| rdfs:comment
| - フェルマー＝カタラン予想（フェルマー＝カタランよそう、英: Fermat–Catalan conjecture）とはフェルマーの最終定理とカタラン予想を結びつけて提起された数論の予想である。フェルマー＝カタラン予想は「方程式 と不等式 を同時に満たす自然数の組 (a, b, c, m, n, k) であって、(a, b, c)が互いに素で、(am, bn, ck)の値が異なるものは、有限個しか存在しない」という命題である。不等式から m, n, k は全て 2 以上で、うち少なくとも2つは 2 より大きいものに限られることが分かる。 m, n, k のうち2つが 2 である場合は上の不等式を満たさないためフェルマー＝カタラン予想の対象外であるが、実際に解の無限系列が知られている。特にm = n = k = 2 の場合は a, b, c はピタゴラス数であって、方程式を満たす組 (a, b, c) は無数に存在することはよく知られる。 また m > 3 で m = n = k の場合は (a, b, c) はフェルマーの最終定理の方程式（のうち指数が 4 以上のもの）を満たす自然数解であるが、そのような (a, b, c) は存在しないことがワイルズによって証明されている。 (ja)
- Inom talteori är Fermat–Catalans förmodan en generalisering av Fermats stora sats och Catalans förmodan. säger att ekvationen endast har ändligt många lösningar med distinkta tripletter av värden där , , är positiva relativt prima heltal och , , är positiva heltal som tillfredsställer . Ojämlikheten mellan , och är en nödvändig del av antagandet. Utan den skulle det finnas oändligt många lösningar. (sv)
- A conjectura de Fermat-Catalan é que tem apenas um número finito de soluções quando são inteiros coprimos positivos e são inteiros positivos que satisfazem . Existem atualmente apenas 10 soluções conhecidas. (pt)
- Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння має не більше ніж скінченне число розв'язків з різними трійками значень , де — взаємно прості натуральні числа, а — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню (uk)
- La conjectura de Fermat–Catalan en la teoria de nombres, combina idees del darrer teorema de Fermat i de la conjectura de Catalan, d'on prové el seu nom. La conjectura postula que l'equació té un nombre finit de solucions (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c són nombres enters positius coprimers i m, n, k són enters positius que compleixen A data de 2008, es coneixien les segúents solucions de: Es coneix mitjançant el , que per a qualsevol elecció fixada d'enters positius m, n i k que compleixin, existeix únicament un nombre finit de tuples de nombres enters coprimers (a, b, c) que resolen. (ca)
- Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie. Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endliche viele Lösungen gibt mit , wobei koprim zueinander sind und . Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der gleich ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung . Streng genommen liefern unendlich viele eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen. (de)
- In number theory, the Fermat–Catalan conjecture is a generalization of Fermat's Last Theorem and of Catalan's conjecture, hence the name. The conjecture states that the equation has only finitely many solutions (a,b,c,m,n,k) with distinct triplets of values (am, bn, ck) where a, b, c are positive coprime integers and m, n, k are positive integers satisfying (en)
- En teoría de números, la conjetura de Fermat–Catalan combina ideas del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan, de ahí el nombre. La conjetura postula que la ecuación tiene un número finito de soluciones (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c son números enteros positivos coprimos y m, n, k son enteros positivos que satisfacen A fecha de 2008, se conocen las siguientes soluciones de (1): La conjetura abc implica la conjetura de Fermat–Catalan. (es)
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation, elle est parfois simplement appélée conjecture de catalan. a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues : La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan. (fr)
- In de getaltheorie combineert het vermoeden van Fermat-Catalan de ideeën van de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Catalan, vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking slechts eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat , met verschillende waardes van het co-priem tripel . In 2014 waren er 10 bekend: Als het ABC-vermoeden vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar. (nl)
- Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение имеет не более чем конечное число решений с различными тройками значений , где — натуральные взаимно простые числа, а — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения: Решение — это единственное решение, в котором одно из равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году . Все решения были найдены для троек показателей равных . abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана. (ru)
|
| has abstract
