In field theory, the primitive element theorem is a result characterizing the finite degree field extensions that can be generated by a single element. Such a generating element is called a primitive element of the field extension, and the extension is called a simple extension in this case. The theorem states that a finite extension is simple if and only if there are only finitely many intermediate fields. An older result, also often called "primitive element theorem", states that every finite separable extension is simple; it can be seen as a consequence of the former theorem. These theorems imply in particular that all algebraic number fields over the rational numbers, and all extensions in which both fields are finite, are simple.
| Attributes | Values |
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| rdfs:label
| - Satz vom primitiven Element (de)
- Teorema del elemento primitivo (es)
- Théorème de l'élément primitif (fr)
- Teorema dell'elemento primitivo (it)
- 原始元定理 (ja)
- Primitive element theorem (en)
- Teorema do elemento primitivo (pt)
- Теорема о примитивном элементе (ru)
- Теорема про первісний елемент (uk)
- 本原元定理 (zh)
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| rdfs:comment
| - Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element mit , wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation von Abel aus dem Jahre 1829, auf die sich Évariste Galois sich in seinem Mémoire sur les conditions [...] (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat. (de)
- In field theory, the primitive element theorem is a result characterizing the finite degree field extensions that can be generated by a single element. Such a generating element is called a primitive element of the field extension, and the extension is called a simple extension in this case. The theorem states that a finite extension is simple if and only if there are only finitely many intermediate fields. An older result, also often called "primitive element theorem", states that every finite separable extension is simple; it can be seen as a consequence of the former theorem. These theorems imply in particular that all algebraic number fields over the rational numbers, and all extensions in which both fields are finite, are simple. (en)
- In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione). (it)
- 体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。 (ja)
- Em matemática, mais especificamente em teoria dos corpos, o teorema do elemento primitivo fornece uma caracterização das extensões de corpo finitas as quais são e então podem ser geradas pela adjunção de um único . (pt)
- Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени , такие что существует примитивный элемент с . (ru)
- 在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为的形式，即E可以由单个元素生成。 (zh)
- Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим. (uk)
- En teoría de cuerpos, el teorema del elemento primitivo es un resultado que caracteriza el grado finito de las extensiones de cuerpos que pueden ser generadas por un solo elemento. Dicho elemento generador se denomina elemento primitivo de la extensión del cuerpo, y la extensión se llama extensión simple en este caso. El teorema establece que una extensión finita es simple si y solo si hay solo un número finito de cuerpos intermedios. Un resultado más antiguo, también llamado a menudo teorema del elemento primitivo, establece que cada extensión finita separable es simple; puede verse como una consecuencia del teorema anterior. Estos teoremas implican en particular que todo cuerpo de números algebraicos sobre los números racionales, y todas las extensiones en las que ambos cuerpos son finit (es)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendrée par un seul élément, appelé élément primitif. (fr)
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| - Der Satz vom primitiven Element ist ein mathematischer Satz aus der Algebra, der hinreichende Bedingungen dafür angibt, dass eine Körpererweiterung eine einfache Körpererweiterung ist. Sind Körper, dann wird die Körpererweiterung einfach genannt, wenn sie durch Adjunktion eines einzelnen Elements erzeugt werden kann. Ein solches, im Allgemeinen nicht eindeutig bestimmtes Element mit , wird primitives Element genannt. Der Satz vom primitiven Element wurde von Galois vollständig bewiesen und findet sich in einer Publikation von Abel aus dem Jahre 1829, auf die sich Évariste Galois sich in seinem Mémoire sur les conditions [...] (neben Arbeiten von Lagrange und Gauß) gestützt hat. (de)
- En mathématiques, et plus spécifiquement en algèbre, le théorème de l'élément primitif est un des théorèmes de base de la théorie des corps. Il stipule que toute extension finie séparable est simple, c'est-à-dire engendrée par un seul élément, appelé élément primitif. Une extension algébrique L d'un corps K est dite séparable si le polynôme minimal de tout élément de L n'admet que des racines simples (dans une clôture algébrique de K).On démontre l'équivalence de cette définition avec la définition suivante : une extension finie est séparable si et seulement si le nombre de morphismes de l'extension dans la clôture algébrique laissant invariant le corps de base est égal au degré de l'extension. Le théorème de l'élément primitif, énoncé pour la première fois par Abel dans un mémoire posthume, et démontré par Évariste Galois, peut être utilisé pour simplifier l'exposé de la théorie de Galois, quoique la plupart des exposés modernes suivent la démarche indépendante d'Artin ; c'est d'ailleurs par ce théorème que commence la démonstration originale de Galois. À l'inverse, comme dans la méthode d'Artin, on peut regarder ce théorème comme une conséquence simple de cette théorie, fait lui aussi reconnu explicitement par Galois. (fr)
- En teoría de cuerpos, el teorema del elemento primitivo es un resultado que caracteriza el grado finito de las extensiones de cuerpos que pueden ser generadas por un solo elemento. Dicho elemento generador se denomina elemento primitivo de la extensión del cuerpo, y la extensión se llama extensión simple en este caso. El teorema establece que una extensión finita es simple si y solo si hay solo un número finito de cuerpos intermedios. Un resultado más antiguo, también llamado a menudo teorema del elemento primitivo, establece que cada extensión finita separable es simple; puede verse como una consecuencia del teorema anterior. Estos teoremas implican en particular que todo cuerpo de números algebraicos sobre los números racionales, y todas las extensiones en las que ambos cuerpos son finitos, son simples. (es)
- In field theory, the primitive element theorem is a result characterizing the finite degree field extensions that can be generated by a single element. Such a generating element is called a primitive element of the field extension, and the extension is called a simple extension in this case. The theorem states that a finite extension is simple if and only if there are only finitely many intermediate fields. An older result, also often called "primitive element theorem", states that every finite separable extension is simple; it can be seen as a consequence of the former theorem. These theorems imply in particular that all algebraic number fields over the rational numbers, and all extensions in which both fields are finite, are simple. (en)
- In matematica, il teorema dell'elemento primitivo è un risultato della teoria dei campi che caratterizza le estensioni algebriche che sono semplici, ovvero che possono essere generate da un unico elemento (detto appunto elemento primitivo per l'estensione). (it)
- 体論において、原始元定理 (primitive element theorem) あるいは原始元に関するアルティンの定理 (Artin's theorem on primitive elements) は原始元 (primitive element) をもつ有限次体拡大すなわち単拡大を特徴づける結果である。定理は有限次拡大が単拡大であることと中間体が有限個しかないことが同値であるというものである。とくに、有限次分離拡大は単拡大である。 (ja)
- Em matemática, mais especificamente em teoria dos corpos, o teorema do elemento primitivo fornece uma caracterização das extensões de corpo finitas as quais são e então podem ser geradas pela adjunção de um único . (pt)
- Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени , такие что существует примитивный элемент с . (ru)
- 在数学中，本原元定理精确刻画了什么时候对于一个域扩张E/F，E可以表示为的形式，即E可以由单个元素生成。 (zh)
- Теорема про первісний елемент — твердження в теорії полів, розділі математики, що дає необхідні і достатні умови для того щоб скінченне розширення було простим. (uk)
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