert, de modulus. Een typisch voorbeeld is de klok waarop modulo 12, of modulo 24, gerekend wordt. Als het 6 uur is, dan staat de klok 8 uur later niet op 14, maar op 14 − 12 = 2 uur. De verzameling getallen waarmee modulo gerekend wordt, wordt aangeduid als , naar het symbool dat de verzameling gehele getallen aanduidt. (nl)
- Arytmetyka modularna, arytmetyka reszt – system liczb całkowitych, w którym liczby „zawijają się” po osiągnięciu pewnej wartości nazywanej modułem, często określanej terminem modulo (skracane mod). Pierwszy pełny wykład arytmetyki reszt przedstawił Carl Friedrich Gauss w Disquisitiones Arithmeticae („Badania arytmetyczne”, 1801). (pl)
- Em matemática, aritmética modular (chamada também de aritmética do relógio) é um sistema de aritmética para inteiros, onde os números "retrocedem" quando atingem um certo valor, o módulo. O matemático suíço Euler foi o pioneiro na abordagem de congruência por volta de 1750, quando ele explicitamente introduziu a ideia de congruência módulo um número natural N. A abordagem moderna da aritmética modular foi desenvolvida por Carl Friedrich Gauss em seu livro Disquisitiones Arithmeticae, publicado em 1801. (pt)
- Modulär aritmetik, moduloräkning eller kongruensräkning är ett område inom aritmetiken, där man räknar med ett begränsat antal tal. Andra tal räknas som jämlika ("kongruenta") med ett av dessa, nämligen med det av talen som blir rest vid division med antalet tal man räknar med. Den modulära aritmetiken används bland annat inom kryptologin. har samma rest vid division med n . (sv)
- Модульна арифметика — це система арифметики цілих чисел,в якій числа «обертаються навколо» деякого значення — модуля. Найбільш відомий приклад модульної арифметики — це запис часу в 12-годинному форматі, в якому день ділиться на два 12-годинних періоди. Якщо зараз 9:00, то через 4 години на годиннику буде 1:00. Якщо просто додати, то 9 + 4 = 13, але це неправильна відповідь, тому що на годиннику по досягненні стрілки 12-ї години, замість 12:00 ми отримуємо 00:00. Тому правильна відповідь, що на годиннику буде 1:00. У сучасному вигляді модульна арифметика була розвинута Гаусом в (1801). (uk)
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