| - La conjectura de Fermat–Catalan en la teoria de nombres, combina idees del darrer teorema de Fermat i de la conjectura de Catalan, d'on prové el seu nom. La conjectura postula que l'equació té un nombre finit de solucions (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c són nombres enters positius coprimers i m, n, k són enters positius que compleixen A data de 2008, es coneixien les segúents solucions de: La primera d'elles (1m+23=3²) és l'única solució on una de les variables a, b o c és 1; aquesta és la conjectura de Catalan, demostrada l'any 2002 per . Tècnicament, aquest cas produeix un nombre infinit de solucions de (donat que es pot escollir qualsevol m per a m>6), perà als efectes de l'enunciat de la conjectura de Fermat-Catalan es comptabilitzaran totes aquestes solucions com una de sola. Es coneix mitjançant el , que per a qualsevol elecció fixada d'enters positius m, n i k que compleixin, existeix únicament un nombre finit de tuples de nombres enters coprimers (a, b, c) que resolen. La implica la conjectura de Fermat–Catalan. (ca)
- Die Fermat-Catalan-Vermutung ist eine offene Vermutung der Zahlentheorie. Sie hat ihren Namen daher, dass ihre Formulierung Ideen der Fermat-Vermutung und Catalanschen Vermutung umfasst. Die Vermutung besagt, dass es nur endliche viele Lösungen gibt mit , wobei koprim zueinander sind und . Letztere Bedingung schließt die pythagoräischen Tripel ( mit unendlich vielen Lösungen) aus und einige weitere Fälle mit unendlich vielen Lösungen. Die Ungleichung wird genau erfüllt von und Permutationen, jeweils mit unendlich vielen Lösungen, und von (mit Permutationen), mit jeweils endlich vielen Lösungen. Der Fall der inzwischen bewiesenen Catalan-Vermutung ist der, bei dem eines der gleich ist. Die einzige Lösung ist nach der Vermutung . Streng genommen liefern unendlich viele eine Lösung, doch wird dies ebenfalls als trivialer Sonderfall ausgeschlossen. (de)
- En teoría de números, la conjetura de Fermat–Catalan combina ideas del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan, de ahí el nombre. La conjetura postula que la ecuación tiene un número finito de soluciones (a,b,c,m,n,k); aquí a, b, c son números enteros positivos coprimos y m, n, k son enteros positivos que satisfacen A fecha de 2008, se conocen las siguientes soluciones de (1): La primera de ellas (1m+23=32) es la única solución donde una de las variables a, b o c es 1; esta es la conjetura de Catalan, demostrada en 2002 por Preda Mihăilescu. Técnicamente, este caso produce un número infinito de soluciones de (1) (puesto que se puede escoger cualquier m para m>6), pero a los efectos de enunciado de la conjetura de Fermat-Catalan se contabilizarán todas esas soluciones como una sola. Se conoce, mediante el teorema de Faltings, que para cualquier elección fijada de enteros positivos m, n y k que satisfacen (2), existe únicamente un número finito de tuplas de números enteros coprimos (a, b, c) que resuelven (1), pero claro, la conjetura de Fermat–Catalan completa es una afirmación mucho más fuerte. La conjetura abc implica la conjetura de Fermat–Catalan. (es)
- In number theory, the Fermat–Catalan conjecture is a generalization of Fermat's Last Theorem and of Catalan's conjecture, hence the name. The conjecture states that the equation has only finitely many solutions (a,b,c,m,n,k) with distinct triplets of values (am, bn, ck) where a, b, c are positive coprime integers and m, n, k are positive integers satisfying The inequality on m, n, and k is a necessary part of the conjecture. Without the inequality there would be infinitely many solutions, for instance with k = 1 (for any a, b, m, and n and with c = am + bn) or with m, n, and k all equal to two (for the infinitely many known Pythagorean triples). (en)
- En théorie des nombres, la conjecture de Fermat–Catalan combine les idées du dernier théorème de Fermat et la conjecture de Catalan, d'où le nom. La conjecture indique que l'équation, elle est parfois simplement appélée conjecture de catalan. a seulement un nombre fini de solutions (a,b,c,m,n,k) avec des triplets distincts de valeurs (am, bn, ck); ici a, b, c sont des entiers premiers entre eux positifs et m, n, k sont des entiers positifs satisfaisant Cette restriction sur les exposants a pour effet d'empêcher une infinité connue de solutions de (1), dans lesquelles deux des exposants sont 2 (tels que les triplets pythagoriciens). En 2015, les dix solutions suivantes à (1) sont connues : La première (1m+23=32) est la