In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy. The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott.
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| - Scott's trick (en)
- Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (de)
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| - Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung) ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann. Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse die Teilklasse,wenn die ist. Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen. Mit ist eine Menge, deren Rang höchstens beträgt. erfüllt. (de)
- In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy. The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott. (en)
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| - Das Zurückschneiden durch Rangbetrachtung (oder Trunkierung durch Rangbetrachtung oder Lokalisierung durch Rangbetrachtung) ist eine in der Mengenlehre verwendete und von Tarski und Scott 1955 vorgeschlagene Methode, wie man das Studieren einer Klasse auf das Studieren ihrer Teilmengen beschränken kann. Um dies zu erreichen, definiert man für eine Klasse die Teilklasse,wenn die ist. Die Existenz der Rangfunktion wird entweder durch spezielles Axiom gesichert oder mit Hilfe des Fundierungs- und des Ersetzungaxioms bewiesen. Mit ist eine Menge, deren Rang höchstens beträgt. Mittels Zurückschneiden durch Rangbetrachtung lassen sich folgende Sätze beweisen:
* Für jede Relation existiert eine vorgängerkleine Teilrelation mit demselben Definitionsbereich.
* Für jede Relation existiert eine Teilrelation mit demselben Wertebereich, deren inverse Relation vorgängerklein ist.
* Wenn jede nicht leere Menge ein -kleinstes Element hat, dann hat auch jede nicht leere Klasse ein -kleinstes Element und für jede mengentheoretische Formel gilt: (Verallgemeinerung des Induktionsprinzipes).
* Für jede Menge und endlich viele Relationen existiert eine für jedes fast -abgeschlossene Menge .
* Für jede Äquivalenzrelation existiert eine Funktion , die erfüllt. (de)
- In set theory, Scott's trick is a method for giving a definition of equivalence classes for equivalence relations on a proper class (Jech 2003:65) by referring to levels of the cumulative hierarchy. The method relies on the axiom of regularity but not on the axiom of choice. It can be used to define representatives for ordinal numbers in ZF, Zermelo–Fraenkel set theory without the axiom of choice (Forster 2003:182). The method was introduced by Dana Scott. Beyond the problem of defining set representatives for ordinal numbers, Scott's trick can be used to obtain representatives for cardinal numbers and more generally for isomorphism types, for example, order types of linearly ordered sets (Jech 2003:65). It is credited to be indispensable (even in the presence of the axiom of choice) when taking ultrapowers of proper classes in model theory. (Kanamori 1994:47) (en)
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