seule solution où l'un de a, b ou c vaut 1, selon la conjecture de Catalan, prouvée en 2002 par Preda Mihăilescu. Alors que ce cas conduit à une infinité de solutions de (1) (puisque nous pouvons choisir n'importe quel m pour m > 6), ces solutions ne donnent qu'un seul triplet de valeurs (am, bn, ck). On sait par le théorème de Darmon-Granville, qui utilise le théorème de Faltings, que pour tout choix d'entiers fixés positifs m, n et k satisfaisant (2), il n'existe qu'un nombre fini de triplets (a, b, c) solutions de (1); mais la conjecture de Fermat-Catalan est une affirmation beaucoup plus forte, puisqu'elle permet une infinité d'ensembles d'exposants m, n et k. La conjecture abc implique la conjecture de Fermat-Catalan. La conjecture de Beal est vraie si et seulement si toutes les solutions de Fermat-Catalan utilisent une fois 2 comme exposant. (fr)
- In de getaltheorie combineert het vermoeden van Fermat-Catalan de ideeën van de laatste stelling van Fermat en het vermoeden van Catalan, vandaar de naam. Het vermoeden zegt dat de vergelijking slechts eindig veel oplossingen heeft waarvoor geldt dat , met verschillende waardes van het co-priem tripel . In 2014 waren er 10 bekend: De eerste van deze (1m+23=32) is de enige oplossing waarbij een van a, b of c gelijk aan 1 is, zo zegt het Vermoeden van Catalan, dat in 2002 bewezen is door Preda Mihăilescu. Hoewel deze vergelijking oneindig veel oplossingen geeft zolang m maar groter is dan 6. Dit is echter maar een oplossing aangezien dit geen verschillende waardes am, bn en ck zijn Als het ABC-vermoeden vermoeden waar is, is dit vermoeden ook waar. (nl)
- フェルマー＝カタラン予想（フェルマー＝カタランよそう、英: Fermat–Catalan conjecture）とはフェルマーの最終定理とカタラン予想を結びつけて提起された数論の予想である。フェルマー＝カタラン予想は「方程式 と不等式 を同時に満たす自然数の組 (a, b, c, m, n, k) であって、(a, b, c)が互いに素で、(am, bn, ck)の値が異なるものは、有限個しか存在しない」という命題である。不等式から m, n, k は全て 2 以上で、うち少なくとも2つは 2 より大きいものに限られることが分かる。 m, n, k のうち2つが 2 である場合は上の不等式を満たさないためフェルマー＝カタラン予想の対象外であるが、実際に解の無限系列が知られている。特にm = n = k = 2 の場合は a, b, c はピタゴラス数であって、方程式を満たす組 (a, b, c) は無数に存在することはよく知られる。 また m > 3 で m = n = k の場合は (a, b, c) はフェルマーの最終定理の方程式（のうち指数が 4 以上のもの）を満たす自然数解であるが、そのような (a, b, c) は存在しないことがワイルズによって証明されている。 (ja)
- Inom talteori är Fermat–Catalans förmodan en generalisering av Fermats stora sats och Catalans förmodan. säger att ekvationen endast har ändligt många lösningar med distinkta tripletter av värden där , , är positiva relativt prima heltal och , , är positiva heltal som tillfredsställer . Ojämlikheten mellan , och är en nödvändig del av antagandet. Utan den skulle det finnas oändligt många lösningar. (sv)
- Гипотеза Ферма — Каталана — теоретико-числовая гипотеза, обобщающая Великую теорему Ферма и гипотезу Каталана. Она утверждает, что уравнение имеет не более чем конечное число решений с различными тройками значений , где — натуральные взаимно простые числа, а — натуральные числа, удовлетворяющие соотношению На 2014-й год известно всего 10 решений этого уравнения: Решение — это единственное решение, в котором одно из равно 1. В этом состоит гипотеза Каталана, доказанная в 2006-м году . Все решения были найдены для троек показателей равных . По теореме Фальтингса для любых фиксированных натуральных , удовлетворяющих неравенству , существует не более чем конечное число троек , удовлетворяющих уравнению , но гипотеза Ферма — Каталана строже, поскольку утверждает конечность числа решений для бесконечного множества троек . abc-гипотеза влечет гипотезу Ферма — Каталана. Гипотеза Била состоит в том, что все решения уравнения Ферма — Каталана имеют один из показателей равный 2. (ru)
- A conjectura de Fermat-Catalan é que tem apenas um número finito de soluções quando são inteiros coprimos positivos e são inteiros positivos que satisfazem . Existem atualmente apenas 10 soluções conhecidas. (pt)
- Гіпотеза Ферма Каталана — теоретико-числова гіпотеза, яка узагальнює велику теорему Ферма і гіпотезу Каталана. Вона стверджує, що рівняння має не більше ніж скінченне число розв'язків з різними трійками значень , де — взаємно прості натуральні числа, а — натуральні числа, що задовольняють співвідношенню (uk)
|
![[RDF Data]](/fct/images/sw-rdf-blue.png)
![[cxml]](/fct/images/cxml_doc.png)
![[csv]](/fct/images/csv_doc.png)
![[text]](/fct/images/ntriples_doc.png)
![[turtle]](/fct/images/n3turtle_doc.png)
![[ld+json]](/fct/images/jsonld_doc.png)
![[rdf+json]](/fct/images/json_doc.png)
![[rdf+xml]](/fct/images/xml_doc.png)
![[atom+xml]](/fct/images/atom_doc.png)
![[html]](/fct/images/html_doc.png)